Арифметическая прогрессия (aₙ) — это числовая последовательность, в которой каждый следующий член, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же постоянным числом d (разностью прогрессии): aₙ₊₁ = aₙ + d. Любой n-й член находится по формуле aₙ = a₁ + d · (n − 1), а сумма первых n членов — по формуле Sₙ = ((a₁ + aₙ) / 2) · n.
- Разность прогрессии d и формула n-го члена (ОГЭ №14):
d = aₙ₊₁ − aₙ = (aₖ − aₘ) / (k − m)иaₙ = a₁ + d · (n − 1). - Две формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии: 1) через первый и последний:
Sₙ = ((a₁ + aₙ) / 2) · n; 2) через разность:Sₙ = ((2a₁ + d(n − 1)) / 2) · n. - Характеристическое свойство (среднее арифметическое соседей):
aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁) / 2.
Правило для бланка ОГЭ и ЕГЭ: в Задании №14 ОГЭ обе формулы арифметической прогрессии (aₙ и Sₙ) есть в справочных материалах КИМ! Если прогрессия убывает, не забудьте поставить перед разностью d знак МИНУС (d < 0)!
2. Подстановка в формулу (aₙ = a₁ + d · (n − 1) | d = aₙ₊₁ − aₙ): 1) a₁₀ = 4 + 3 · (10 − 1) = 4 + 27 = 31
3. Итоговый ответ: 2) Сумма S₁₀ = ((4 + 31) / 2) · 10 = 35 · 5 = 175
1. Главные формулы и правила темы «Арифметическая прогрессия: свойства и формулы»
2. Подробный теоретический разбор, свойства и наглядные схемы
Прогрессия - это числовая последовательность, где каждый член определяется каким-либо правилом.
- Арифметическая прогрессия:
- Формула n-го члена: an = a1 + d(n - 1)
- Сумма первых n членов: Sn = n/2(2a1 + (n - 1)d)
- Геометрическая прогрессия:
- Формула n-го члена: bn = b1 * qn - 1
- Сумма первых n членов: Sn = b1 * (1 - qn)/(1 - q), где q ≠ 1
Для кого эта статья:
- ученики старших классов, готовящиеся к экзаменам по математике
- студенты, изучающие основы числовых последовательностей и прогрессий
- учителя, желающие дополнить свои материалы по арифметическим прогрессиям
Получи больше пользы от Skysmart:
-
Подготовься к ОГЭ на пятёрку
-
Подготовься к ЕГЭ на высокие баллы
Записывайся на бесплатные курсы для детей
Решай задания в бесплатном тренажёре ЕГЭ
Определение числовой последовательности
Числовая последовательность — это множество чисел, каждому из которых можно присвоить уникальный номер.
Последовательности можно задавать разными способами:
- Словесно — когда правило последовательности объясняется словами:
«Последовательность простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23...»
- Аналитически — когда указана формула ее n-го члена: yn = f(n).
Последовательность yn = C называют постоянной или стационарной.
- Рекуррентно — когда указывается правило, которое помогает вычислить n-й член последовательности, если известны её предыдущие члены.
Последовательность Фибоначчи — когда каждое следующее число равно сумме двух предыдущих чисел: an+1 = an + an-1.
Пример: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55...
- Графически — когда график последовательности состоит из точек с абсциссами
1, 2, 3, 4...
Так как алгебраическая числовая последовательность — это частный случай числовой функции, то ряд свойств функций рассматриваются и для последовательностей.
Свойства числовых последовательностей:
- Последовательность {yn} называют возрастающей, если каждый ее член кроме первого больше предыдущего:
y1 < y2 < y3 < … < yn < yn+1 < …
- Последовательность {yn} называют убывающей, если каждый ее член кроме первого меньше предыдущего:
y1 > y2 > y3 > … > yn > yn+1 > …
Возрастающие и убывающие последовательности называют монотонными последовательностями.
- Последовательность можно назвать периодической, если существует такое натуральное число T, что начиная с некоторого N, выполняется равенство: yn = yn+T. Число T — длина периода.
Запишем числа, которые первые пришли в голову: 7, 19, 0, −1, −2, −11, 0… Сколько бы чисел не написали, всегда можно сказать, какое из них первое, какое — второе и так до последнего. То есть мы можем их пронумеровать.
Пример числовой последовательности выглядит так:
В такой математической последовательности каждый номер соответствует одному числу. Это значит, что в последовательности не может быть двух первых чисел и т.д. Первое число (как и любое другое) — всегда одно.
N-ный член алгебраической последовательности — это число с порядковым номером n.
Всю последовательность можно обозначить любой буквой латинского алфавита, например, a. Каждый член этой последовательности — той же буквой с индексом, который равен номеру этого члена: a1, a2,..., a10..., an.
