Теорема косинусов и синусов

9 класс — насыщенное новыми знаниями время. Чтобы не запутаться в законах геометрии, рекомендуем сделать карточки с информацией по каждой теме. В этой статье вы найдете самое важное про правило косинусов.
  • Автор

    Лидия Казанцева

  • Дата публикации

    17.12.2020

  • Просмотры

    2492

Формулировка и доказательство теоремы косинусов

Для начала вспомним теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Формула Теоремы Пифагора:

a2> + b2> = c2>, где a, b — катеты, с — гипотенуза.


Формула Теоремы Пифагора:

Из формулы следует: a2 = c2 - b2

К полученному выражению прибавим и отнимем квадрат второго катета:


прибавим и отнимем квадрат второго катета
прибавим и отнимем квадрат второго катета2

Но так как b = c * cos α, то


b = c * cos α, то

Эту формулу мы получили для катетов в прямоугольном треугольнике, но аналогичная связь между стороной а и косинусом противолежащего угла справедлива и для произвольного треугольника.

Теорема косинусов звучит так: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Формула теоремы косинусов:

a2 = b2 + c2 - 2bc cos α


Формула теоремы косинусов

В доказательстве теоремы косинусов используем формулу длины отрезка в координатах. Рассмотрим данную формулу:

BC2 = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2


доказательстве теоремы косинусов

В доказательстве теоремы косинусов BC — это сторона треугольника АВС, которая обозначена буквой а. Введем удобную систему координат и найдем координаты нужных нам точек. У точки В координаты (с; 0).
Координаты точки С — (b cos α; b sin α) при α ∈ (0° ; 180°).

BC2 = a2 = (b cos α - c)2 + b2sin2α = b2cos2α + b2sin2α - 2bc cos α + c2 = b2(cos2α + sin2α) - 2bc cos α + c2

cos2α + sin2α = 1основное тригонометрическое тождество.

b2(cos2α + sin2α) - 2bc cos α + c2 = b2 + c2 - 2bc cos α

Что и требовалось доказать.

Следствие из теоремы косинусов: теорему косинусов также можно использовать для определения косинуса угла треугольника:


Следствие из теоремы косинусов

 

  • Когда b2 + c2 - a2 > 0, угол α будет острым.
  • Когда b2 + c2 - a2 = 0, угол α будет прямым.
  • Когда b2 + c2 - a2 < 0, угол α будет тупым.
Запоминаем
Когда угол α прямой, то теорема косинусов превращаеся в теорему Пифагора.

Сформулируем еще одно доказательство теоремы косинусов.

Пусть нам дан треугольник ABC, в котором из вершины C на сторону AB опустили высоту CD. Это значит:

  • AD = b * cos α,
  • DB = c – b * cos α.
доказательство теоремы косинусов.

Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:

  • h2 = b2 - (b * cos α)2
  • h2 = a2 - (c – b * cos α)2

Приравниваем правые части уравнений:

  • b2 - (b * cos α)2 = a2 - (c - b * cos α)2

либо

  • a2 = b2 + c2 - 2bc * cos α

Если один из углов при основании тупой (высота упирается в продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному выше.

Определим стороны b и c:

  • b2 = a2 + c2 - 2ac * cos β;
  • c2 = a2 + b2 - 2ab * cos γ.
теорема косинусов для треугольников

Формулировка теоремы для каждой из сторон треугольника

Теорема косинусов справедлива для всех сторон треугольника, то есть:

a2 = b2 + c2 - 2bc cos α

b2 = c2 + a2 - 2ca cos β

c2 = a2 + b2 - 2ab cos γ


Формулировка теоремы для каждой из сторон треугольника

Таким образом, теорема косинусов обобщает теорему Пифагора. Закон косинуса может быть использован для любого вида треугольника.

Описание формулы косинуса угла из теоремы косинусов

Теорема косинусов позволяет найти как косинус, так и угол треугольника. Найдём косинусы углов:


Описание формулы косинуса угла из теоремы косинусов рис.1

Описание формулы косинуса угла из теоремы косинусов рис.2

Описание формулы косинуса угла из теоремы косинусов рис.3

Аналогично:


Описание формулы косинуса угла из теоремы косинусов рис. 4

Описание формулы косинуса угла из теоремы косинусов рис.5

Определение угла с помощью косинуса

А теперь обратим внимание на углы.

Как мы уже знаем, косинус угла из промежутка (0°; 180°) определяет угол (в отличие от его синуса).

Пусть нам дана единичная полуокружность. Если нам задан cos α, то нам задана точка на верхней полуокружности и задан угол α. Следовательно, cos α однозначно определяет точку М(cos α; sin α), и однозначно определяется угол ∠AOM.


Определение угла с помощью косинуса

Рассмотрение пределов изменения cos α и sin α

Рассмотрим пределы изменения синуса и косинуса α. Вспомним, что если α — угол треугольника, то он лежит в пределах от 0° до 180°.

Предел изменения косинуса: -1 < cos α < 1.

Предел изменения синуса: 0 < sin α ≤ 1.


Рассмотрение пределов изменения cos α и sin α
  • Если cos α > 0, то α ∈ (0°;90°)
  • Если cos α < 0, то α ∈ (90°;180°)
  • Если cos α = 0, то α = 90°

Примеры решения задач

При помощи теоремы косинусов можно решать задачки по геометрии. Рассмотрим интересные случаи.

Пример 1. Дан треугольник АВС. Найти длину СМ.

∠C = 90°, АВ = 9, ВС = 3, AM/MB = 1/2, где М — точка на гипотенузе АВ.


Дан треугольник АВС. Найти длину СМ

Как решаем:

 
  1. Так как АМ + МВ = 9, а AM/MB = 1/2, то АМ = 3, МВ = 6.
    Из треугольника АВС найдем cos B:

    Из треугольника АВС найдем cos B

  2. Из треугольника СМВ по теореме косинусов найдём СМ:
    Из треугольника СМВ по теореме косинусов найдём СМ шаг 1

    Из треугольника СМВ по теореме косинусов найдём СМ шаг 2

    Из треугольника СМВ по теореме косинусов нашли СМ

Ответ: СМ = √33.

Пример 2. Дан треугольник АВС, в котором a+ b2 < c2. Доказать, что ∠C — тупой угол.


Доказать, что ∠C — тупой угол.

Как доказываем:

 
  1. Для доказательства нужно вспомнить теорему косинусов для угла ∠C: 
    нужно вспомнить теорему косинусов для угла ∠C

  2. Так как a2  + b2 < c2, то cos C < 0, следовательно, ∠C — тупой.

Что и требовалось доказать.

Эта задача нам показала, что с помощью теоремы косинусов можно определить тупой угол или острый.

  • Если c2 = a2 + b2, то ∠C = 90°.
 с помощью теоремы косинусов можно определить тупой угол или острый.
  • Если c2 < a2 + b2, то ∠C — острый.
Если c2 < a2 + b2, то ∠C — острый

Чтобы ребенок еще лучше учился в школе, запишите его на уроки математики в онлайн-школу Skysmart. Наши преподаватели понятно объяснят что угодно — от дробей до синусов — и ответят на вопросы, которые бывает неловко задать перед всем классом. А еще помогут догнать сверстников и справиться со сложной контрольной.

Вместо скучных параграфов ребенка ждут интерактивные упражнения с мгновенной автоматической проверкой и онлайн-доска, где можно рисовать и чертить вместе с преподавателем. Приходите на бесплатный вводный урок математики вместе с ребенком и попробуйте сами!

Бесплатный вводный урок
Шаг 1 из 2. Данные ученика
Класс
Цель обучения
Поделиться: