Теорема синусов

Железнодорожные рельсы параллельны друг другу, а деревья растут под наклоном к земле. Увы, с соотношением сторон в треугольнике все не так просто: чтобы их определить, нужна теорема синусов.
  • Автор

    Лидия Казанцева

  • Рубрика

    9 класс, ЕГЭ/ОГЭ

  • Дата публикации

    24.12.2020

  • Просмотры

    16468

 

Доказательство теоремы синусов

Теорема синусов звучит так: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Нарисуем стандартный треугольник и запишем теорему формулой:


стандартный треугольник

Формула теоремы синусов:


Формула теоремы синусов

Докажем теорему с помощью формулы площади треугольника через синус его угла.


Докажем теорему с помощью формулы площади треугольника

Из этой формулы мы получаем два соотношения:


  1.  мы получаем два соотношения

     мы получаем два соотношения рис 2
    На b сокращаем, синусы переносим в знаменатели:
    На b сокращаем, синусы переносим в знаменатели

  2. bc sinα = ca sinβ
    bc sinα = ca sinβ
    bc sinα = ca sinβ рис 2

Из этих двух соотношений получаем:


Из этих двух соотношений получаем

Теорема синусов для треугольника доказана.

Эта теорема пригодится, чтобы найти:

  • Стороны треугольника, если даны два угла и одна сторона.
  • Углы треугольника, если даны две стороны и один прилежащий угол.

 

Доказательство следствия из теоремы синусов

У теоремы синусов есть важное следствие. Нарисуем треугольник, опишем вокруг него окружность и рассмотрим следствие через радиус.


рассмотрим следствие через радиус

рассмотрим следствие через радиус шаг 2

где R — радиус описанной около треугольника окружности.

Так образовались три формулы радиуса описанной окружности:


три формулы радиуса описанной окружности

Основной смысл следствия из теоремы синусов заключен в этой формуле:


основная формула

Радиус описанной окружности не зависит от углов α, β, γ. Удвоенный радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла.

Для доказательства следствия теоремы синусов рассмотрим три случая.

1. Угол ∠А = α — острый в треугольнике АВС.


острый в треугольнике АВС

Проведем диаметр BA1. В этом случае точка А и точка А1 лежат в одной полуплоскости от прямой ВС.

Используем теорему о вписанном угле и видим, что ∠А = ∠А1 = α. Треугольник BA1C — прямоугольный, в нём ∠ BCA1 = 90°, так как он опирается на диаметр BA1.

Чтобы найти катет a в треугольнике BA1C, нужно умножить гипотенузу BA1 на синус противолежащего угла.

BA1 = 2R, где R — радиус окружности

α = 2R sinα

Следовательно: R = α/2 sinα

Для острого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

2. Угол ∠А = α — тупой в треугольнике АВС.

Проведем диаметр окружности BA1. Точки А и A1 по разные стороны от прямой ВС. Четырёхугольник ACA1B вписан в окружность, и его основное свойство в том, что сумма противолежащих углов равна 180°.

Следовательно, ∠А1 = 180° - α.


тупой в треугольнике АВС

Вспомним свойство вписанного в окружность четырёхугольника:


свойство вписанного в окружность четырёхугольника

Также известно, что sin(180° - α) = sinα.

В треугольнике BCA1 угол при вершине С равен 90°, потому что он опирается на диаметр. Следовательно, катет а мы находим таким образом:

α = 2R sin (180° - α) = 2R sinα

Следовательно: R = α/2 sinα

Для тупого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

Часто используемые тупые углы:

  • sin120° = sin(180° - 60°) = sin60° = 3/√2;
  • sin150° = sin(180° - 30°) = sin30° = 1/2;
  • sin135° = sin(180° - 45°) = sin45° = 2/√2.

3. Угол ∠А = 90°.


Угол ∠А = 90

В прямоугольнике АВС угол А прямой, а противоположная сторона BC = α = 2R, где R — это радиус описанной окружности.

