Площадь круга (S) — это численная характеристика части плоскости, ограниченной окружностью, которая равна произведению константы π (≈ 3,14) на квадрат радиуса круга R: S = π · R². Через диаметр круга D = 2R площадь вычисляется по формуле S = (π · D²) / 4, а через длину окружности C — по формуле S = C² / (4π).
- 3 главные формулы полной площади круга: 1) через радиус:
S = π · R²; 2) через диаметр:S = (π · D²) / 4; 3) через длину окружности:S = C² / (4π). - Площадь кругового сектора с центральным углом α° (ОГЭ №16 и ЕГЭ №1):
S_сект = (π · R² · α°) / 360° = (S_круга · α°) / 360°. - Площадь кольца (между внешней окружностью R и внутренней r):
S_кольца = π · (R² − r²) = π · (R − r)(R + r).
Правило для бланка ОГЭ и ЕГЭ: не путайте формулу площади круга S = πR² (радиус возводится В КВАДРАТ: при увеличении R в 3 раза площадь растёт в 3² = 9 раз!) с формулой длины окружности C = 2πR! В бланках ОГЭ и ЕГЭ в ответе просят указать величину S / π (число без знака π).
2. Формула вычисления темы применена.
3. Итоговый результат: 10.
Определение основных понятий
Прежде чем погрузиться в последовательность расчетов и узнать, чему равна площадь круга, важно выяснить разницу между понятиями окружности и круга.
Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от центра.
Круг — множество точек на плоскости, которые удалены от центра на расстоянии, не превышающем радиус.
Если говорить простым языком, окружность — это замкнутая линия, как, например, кольцо и шина. Круг — плоская фигура, ограниченная окружностью, как монетка или крышка люка.
Получи больше пользы от Skysmart:
-
Подготовься к ОГЭ на пятёрку
-
Подготовься к ЕГЭ на высокие баллы
Записывайся на бесплатные курсы для детей
Решай задания в бесплатном тренажёре ЕГЭ
Формула вычисления площади круга
Давайте разберем несколько формул расчета площади круга. Поехали!
Площадь круга через радиус
S = π × r2, где r — это радиус, π — это константа, которая выражает отношение длины окружности к диаметру, она приблизительно равна 3,14.
Площадь круга через диаметр
S = d2 : 4 × π, где d — это диаметр.
Площадь круга через длину окружности
S = L2 : (4 × π), где L — это длина окружности.
Популярные единицы измерения площади:
- квадратный миллиметр (мм2);
- квадратный сантиметр (см2);
- квадратный дециметр (дм2);
- квадратный метр (м2);
- квадратный километр (км2);
- гектар (га).
Задачи. Определить площадь круга
Мы разобрали три формулы для вычисления площади круга. А теперь тренироваться — поехали!
Задание 1. Как найти площадь круга по диаметру, если значение радиуса равно 6 см.
Как решаем:
Диаметр окружности равен двум радиусам.
Используем формулу: S = π × d2 : 4.
Подставим известные значения: S = 3,14 × 122 : 4.
S = 113,04 см2.
Ответ: 113,04 см2.
Задание 2. Найти площадь круга, если известен диаметр, равный 90 мм.
Как решаем:
Используем формулу: S = π × d2 : 4.
Подставим известные значения: S = 3,14 × 902 : 4.
S = 6358,5 мм2.
Ответ: 6358,5 мм2.
Задание 3. Найти длину окружности при радиусе 3 см.
Как решаем:
Отношение длины окружности к диаметру является постоянным числом.
π = L : d
Получается: L = d × π.
Так как диаметр равен двум радиусам, то формула длины окружности примет вид: L = 2 × π × r.
Подставим значение радиуса: L = 2 × 3,14 × 3.
L = 18,84 см2.
Ответ: 18,84 см2.
2. Практикум: разбор реальных задач ОГЭ и ЕГЭ
1. Находим радиус круга: R = D / 2 = 10 / 2 = 5 см.
2. Подставляем в формулу S = πR²: S = 25π ≈ 25 · 3,14 = 78,5 см².
3. Для бланка ОГЭ (S / π): 25.
1. Центральный угол 60° составляет 60° / 360° = 1/6 часть от всего круга (360°).
2. Делим площадь круга на 6: S_сект = 90 / 6 = 15.
1. По формуле площади кольца: S_кольца = π(R² − r²) = π(5² − 3²) = 16π.
2. Делим на π: 16.
3. Контрольный чек-лист: на чём срезаются школьники
- Ловушка экзамена: Невнимательность при вычислениях по формуле темы «Площадь круга» приводит к потере первичных баллов в первой части.
- Ловушка экзамена: Обязательно проверяйте допустимые значения переменных (ОДЗ) и размерность величин перед записью в бланк.
- Ловушка экзамена: Во второй части ОГЭ/ЕГЭ решение без пояснения применённого правила оценивается в 0 баллов даже при верном ответе.
В заданиях ОГЭ и Профильного ЕГЭ эксперты ФИПИ строго оценивают логику каждого шага и обоснование формул.
На индивидуальных уроках на онлайн-курсах по математике в Skysmart методисты и действующие эксперты экзаменационной комиссии разбирают все подводные камни темы и доводят решение до автоматизма.
4. Ответы на частые вопросы (FAQ)
В каком классе изучают тему «Площадь круга»?
Тема подробно изучается в школьном курсе математики и входит в обязательный кодификатор ОГЭ и ЕГЭ.
Как быстро проверить ответ в задачах на «Площадь круга»?
Подставьте полученный результат обратно в исходное соотношение и проверьте соответствие условию задачи.
