Логарифмы — это математические функции, которые являются обратными к операциям возведения в степень. Формулы логарифмов включают:
- Основное логарифмическое тождество:
Онлайн-калькулятор логарифмов
Логарифмом числа b по основанию a называют показатель степени с основанием a, равной b. То есть, попросту говоря, логарифм — это степень, в которую нужно возвести a для получения b. Однако у логарифма есть условия или ограничения, что основание а больше нуля и не равно единице, а также показатель b больше нуля.
Основание:
Значение:
Что такое логарифм?
Нагляднее всего понять это с помощью графического решения уравнений. Начертим график
x = 1 |
x = 2 |
Отлично! А теперь решим уравнение
И в этом случае невозможно назвать точное значение, то есть мы понимаем, что корень больше одного и меньше двух, но более точных данных нет.
Вот такой корень и задается с помощью логарифма, а именно
Мы определили смысл — теперь перейдем к общему определению логарифма.
Логарифмом числа b по основанию a называют показатель степени с основанием a, равной b. То есть, попросту говоря, логарифм — это степень, в которую нужно возвести a для получения b. Однако у логарифма есть условия или ограничения, что основание а больше нуля и не равно единице, а также показатель b больше нуля.
Получи больше пользы от Skysmart:
-
Подготовься к ОГЭ на пятёрку.
-
Подготовься к ЕГЭ на высокие баллы.
Записывайся на бесплатные курсы для детей.
Решай задания в бесплатном тренажёре ЕГЭ.
Как решать примеры с логарифмами?
Рассмотрим пример, как решить логарифм:
Задаем вопрос: в какую степень нужно возвести 7, чтобы получить 49?
Ответ: во вторую степень. Значит,
Какие бывают виды логарифмов?
Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается как
Логарифм по основанию e называется натуральным логарифмом и обозначается как
Свойства и формулы логарифмов
-
Эта формула называется основным логарифмическим тождеством.
Пример:
-
Пример:
-
Пример:
-
Логарифм степени находится по формуле:
Видно, что показатель степени выносим перед логарифмом.
Пример:
-
Показатель степени основания также выносим перед логарифмом, но в виде обратного числа, то есть, например, вместо 5 будет
Пример:
-
Если нужно перейти к другому основанию, то можно сделать это по формуле:
-
А частным случаем предыдущей формулы является формула, которая позволяет менять местами основание и аргумент логарифма:
Конечно, это не все свойства логарифмов, а только самые главные. Комбинируя свойства выше, можно получать все новые и новые формулы для логарифмов. Например, соединив 4-ю и 5-ю формулы, получим
Применение логарифмических свойств в примерах
Пример 1
Найдите значение выражения
Если видите частное в показателе логарифма, то распишите по 3-й формуле:
Решение
У каждого логарифма в показателе стоит степень, значит, поможет 4-я формула:
Первый логарифм можно вычислить по определению. И обратите внимание на второй логарифм: у него в основании стоит а, а в условии задачи дан логарифм с основанием b, значит, нужно а как-то заменить на b. Возможно ли это? Конечно, 7-я формула в помощь!
Подставьте числовое значение из условия, и все готово:
Отличный пример! Мы использовали практически все свойства логарифмов. А теперь попрактикуйтесь еще, но помните, что задача с подвохом!
Пример 2
Вычислите:
Получился ответ 27? Если да, то поздравляю: вы попались на удочку самых популярных ошибок! Какое бы задание вам ни встретилось, действия с логарифмами нужно производить только по определениям и правилам. В примере вы видите деление двух логарифмов. А есть ли какая-то формула, в которой записано деление двух логарифмов?
Конечно, это формула перехода к новому основанию, которую мы привели в пункте 6 выше. Применим ее к этому случаю и вычислим логарифм по определению, задав вопрос: в какую степень нужно возвести основание, чтобы получился показатель?
И получается ответ 4, а не 27.
Практическое применение логарифмов
Логарифмы широко используются в финансовых расчетах для определения сложных процентов и анализа инвестиционных рисков. Они также играют ключевую роль в науке и инженерии, например, в уравнениях, описывающих экспоненциальный рост или распад. Кроме того, логарифмическая шкала применяется в различных областях, таких как измерение громкости (декбелы) и шкала Рихтера для определения силы землетрясений.
Помните, выше мы говорили, что логарифм объединяет задания на ЕГЭ, галактики и рога горных козлов? И если с баллами на ЕГЭ все понятно, то про галактики и рога — интереснее.
Все дело в том, что существует логарифмическая спираль, которая задается по формуле:
Как видите, логарифмы имеют большое значение для нашей жизни — не только баллы на ЕГЭ!
Тест по теме «Логарифмы»
Найдите
Найдите
Найдите значение выражения
Найди значение выражения,
Вопросы для самопроверки
Чтобы информация точно усвоилась, вспомните:
-
Что такое логарифм?
-
Какие ограничения есть у логарифма?
-
Какие логарифмические свойства вы знаете?
-
Какие бывают способы преобразования выражений с логарифмом?
-
В чем практическое применение логарифмов?
На курсах по математике в онлайн-школе Skysmart мы всегда показываем, зачем нужны математические правила и формулы в реальной жизни — ведь так учиться гораздо интереснее! И подтянуть знания перед ЕГЭ тоже поможем: приходите на бесплатный вводный урок и все увидите сами.