N-ый член последовательности можно задать формулой. Например:
- Формула an = 3n − 5 задает последовательность: −2, 1, 4, 7, 10…
- Формула an = 1 : (n + 2) задает последовательность: 1/3, 1/4, 1/5, 1/6...
Определение арифметической прогрессии
Так как числовая последовательность — это частный случай функции, которая определена на множестве натуральных чисел, арифметическую прогрессию можно назвать частным случаем числовой последовательности.
Рассмотрим основные определения и как найти арифметическую прогрессию.
| Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность a1, a2,..., an,... для которой для каждого натурального n выполняется равенство:
an+1= an + d, где d — это разность арифметической прогрессии. |
Описать словами эту формулу можно так: каждый член арифметической прогрессии равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d.
Разность между последующим и предыдущим членами, то есть разность арифметической прогрессии можно найти по формуле:
Если известны первый член a1 и n-ый член прогрессии, разность можно найти так:
Арифметическая прогрессия бывает трех видов:
- Возрастающая — арифметическая прогрессия, у которой положительная разность, то есть d > 0.
Пример: последовательность чисел 11, 14, 17, 20, 23... — это возрастающая арифметическая прогрессия, так как ее разность d = 3 > 0.
- Убывающая — арифметическая прогрессия, у которой отрицательная разность, то есть d < 0.
Пример: последовательность чисел 50, 48, 46, 44, 42... — это убывающая арифметическая прогрессия, так как ее разность d = –2 < 0.
- Стационарная — арифметическая прогрессия, у которой разность равна нулю, то есть d = 0.
Пример: последовательность чисел 23, 23, 23, 23, 23... — это стационарная арифметическая прогрессия, так как ее разность d = 0.
Экзамены — это почти всегда стресс. Подготовка к ЕГЭ по математике онлайн в школе Skysmart поможет снять волнение перед экзаменом и придаст уверенности в своих знаниях.
Свойство арифметической прогрессии
Переведем с языка формул на русский: каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов. Что как раз объясняет название «арифметическая» прогрессия.
Формула n-го члена арифметической прогрессии
Из определения арифметической прогрессии следует, что равенство истинно:
Поэтому:
и т.д.
Значит, 
Переведем с языка формул на русский: если мы знаем первый член и разность арифметической прогрессии, то можем найти любой ее член.
Арифметическую прогрессию можно назвать заданной, если известен ее первый член и разность.
Формулу an = a1 + d * (n - 1) называют формулой n-го члена арифметической прогрессии.
Формулы арифметической прогрессии
Формулы арифметической прогрессии:
- Формула n-го члена: an = a1 + d(n - 1), где a1 - первый член, d - разность, n - номер члена.
- Сумма n первых членов: Sn = n/2 * (a1 + an).
Примеры:
- Для a1 = 2, d = 3, n = 5: a5 = 2 + 3(5 - 1) = 14.
- Для n = 4, a1 = 1, an = 10: S4 = 4/2 * (1 + 10) = 22.
В 9 классе проходят все формулы арифметической прогрессии. Давайте узнаем, какими способами ее можно задать:
- Рекуррентной формулой:
- Формулой n-го члена: an = a1+ d · (n - 1).
- Формулой вида an = kn + b, где k и b — числа, n — число членов последовательности.
Сумма первых n членов арифметической прогрессии (аn) обозначается Sn:
Формулы нахождения суммы n членов арифметической прогрессии:
Чтобы быстрее запомнить формулы можно использовать такую табличку с основными определениями:
Рассмотрим пример арифметической прогрессии.
Дано: арифметическая прогрессия (an), где a1 = 0 и d = 2.
Найти: первые пять членов прогрессии и десятый член прогрессии.
Решение арифметической прогрессии:
- Чтобы найти последующий член прогрессии, нужно к предыдущему прибавить разность:
a2 = a1 + d = 0 + 2 = 2;
a3 = a2 + d = 2 + 2 = 4;
a4 = a3 + d = 4 + 2 = 6;
a5 = a4 + d = 6 + 2 = 8.
- Используем общую формулу an = a1 + d * (n - 1).
По условиям задачи n = 10, подставляем в формулу:
a10 = a1 + 2 * (10 - 1) = 0 + 2⋅9 = 18.
Геометрическая прогрессия
Геометрическая прогрессия — это последовательность (bn), в которой каждый последующий член можно найти, если предыдущий член умножить на одно и то же число q.
Если последовательность (bn) является геометрической прогрессией, то для любого натурального значения n справедлива зависимость:
| bn+1 = bn * q, где q — знаменатель геометрической прогрессии |
Если в геометрической прогрессии (bn) известен первый член b1 и знаменатель q, то можно найти любой член прогрессии:
- b2 = b1 * q;
- b3 = b2 * q = b1 * q * q = b1 * q²;
- b4 = b1 * q³;
- и т. д.
