Логарифм числа b по основанию a (logₐ b) — это показатель степени c, в которую нужно возвести основание a, чтобы получить подлогарифмическое число b: logₐ b = c ⇔ aᶜ = b. Например, log₂ 8 = 3, так как 2³ = 8.
- Определение и область допустимых значений (ОДЗ логарифма):
logₐ b = c ⇔ aᶜ = bпри строгих условиях b > 0, a > 0, a ≠ 1. - Основное логарифмическое тождество и базовые значения:
a^(logₐ b) = b,logₐ 1 = 0,logₐ a = 1. - Свойства суммы, разности и степени под логарифмом:
logₐ(x·y) = logₐ x + logₐ y,logₐ(x/y) = logₐ x − logₐ y,logₐ(bᵏ) = k · logₐ b. - Вынос степени из основания и переход к новому основанию:
log_(aⁿ) b = (1/n) · logₐ bиlogₐ b = log_c b / log_c a = 1 / log_b a.
Правило для бланка ОГЭ и ЕГЭ: десятичный логарифм обозначается lg b (основание 10: lg 100 = 2), а натуральный логарифм — ln b (основание e ≈ 2,718: ln e = 1).
2. Ищем показатель степени: 2³ = 8.
3. Результат: log₂(8) = 3.00.
1. Определение логарифма и основные свойства
Что такое логарифм?
Нагляднее всего понять это с помощью графического решения уравнений. Начертим график
|
x = 1 |
x = 2 |
Отлично! А теперь решим уравнение
И в этом случае невозможно назвать точное значение, то есть мы понимаем, что корень больше одного и меньше двух, но более точных данных нет.
Вот такой корень и задается с помощью логарифма, а именно
Мы определили смысл — теперь перейдем к общему определению логарифма.
Логарифмом числа b по основанию a называют показатель степени с основанием a, равной b. То есть, попросту говоря, логарифм — это степень, в которую нужно возвести a для получения b. Однако у логарифма есть условия или ограничения, что основание а больше нуля и не равно единице, а также показатель b больше нуля.
Как решать примеры с логарифмами?
Рассмотрим пример, как решить логарифм:
Задаем вопрос: в какую степень нужно возвести 7, чтобы получить 49?
Ответ: во вторую степень. Значит,
Получи больше пользы от Skysmart:
-
Подготовься к ОГЭ на пятёрку
-
Подготовься к ЕГЭ на высокие баллы
Записывайся на бесплатные курсы для детей
Решай задания в бесплатном тренажёре ЕГЭ
Какие бывают виды логарифмов?
Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается как
Логарифм по основанию e называется натуральным логарифмом и обозначается как
Свойства и формулы логарифмов
-
Эта формула называется основным логарифмическим тождеством.
Пример:
-
Пример:
-
Пример:
-
Логарифм степени находится по формуле:
Видно, что показатель степени выносим перед логарифмом.
Пример:
-
Показатель степени основания также выносим перед логарифмом, но в виде обратного числа, то есть, например, вместо 5 будет
Пример:
-
Если нужно перейти к другому основанию, то можно сделать это по формуле:
-
А частным случаем предыдущей формулы является формула, которая позволяет менять местами основание и аргумент логарифма:
Конечно, это не все свойства логарифмов, а только самые главные. Комбинируя свойства выше, можно получать все новые и новые формулы для логарифмов. Например, соединив 4-ю и 5-ю формулы, получим
Применение логарифмических свойств в примерах
Пример 1
Найдите значение выражения
Если видите частное в показателе логарифма, то распишите по 3-й формуле:
Решение
У каждого логарифма в показателе стоит степень, значит, поможет 4-я формула:
Первый логарифм можно вычислить по определению. И обратите внимание на второй логарифм: у него в основании стоит а, а в условии задачи дан логарифм с основанием b, значит, нужно а как-то заменить на b. Возможно ли это? Конечно, 7-я формула в помощь!
Подставьте числовое значение из условия, и все готово:
Отличный пример! Мы использовали практически все свойства логарифмов. А теперь попрактикуйтесь еще, но помните, что задача с подвохом!
Пример 2
Вычислите:
Получился ответ 27? Если да, то поздравляю: вы попались на удочку самых популярных ошибок! Какое бы задание вам ни встретилось, действия с логарифмами нужно производить только по определениям и правилам. В примере вы видите деление двух логарифмов. А есть ли какая-то формула, в которой записано деление двух логарифмов?
Конечно, это формула перехода к новому основанию, которую мы привели в пункте 6 выше. Применим ее к этому случаю и вычислим логарифм по определению, задав вопрос: в какую степень нужно возвести основание, чтобы получился показатель?
И получается ответ 4, а не 27.
Практическое применение логарифмов
Помните, выше мы говорили, что логарифм объединяет задания на ЕГЭ, галактики и рога горных козлов? И если с баллами на ЕГЭ все понятно, то про галактики и рога — интереснее.
Все дело в том, что существует логарифмическая спираль, которая задается по формуле:
Как видите, логарифмы имеют большое значение для нашей жизни — не только баллы на ЕГЭ!
Тест по теме «Логарифмы»
Найдите
Найдите
Найдите значение выражения
Найди значение выражения,
Вопросы для самопроверки
Чтобы информация точно усвоилась, вспомните:
-
Что такое логарифм?
-
Какие ограничения есть у логарифма?
-
Какие логарифмические свойства вы знаете?
-
Какие бывают способы преобразования выражений с логарифмом?
-
В чем практическое применение логарифмов?
2. Практикум: разбор реальных задач ОГЭ и ЕГЭ
1. Применяем формулу суммы логарифмов: log₆ 18 + log₆ 2 = log₆(18 · 2) = log₆ 36.
2. Так как 6² = 36, получаем: log₆ 36 = 2.
1. Представим числа как степени двойки: 0,25 = 1/4 = 2⁻², а 32 = 2⁵.
2. Выносим показатели: log_(2⁻²) (2⁵) = (5 / −2) · log₂ 2 = −2,5.
1. По формуле перехода к новому основанию частное log₃ 25 / log₃ 5 сворачивается в один логарифм: log₅ 25.
2. Так как 5² = 25, ответ равен 2.
3. Контрольный чек-лист: на чём срезаются школьники
- Ловушка экзамена: При вынесении чётной степени из аргумента (например, log_a(x²)) обязательно оставляйте модуль 2·log_a|x|!
- Ловушка экзамена: Основание логарифма никогда не может равняться единице (деление на ноль в степени).
- Ловушка экзамена: Никогда не путайте log_a(x + y) и log_a(x) + log_a(y) — логарифма суммы в виде отдельного правила не существует!
Во второй части ЕГЭ неравенства с переменным основанием логарифма требуют применения метода рационализации. Преподаватели Skysmart научат решать их без перебора громоздких систем.
На индивидуальных уроках на онлайн-курсах по математике в Skysmart методисты и действующие эксперты экзаменационной комиссии разбирают все подводные камни темы и доводят решение до автоматизма.
4. Ответы на частые вопросы (FAQ)
Что такое десятичный и натуральный логарифм?
Десятичный логарифм (lg x) имеет основание 10, а натуральный логарифм (ln x) — основание e ≈ 2,71828 (число Эйлера).
Чему равен логарифм отрицательного числа?
В области действительных чисел логарифм отрицательного числа не существует, так как положительное основание в любой степени остаётся положительным.
