Главное о теоремах синусов и косинусов
Обе теоремы работают в любых произвольных треугольниках (остроугольных, прямоугольных, тупоугольных). Теорема косинусов — это обобщённая теорема Пифагора: находит сторону по двум сторонам и углу между ними либо угол по трём сторонам. Теорема синусов показывает, что стороны пропорциональны синусам противолежащих углов, а их отношение равно удвоенному радиусу описанной окружности (2R).
Теорема синусов: формулировка, формула
В прямоугольном треугольнике синус угла находится просто — как отношение противолежащего катета к гипотенузе. Но что делать, если треугольник произвольный (разносторонний, остроугольный или тупоугольный)? Для этого существует теорема синусов.
Формулировка: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. При этом коэффициент пропорциональности равен диаметру окружности, описанной около этого треугольника (удвоенному радиусу 2R).
где a, b, c — стороны треугольника; α, β, γ — противолежащие им углы; R — радиус описанной окружности.
Когда применять теорему синусов:
Дана 1 сторона и 2 угла: третий угол находится мгновенно (180° − сумма двух известных), после чего через пропорцию находятся оставшиеся стороны.
Даны 2 стороны и угол напротив одной из них: находим синус второго угла: sin β = (b · sin α) / a.
В задаче требуется найти радиус описанной окружности R: используется формула R = a / (2 · sin α). Это самый частый прототип задания №15 на ОГЭ!
Получи больше пользы от Skysmart:
-
Подготовься к ОГЭ на пятёрку
-
Подготовься к ЕГЭ на высокие баллы
Записывайся на бесплатные курсы для детей
Решай задания в бесплатном тренажёре ЕГЭ
Теорема косинусов: формулировка и связь с теоремой Пифагора
Для начала вспомним теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: a² + b² = c².
Теорема косинусов — это обобщение теоремы Пифагора на любой произвольный треугольник. Если в прямоугольном треугольнике угол прямой и cos 90° = 0, то в произвольном треугольнике появляется поправочное слагаемое.
Формулировка: Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
Доказательство теоремы косинусов через систему координат
В первом доказательстве используем формулу расстояния между двумя точками в декартовых координатах:
BC² = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²
Поместим вершину A в начало координат (0; 0), а сторону AB направим вдоль оси OX. Тогда координаты точки B равны (c; 0), а координаты вершины C равны (b·cos α; b·sin α) при α ∈ (0°; 180°).
Используя основное тригонометрическое тождество cos² α + sin² α = 1, распишем длину стороны BC = a:
a² = (b·cos α − c)² + (b·sin α)² = b²·cos² α − 2bc·cos α + c² + b²·sin² α = b²(cos² α + sin² α) + c² − 2bc·cos α = b² + c² − 2bc·cos α.
Что и требовалось доказать!
Геометрическое доказательство через высоту
Опустим высоту CD на сторону AB (или её продолжение):
- AD = b · cos α
- DB = c − b · cos α
Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:
- h² = b² − (b · cos α)²
- h² = a² − (c − b · cos α)²
Приравниваем правые части и раскрываем скобки: a² = b² + c² − 2bc · cos α.
Формулировка теоремы для каждой из трёх сторон треугольника
Теорема косинусов абсолютно симметрична и может быть записана для любой стороны:
- a² = b² + c² − 2bc · cos α
- b² = c² + a² − 2ca · cos β
- c² = a² + b² − 2ab · cos γ
Косинусы углов треугольника и следствия
Теорема косинусов позволяет найти как длину неизвестной стороны, так и величину любого угла треугольника, если известны все 3 стороны:
Определение вида треугольника по знаку косинуса:
- Когда b² + c² − a² > 0 (cos α > 0) — угол α острый.
- Когда b² + c² − a² = 0 (cos α = 0) — угол α прямой (90°), треугольник прямоугольный.
- Когда b² + c² − a² < 0 (cos α < 0) — угол α тупой.
Определение угла и пределы изменения sin и cos
В геометрии треугольника угол α всегда лежит в диапазоне от 0° до 180°:
- Предел изменения косинуса: −1 < cos α < 1
- Предел изменения синуса: 0 < sin α ≤ 1
Школьники чаще всего теряют баллы на знаке косинуса во второй четверти (от 90° до 180°):
cos 120° = −cos(180° − 120°) = −cos 60° = −0,5
cos 135° = −√2 / 2 ≈ −0,7071 | cos 150° = −√3 / 2 ≈ −0,8660
При подстановке в формулу теоремы косинусов минус на минус даёт плюс: a² = b² + c² − 2bc·(−0,5) = b² + c² + bc!
Сравнительная таблица: синусы и косинусы
Чтобы мгновенно выбирать правильный инструмент на экзамене, используйте эту шпаргалку:
|
Параметр |
Теорема синусов |
Теорема косинусов |
|---|---|---|
Основная формула |
a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2R |
a² = b² + c² − 2bc · cos α |
Когда применять |
Известны 2 угла и сторона ИЛИ 2 стороны и угол напротив одной из них; поиск радиуса описанной окружности R |
Известны 2 стороны и угол между ними ИЛИ известны все 3 стороны (нужно найти угол) |
Связь с окружностью |
Прямая: отношение стороны к синусу угла равно 2R (диаметру) |
Не связана напрямую с описанной окружностью |
Связь с теоремой Пифагора |
Косвенная (через тригонометрическое тождество) |
Прямое обобщение: при α = 90° слагаемое с косинусом обнуляется: a² = b² + c² |
Где встречается на ОГЭ |
Задание №15 (1 балл) |
Задание №15 (1 балл), задание №23 (2 балла) |
Где встречается на ЕГЭ |
База №15; Профиль №1, планиметрия №14 |
База №15; Профиль №1, стереометрия и сечения №14 |
Геометрия пугает многих школьников именно обилием формул и рисунков. В онлайн-школе Skysmart мы не заставляем зубрить — преподаватели раскладывают каждую теорему на понятные жизненные ассоциации и набивают руку на типовых заданиях ФИПИ. Запишитесь на бесплатный вводный урок, чтобы проверить свой уровень знаний и составить персональный план подготовки к ОГЭ или ЕГЭ!
