Вписанная окружность (радиуса r) касается всех сторон многоугольника изнутри (её центр — точка пересечения биссектрис углов), а описанная окружность (радиуса R) проходит через все вершины многоугольника (её центр — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам). В любой треугольник можно и вписать, и описать около него окружность!
- Универсальные формулы для ЛЮБОГО треугольника через площадь S: вписанный радиус
r = S / p(где полупериметрp = (a+b+c)/2); описанный радиусR = (a · b · c) / (4S) = a / (2 · sin α). - Для прямоугольного треугольника с катетами a, b и гипотенузой c: центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы: R = c / 2; а вписанный радиус равен: r = (a + b − c) / 2.
- Для правильного треугольника со стороной a и квадрата со стороной a: в правильном треугольнике:
r = (a√3) / 6,R = 2r = (a√3) / 3 = (2/3)·h; в квадрате:r = a / 2,R = (a√2) / 2.
Правило для бланка ОГЭ и ЕГЭ: в правильном (равностороннем) треугольнике радиус описанной окружности R всегда ровно В ДВА РАЗА БОЛЬШЕ радиуса вписанной окружности r (R = 2r, а высота делится центром в отношении 2 : 1)!
2. Формула вычисления темы применена.
3. Итоговый результат: 10.
1. Теоретический базис темы «Вписанная и описанная окружность»
Вписанная окружность
Вписанная окружность — это окружность, которая касается всех сторон многоугольника изнутри.
Описанный многоугольник — многоугольник, в который вписана окружность.
Окружность может быть вписана:
-
в любой треугольник;
-
четырёхугольник, суммы противоположных сторон которого равны;
-
в правильный многоугольник , т. е. в такой, у которого равны все стороны и все углы.
Свойства и формулы для вписанной окружности
Вписанная окружность и треугольник
-
В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну.
-
Если окружность вписана в треугольник, её центр будет совпадать с точкой пересечения биссектрис углов треугольника.
-
Найти радиус окружности, вписанной в треугольник, можно через отношение площади этого треугольника и его полупериметра:
-
Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно рассчитать по формуле
-
Для равностороннего треугольника часто используют дополнительную формулу через длину его стороны:
Что ещё может понадобиться для решения задач на окружность, вписанную в треугольник?
Обратите внимание, что
Вписанная окружность и четырёхугольник
-
Окружность можно вписать в ромб, квадрат, некоторые трапеции, но нельзя в параллелограмм и прямоугольник (т. к. согласно свойству, суммы противоположных сторон описанного четырёхугольника должны быть равны).
-
Центр окружности, вписанной в четырёхугольник — это точка пересечения биссектрис углов этого четырёхугольника.
-
Радиус вписанной в квадрат окружности можно рассчитать по формуле:
-
Для описанного ромба можно использовать формулу
-
Универсальная формула, подходящая для окружности, вписанной в любой четырёхугольник:
Вписанная окружность и n-угольник
-
Центр правильного многоугольника совпадает с центром вписанной в него окружности.
-
Окружность, вписанная в правильный n-угольник, касается сторон многоугольника в их серединах.
-
Сторона правильного многоугольника может быть найдена по формуле:
-
Радиус окружности, которая вписана в правильный шестиугольник, находится по формуле
Получи больше пользы от Skysmart:
-
Подготовься к ОГЭ на пятёрку
-
Подготовься к ЕГЭ на высокие баллы
Записывайся на бесплатные курсы для детей
Решай задания в бесплатном тренажёре ЕГЭ
Описанная окружность
Описанная окружность — это окружность, содержащая все вершины n-угольника, т. е. все вершины лежат на окружности.
Вписанный многоугольник — многоугольник, около которого описана окружность.
Окружность можно описать около:
-
любого треугольника;
-
четырёхугольника, у которого суммы противоположных углов равны;
-
правильного многоугольника, т. е. такого, у которого равны все стороны и все углы.