Следовательно:


формула

Для прямоугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

 

Теорема о вписанном в окружность угле

Из теоремы синусов и ее следствия можно сделать любопытный вывод: если известна одна сторона треугольника и синус противолежащего угла — можно найти и радиус описанной окружности. Но треугольник не задаётся только этими величинами. Это значит, что если треугольник еще не задан, найти радиус описанной окружности возможно.

Раскроем эту тему на примере теоремы о вписанном в окружность угле и следствиях из нее.

Теорема о вписанном угле: вписанный в окружность угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.


Теорема о вписанном угле

∠А = α опирается на дугу ВС. Дуга ВС содержит столько же градусов, сколько ее центральный угол ∠BOC.

Формула теоремы о вписанном угле:


Формула теоремы о вписанном угле

Следствие 1 из теоремы о вписанном в окружность угле

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.


Следствие 1 из теоремы о вписанном в окружность угле

∠А = ∠BAC опирается на дугу ВС. Поэтому ∠A = 1/2(∠COB).

Если мы возьмём точки A1, А2,...,Аn и проведём от них лучи, которые опираются на одну и ту же дугу, то получим:


лучи, которые опираются на одну и ту же дугу, то получим

На рисунке изображено множество треугольников, у которых есть общая сторона СВ и одинаковый противолежащий угол. Треугольники являются подобными, и их объединяет одинаковый радиус описанной окружности.

Следствие 2 из теоремы о вписанном в окружность угле

Вписанные углы, которые опираются на диаметр, равны 90°, то есть прямые.


Следствие 2 из теоремы о вписанном в окружность угле

ВС — диаметр описанной окружности, следовательно ∠COB = 180°.


 диаметр описанной окружности, следовательно ∠COB = 180°

Следствие 3 из теоремы о вписанном в окружность угле

Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180°. Это значит, что:

∠A + ∠C = 180°


Следствие 3 из теоремы о вписанном в окружность угле

Угол ∠А = α опирается на дугу DCB. Поэтому DCB = 2α по теореме о вписанном угле.

Угол ∠С = γ опирается на дугу DAB. Поэтому DAB = 2γ.

Но так как 2α и 2γ — это вся окружность, то 2α + 2γ = 360°.

Следовательно: α + γ = 180°.

Поэтому: ∠A + ∠C = 180°.

Следствие 4 из теоремы о вписанном в окружность угле

Синусы противоположных углов вписанного четырехугольника равны. То есть:

sinγ = sin(180° - α)

Так как sin(180° - α) = sinα, то sinγ = sin(180° - α) = sinα

 

Примеры решения задач

Теорема синусов и следствия из неё активно используются при решении задач. Рассмотрим несколько примеров, чтобы закрепить материал.

Пример 1. В треугольнике ABC ∠A = 45°,∠C = 15°, BC = 4√6. Найти AC.

Как решаем:

  • Согласно теореме о сумме углов треугольника:

    ∠A + ∠B + ∠C = 180°

    ∠B = 180° - 45° - 15° = 120°

  • Сторону AC найдем по теореме синусов:
    пример 1

Ответ: AC = 12.

Пример 2. Гипотенуза и один из катетов прямоугольного треугольника равны 10 и 8 см. Найти угол, который расположен напротив данного катета.

Как решаем:

В этой статье мы узнали, что в прямоугольном треугольнике напротив гипотенузы располагается угол, равный 90°. Примем неизвестный угол за x. Тогда соотношение сторон выглядит так:


решение 1

Следовательно:


решение 2

Значит x = sin (4/5) ≈ 53,1°.

Ответ: угол составляет примерно 53,1°.

 

Запоминаем

Обычная теорема: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

>
обычная теорема

Расширенная теорема: в произвольном треугольнике справедливо следующее соотношение:

>
расширенная теорема
 
 
  • 0
  • 0
  • 0
  • 0
  • 0
  • 0