Интерактивный онлайн-тренажёр с вводом своих данных
Введите длины сторон и градусные меры углов из вашего домашнего задания или варианта ОГЭ/ЕГЭ, чтобы получить точный ответ и пошаговый ход решения:
Разбор задач и реальных заданий ОГЭ и ЕГЭ
Ход решения:
1. Так как AM + MB = 9 и AM / MB = 1 / 2, получаем: AM = 3, MB = 6.
2. Из прямоугольного треугольника ABC находим косинус угла B (отношение прилежащего катета к гипотенузе):
cos B = BC / AB = 3 / 9 = 1 / 3.
3. Теперь в треугольнике CMB применяем теорему косинусов для стороны CM:
Ход доказательства:
1. Запишем формулу косинуса угла C по следствию из теоремы косинусов:
2. Так как по условию a² + b² < c², числитель дроби (a² + b² − c²) строго отрицателен. Знаменатель 2ab всегда положителен (длины сторон треугольника больше нуля).
3. Следовательно, cos C < 0. Так как косинус отрицателен только во 2-й четверти (от 90° до 180°), угол ∠C является тупым. Что и требовалось доказать!
Пошаговый ход решения:
1. По расширенной теореме синусов отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности:
BC / sin A = 2R
2. Подставляем данные из условия: BC = 6√2, A = 45°, sin 45° = √2 / 2:
2R = 6√2 / (√2 / 2) = 6√2 · (2 / √2) = 12
3. Находим радиус R:
R = 12 / 2 = 6
Пошаговый ход решения:
1. Даны две стороны и угол между ними — применяем теорему косинусов:
c² = a² + b² − 2ab · cos γ
2. Подставляем a = 5, b = 8, γ = 60° (cos 60° = 0,5):
c² = 5² + 8² − 2 · 5 · 8 · 0,5 = 25 + 64 − 40 = 49
3. Извлекаем квадратный корень: c = √49 = 7.
Пошаговый ход решения:
1. В треугольнике угол тупой: ∠B = 120°. Вспоминаем значение тригонометрической функции тупого угла:
cos 120° = cos(180° − 60°) = −cos 60° = −0,5
2. Записываем теорему косинусов для стороны AC:
AC² = AB² + BC² − 2 · AB · BC · cos 120°
3. Подставляем числа (обратите внимание на смену знака с минуса на плюс!):
AC² = 3² + 5² − 2 · 3 · 5 · (−0,5) = 9 + 25 + 15 = 49
4. Получаем длину стороны: AC = √49 = 7.
Пошаговый ход решения:
1. Медиана BM делит сторону AC пополам: AM = MC = 8 / 2 = 4.
2. Найдём косинус угла A из исходного треугольника ABC по следствию из теоремы косинусов:
cos A = (AB² + AC² − BC²) / (2 · AB · AC) = (7² + 8² − 9²) / (2 · 7 · 8)
cos A = (49 + 64 − 81) / 112 = 32 / 112 = 2 / 7
3. Теперь применим теорему косинусов для треугольника ABM, чтобы найти длину медианы BM:
BM² = AB² + AM² − 2 · AB · AM · cos A
BM² = 7² + 4² − 2 · 7 · 4 · (2 / 7) = 49 + 16 − 16 = 49
4. Искомая длина медианы: BM = √49 = 7.
Частые ошибки школьников и контрольный чек-лист
Перед тем как сдать экзаменационный бланк, проверьте своё решение по этим четырём контрольным пунктам:
Забыли удвоенный радиус 2R в теореме синусов: многие помнят отношение a / sin α, но приравнивают его к R, получая в два раза больший ответ. Помните: a / sin α = 2R (диаметр)!
Знак косинуса тупого угла: для углов от 90° до 180° косинус всегда отрицательный. Произведение −2bc·cos α становится положительным числом.
Неправильная пара «сторона — противолежащий угол»: в формуле теоремы косинусов угол α всегда лежит строго напротив стороны a, стоящей в левой части уравнения.
Несоответствие единиц: калькуляторы и онлайн-таблицы иногда считают в радианах. На экзаменах ОГЭ и ЕГЭ углы задаются строго в градусах!
Ответы на частые вопросы (FAQ)
|
Коротко о теоремах синусов и косинусов |
|
|---|---|
|
Вопрос |
Ответ |
В каком классе проходят теоремы синусов и косинусов? |
В 9 классе общеобразовательной школы в курсе геометрии по учебнику Атанасяна или Погорелова. |
Можно ли использовать теорему косинусов в прямоугольном треугольнике? |
Да. Так как cos 90° = 0, формула превращается в классическую теорему Пифагора: a² = b² + c². |
Какую теорему выбрать, если даны две стороны и угол? |
Если угол лежит между ними — применяйте теорему косинусов. Если угол лежит напротив одной из сторон — теорему синусов. |
Даются ли формулы теорем в справочных материалах на экзамене? |
В справочных материалах ОГЭ базовая формула теоремы косинусов и синусов приведена. На Профильном ЕГЭ справочных материалов по геометрии нет — обе формулы нужно знать наизусть! |
Как найти радиус описанной окружности правильного треугольника? |
По теореме синусов: a / sin 60° = 2R ⇒ R = a / (2 · √3/2) = a / √3. |