Свойства и формулы для описанной окружности
Описанная окружность и треугольник
-
Любой треугольник можно описать окружностью, и только одной.
-
Центр окружности, описанной около треугольника, — это точка пересечения серединных перпендикуляров, проведённых ко всем сторонам данного треугольника.
-
Центр окружности, описанной около остроугольного треугольника, лежит внутри треугольника, около прямоугольного треугольника — лежит на середине его гипотенузы, около тупоугольного треугольника — лежит вне треугольника.
-
Радиус окружности, описанной около произвольного треугольника, вычисляется по формуле:
-
Для равностороннего треугольника:
-
Для прямоугольного треугольника :
-
Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен медиане, проведённой к гипотенузе.
-
Теорема синусов и радиус описанной окружности:
Описанная окружность и четырёхугольник
-
Если четырёхугольник описан, то суммы противолежащих углов равны 180° окружность можно описать около прямоугольника, квадрата и равнобедренной трапеции (или другого четырёхугольника, соответствующего свойствам).
-
Теорема Птолемея: сумма произведений противолежащих сторон вписанного четырёхугольника ABCD равна произведению диагоналей.
-
Диагонали вписанного четырёхугольника разбивают его на две пары подобных треугольников.
-
Радиус окружности, описанной около квадрата, можно найти через его диагональ:
Описанная окружность и n-угольник
-
Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника, рассчитывается по формуле
-
Площадь вписанного правильного многоугольника:
-
Радиус описанной окружности, проведённый к вершине шестиугольника, — это биссектриса, то есть он делит угол правильного шестиугольника пополам.
Теория — серебро, а вот практика — настоящее золото. Особенно в нашем бесплатном тренажере для подготовки к ОГЭ, ЕГЭ и контрольным работам. Переходите по ссылкам и отрабатывайте полученные знания по темам «Вписанная окружность» и «Описанная окружность»!
2. Практикум: разбор реальных задач ОГЭ и ЕГЭ
1. По теореме Пифагора находим гипотенузу: c = √(10² + 24²) = √676 = 26.
2. Радиус описанной окружности равен половине гипотенузы: R = 26 / 2 = 13.
3. Радиус вписанной окружности: r = (a + b − c) / 2 = (10 + 24 − 26) / 2 = 4.
1. Формула S = p · r справедлива для ЛЮБОГО описанного многоугольника!
2. Находим полупериметр: p = P / 2 = 36 / 2 = 18.
3. Вычисляем площадь: S = 18 · 5 = 90.
1. Сторона квадрата равна диаметру вписанной окружности: a = 2r = 8√2.
2. Диагональ квадрата является диаметром описанной окружности: 2R = a√2 ⇒ R = r · √2 = 4√2 · √2 = 8.
3. Контрольный чек-лист: на чём срезаются школьники
- Ловушка экзамена: Невнимательность при вычислениях по формуле темы «Вписанная и описанная окружность» приводит к потере первичных баллов в первой части.
- Ловушка экзамена: Обязательно проверяйте допустимые значения переменных (ОДЗ) и размерность величин перед записью в бланк.
- Ловушка экзамена: Во второй части ОГЭ/ЕГЭ решение без пояснения применённого правила оценивается в 0 баллов даже при верном ответе.
В заданиях ОГЭ и Профильного ЕГЭ эксперты ФИПИ строго оценивают логику каждого шага и обоснование формул.
На индивидуальных уроках на онлайн-курсах по математике в Skysmart методисты и действующие эксперты экзаменационной комиссии разбирают все подводные камни темы и доводят решение до автоматизма.
4. Ответы на частые вопросы (FAQ)
В каком классе изучают тему «Вписанная и описанная окружность»?
Тема подробно изучается в школьном курсе математики и входит в обязательный кодификатор ОГЭ и ЕГЭ.
Как быстро проверить ответ в задачах на «Вписанная и описанная окружность»?
Подставьте полученный результат обратно в исходное соотношение и проверьте соответствие условию задачи.
