Теорема косинусов и теорема синусов — это фундаментальные тригонометрические законы геометрии, связывающие длины трёх сторон с углами в непрямоугольных фигурах. С их помощью можно вычислить любой неизвестный элемент, если задан произвольный произвольный треугольник на плоскости.
Теорема косинусов выражает квадрат стороны через сумму квадратов двух других без удвоенного произведения на косинус угла: a² = b² + c² − 2bc·cos α. В случае прямого угла косинус обращается в ноль, превращая равенство в классический прямоугольный треугольник и теорему Пифагора.
Теорема синусов устанавливает пропорциональность сторон синусам противолежащих углов, а коэффициент отношения равен диаметру 2R: a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2R, где радиус описанной окружности рассматривает вписанная и описанная окружность. Все следствия также подробно разбирает теорема косинусов.
2. a² = 25 + 64 − 2 · 5 · 8 · 0.5 = 89 − 40 = 49
3. a = √49 = 7.00
Метрика экзаменационных требований: структура заданий ФИПИ
| Параметр оценивания | Период (2024–2025) | Регламент (2027) |
|---|---|---|
| ОГЭ: Геометрический минимум | Минимум 2 балла по геометрии для получения аттестата | Требование сохранено: минимум 2 балла за геометрию (задания №15, 23). Формулы синусов и косинусов есть в бланке. |
| ЕГЭ Профиль: Планиметрия 2-й части | №14 оценивается в 3 первичных балла | Без изменений: задание №14 дает 3 первичных балла. Формул в бланке нет — знание наизусть строго обязательно. |
Теорема косинусов: формулировка и связь с теоремой Пифагора
Теорема косинусов гласит, что квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними: a² = b² + c² − 2bc · cos α.
Если угол α является прямым (90 градусов), cos 90° = 0, и слагаемое с удвоенным произведением исчезает, возвращая классическую формулу Пифагора a² = b² + c².
Доказательство через систему координат
Поместим вершину треугольника в начало декартовой системы координат и выразим расстояние между вершинами через координаты их точек:
Доказательство через высоту
Опустим высоту из вершины треугольника на противоположное основание и запишем соотношения Пифагора для двух прямоугольных треугольников:
Получи больше пользы от Skysmart:
-
Подготовься к ОГЭ на пятёрку
-
Подготовься к ЕГЭ на высокие баллы
Записывайся на бесплатные курсы для детей
Решай задания в бесплатном тренажёре ЕГЭ
Следствие из теоремы косинусов: вычисление углов
Выразив косинус из базового уравнения, находим угол треугольника исключительно по длинам трёх его сторон: cos α = (b² + c² − a²) / (2bc).
Теорема синусов и радиус описанной окружности (2R)
Теорема синусов определяет, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов: a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2R, где константа пропорциональности строго равна диаметру описанной окружности.
Практикум: задачи ОГЭ и ЕГЭ
1. По теореме синусов: BC / sin A = 2R.
2. 2R = (6√2) / (√2 / 2) = 12 ⇒ R = 6.
1. c² = a² + b² − 2ab·cos 60° = 25 + 64 − 2·5·8·0.5 = 49.
2. c = √49 = 7.
В задачах №23 ОГЭ и №14 Профильного ЕГЭ замена синусов на косинусы без указания остроугольности или тупоугольности треугольника аннулирует решение.
Преподаватели онлайн-школы Skysmart на индивидуальных тренажёрах отрабатывают методы решения планиметрии второй части до автоматизма.
Часто задаваемые вопросы (FAQ)
В каком классе проходят эти теоремы?
Теоремы синусов и косинусов изучают в 9 классе общеобразовательной школы в теме «Соотношения между сторонами и углами треугольника».
Какую теорему выбрать, если даны две стороны и угол?
Если угол лежит между данными сторонами, применяют теорему косинусов. Если угол лежит напротив одной из сторон, используют теорему синусов.
Как теорема косинусов работает для тупого угла?
Косинус тупого угла отрицателен, поэтому минус перед удвоенным произведением меняется на плюс: a² = b² + c² + 2bc·|cos α|.