Общий член геометрической прогрессии bn можно вычислить при помощи формулы:
bn = b1 * qn−1, где n — порядковый номер члена прогрессии, b1 — первый член прогрессии, q — знаменатель.
Пример 1. 2, 6, 18, 54,… — геометрическая прогрессия b = 2, q = 3.
Пример 2. 3, -3, 3, -3,… — геометрическая прогрессия b = 3, q = -1.
Пример 3. 7, 7, 7, 7,… — геометрическая прогрессия b = 7, q = 1.
3. Сводная таблица всех формул и свойств для контрольной, ОГЭ и ЕГЭ
| Условие / Правило | Рабочая формула и пример применения |
|---|---|
| Разность прогрессии d и формула n-го члена (ОГЭ №14) | d = aₙ₊₁ − aₙ = (aₖ − aₘ) / (k − m) и aₙ = a₁ + d · (n − 1). |
| Две формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии | 1) через первый и последний: Sₙ = ((a₁ + aₙ) / 2) · n; 2) через разность: Sₙ = ((2a₁ + d(n − 1)) / 2) · n. |
| Характеристическое свойство (среднее арифметическое соседей) | aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁) / 2. |
4. Практикум: разбор реальных задач с пошаговым решением
1. Имеем арифметическую прогрессию: a₁ = 3, d = 2, n = 15.
2. В 15-й строке: a₁₅ = 3 + 2 · (15 − 1) = 3 + 28 = 31 квадрат.
3. Всего за 15 строк: S₁₅ = ((3 + 31) / 2) · 15 = 17 · 15 = 255 квадратов.
1. Любой член арифметической прогрессии равен полусумме своих соседей: x = (11 + 23) / 2.
2. Вычисляем: 34 / 2 = 17 (проверка: шаг d = 6).
1. Здесь a₁ = 42, разность отрицательна: d = 38 − 42 = −4.
2. Решаем неравенство aₙ > 0: 42 − 4(n − 1) > 0 ⇒ 4(n − 1) < 42 ⇒ n − 1 ≤ 10 ⇒ n = 11 положительных членов (последний a₁₁ = 42 − 40 = 2).
3. Сумма: S₁₁ = ((42 + 2) / 2) · 11 = 22 · 11 = 242.
5. Контрольный чек-лист: частые ошибки и ловушки на экзамене
- Главное правило проверки ответа: в Задании №14 ОГЭ обе формулы арифметической прогрессии (aₙ и Sₙ) есть в справочных материалах КИМ! Если прогрессия убывает, не забудьте поставить перед разностью d знак МИНУС (d < 0)!
- Контроль первой формулы (ФОРМУЛА N-ГО ЧЛЕНА И РАЗНОСТИ D): Среднее свойство соседей: aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁) / 2 (aₙ = a₁ + d · (n − 1) | d = aₙ₊₁ − aₙ).
- Контроль второй формулы (ФОРМУЛА СУММЫ ПЕРВЫХ N ЧЛЕНОВ (ОГЭ №14)): При убывании прогрессии разность отрицательна (d < 0)! (Sₙ = ((a₁ + aₙ) / 2) · n = ((2a₁ + d(n−1)) / 2) · n).
Потренироваться самостоятельно с автопроверкой ответов можно в бесплатном тренажёре ЕГЭ от Skysmart: доступны разделы по базовой математике и профильной математике.
На онлайн-курсах по математике в Skysmart преподаватели разбирают каждый прототип ФИПИ на интерактивной доске и помогают довести решение задач первой и второй части до полного автоматизма.
6. Часто задаваемые вопросы (FAQ)
Какая главная формула в теме «Арифметическая прогрессия: свойства и формулы»?
Базовое соотношение темы: aₙ = a₁ + d · (n − 1) | d = aₙ₊₁ − aₙ, а также вторая ключевая формула: Sₙ = ((a₁ + aₙ) / 2) · n = ((2a₁ + d(n−1)) / 2) · n. Подробный пример расчёта: Дано: a₁ = 4, разность d = 3. Найти 10-й член a₁₀ и сумму S₁₀ ➔ 1) a₁₀ = 4 + 3 · (10 − 1) = 4 + 27 = 31 ➔ 2) Сумма S₁₀ = ((4 + 31) / 2) · 10 = 35 · 5 = 175.
На какой ловушке чаще всего теряют баллы на контрольной, ОГЭ и ЕГЭ?
Главное правило для бланка ответов: в Задании №14 ОГЭ обе формулы арифметической прогрессии (aₙ и Sₙ) есть в справочных материалах КИМ! Если прогрессия убывает, не забудьте поставить перед разностью d знак МИНУС (d < 0)!
Где скачать шпаргалку со всеми формулами для печати?
В первом экране статьи доступна бесплатная PDF-шпаргалка формата А4 со всеми формулами и алгоритмами темы «Арифметическая прогрессия: свойства и формулы».
