Трапеция — это выпуклый четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны (называются основаниями a и b), а две другие стороны не параллельны (называются боковыми сторонами c и d). Площадь любой трапеции равна произведению полусуммы оснований (средней линии m) на высоту h: S = ((a + b) / 2) · h = m · h.
- Площадь и средняя линия трапеции (ОГЭ №17 и ЕГЭ №1):
m = (a + b) / 2иS = ((a + b) / 2) · h = m · h. - Свойство углов при боковой стороне: сумма углов, прилежащих к любой боковой стороне трапеции, равна 180° (∠A + ∠B = 180°).
- Проекции боковых сторон равнобедренной трапеции (c = d): высота из тупого угла делит большее основание b на два отрезка: меньший равен полуразности (b − a) / 2, а больший равен средней линии (a + b) / 2!
- Вписанная и описанная окружность: описать окружность можно только около равнобедренной трапеции; вписать окружность — если
a + b = c + d(и тогдаh = 2r).
Правило для бланка ОГЭ и ЕГЭ: золотое правило равнобедренной трапеции для ОГЭ (№17, №23) и ЕГЭ (№1): если опустить высоту из вершины на большее основание, то больший из двух отрезков основания ВСЕГДА равен средней линии m = (a + b) / 2!
2. Формула вычисления темы применена.
3. Итоговый результат: 10.
1. Теоретический базис темы «Трапеция»
Определение трапеции и её элементы
Трапеция — это четырёхугольник, только две стороны которого параллельны.
Параллельные стороны трапеции называются основаниями (верхнее, как правило, меньшее, а нижнее — большее). Две другие стороны, не параллельные друг другу, принято называть боковыми.
В трапеции можно провести две диагонали.
Обратите внимание
На рисунке угол CBD и угол ADB отмечены равными. Можете ли вы объяснить, почему это верно?
Так как в трапеции основания параллельны по определению, диагональ BD можно считать секущей. И тогда указанные выше углы равны, так как являются накрест лежащими. Аналогично для диагонали АС: угол ВСА и угол CAD равны.
Знания по темам «Параллельные прямые» и «Секущая» часто применяются в решении задач про трапецию. Если эта тема у вас вызывает затруднения, приходите на курсы по математике в онлайн-курсах Skysmart: на них вы закрепите эту и другие темы из школьной программы, а также подготовитесь к ЕГЭ или ОГЭ за короткий срок.
Виды трапеций
Вышеперечисленные элементы есть у всех трапеций без исключений. А по виду трапеции делятся на:
-
обычные,
-
равнобедренные или равнобокие — у них равны боковые стороны и углы при основании,
-
прямоугольные, у которых один из углов при основании равен 90°, т. е. одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям трапеции.
Получи больше пользы от Skysmart:
-
Подготовься к ОГЭ на пятёрку
-
Подготовься к ЕГЭ на высокие баллы
Записывайся на бесплатные курсы для детей
Решай задания в бесплатном тренажёре ЕГЭ
Средняя линия трапеции
Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон и параллельный основаниям трапеции. Чаще всего среднюю линию обозначают буквами MN, но это не является правилом.
Средняя линия равна полусумме оснований трапеции.
Длины оснований и средней линии трапеции составляют арифметическую прогрессию. То есть верхнее основание отличается от средней линии на столько же, на сколько средняя линия отличается от нижнего основания.
Например: если BC = 5 и AD = 13, то MN = (5 + 13) / 2 = 9.
Ряд чисел {5; 9; 13} — арифметическая прогрессия, в которой разница между соседними элементами равна 4.
Диагонали делят среднюю линию трапеции на три отрезка. Средний из них равен полуразности оснований, а два крайних равны между собой:
А как найти отрезки МL и KN?
Они равны половине верхнего основания,
Высота трапеции
Высота трапеции — это перпендикуляр, проведенный из вершины угла трапеции на прямую, содержащую противолежащее основание. Из какого бы угла мы ни провели высоты, они будут равны друг другу. А в прямоугольной трапеции высота совпадает с одной из боковых сторон!
Площадь и периметр трапеции
Периметр трапеции — сумма длин всех её сторон.
Площадь трапеции можно вычислить по формуле:
-
a, b — основания трапеции;
-
h — высота трапеции;
-
MN — средняя линия трапеции.
Также можно воспользоваться дополнительными формулами:
-
d1, d2 — диагонали трапеции;
-
-
p — полупериметр трапеции;
-
r — радиус вписанной окружности.
Не забывайте, что площадь любой фигуры также можно найти через сумму площадей фигур, которые её составляют. Например, если в трапеции проведены диагонали, делящие её на четыре треугольника, то площадь трапеции будет равна сумме площадей этих треугольников.
Вписанная и описанная трапеции
Если трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная. И наоборот, если трапеция равнобедренная, то около неё можно описать окружность.
-
Если трапеция описана около окружности, то сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.
-
Если в трапецию вписана окружность с радиусом r и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — a и b, то
-
Радиус вписанной окружной также можно найти через формулу
Свойства трапеции
Основные свойства
Как у любой другой геометрической фигуры, у трапеции есть определённые свойства или характеристики, которые являются для неё отличительными, выделяют из списка фигур.
-
Для трапеции справедливо
свойство любого четырёхугольника : сумма её углов равна 360°. -
Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна 180°.
-
Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.
-
Треугольники AOD и COB, образованные при пересечении диагоналей, подобны: k = AD/BC.
Треугольники ABO и DCO имеют одинаковую площадь, т. е. они равновеликие.
-
«Замечательное свойство трапеции»: точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
-
Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.
Свойства равнобедренных трапеций
Отдельно можно выделить дополнительные свойства равнобедренных трапеций:
-
Диагонали в равнобедренной трапеции равны.
-
Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.
Проверить, насколько хорошо вы усвоили тему «Трапеция», можно в нашем бесплатном тренажёре ЕГЭ. Переходите по ссылке и делитесь с друзьями классным инструментом, с помощью которого можно закрыть пробелы в знаниях и подготовиться к контрольным и экзаменам!
2. Практикум: разбор реальных задач ОГЭ и ЕГЭ
1. Диагональ делит трапецию на два треугольника, для каждого из которых отрезок средней линии трапеции является средней линией треугольника.
2. Отрезки равны половинам оснований: 6 / 2 = 3 и 16 / 2 = 8. Больший отрезок равен 8.
1. Так как сумма углов при боковой стороне равна 180°, сумма 104° может быть суммой только двух равных острых углов при большем основании: α = 104° / 2 = 52°.
2. Тупой угол равен: 180° − 52° = 128°.
1. По свойству описанного 4-угольника сумма оснований равна сумме боковых сторон и равна полупериметру: a + b = 2c = 40 / 2 = 20 ⇒ боковая сторона c = 10.
2. Высота трапеции равна диаметру вписанной окружности: h = 2r = 8.
3. Площадь: S = ((a + b) / 2) · h = 10 · 8 = 80.
3. Контрольный чек-лист: на чём срезаются школьники
- Ловушка экзамена: Невнимательность при вычислениях по формуле темы «Трапеция» приводит к потере первичных баллов в первой части.
- Ловушка экзамена: Обязательно проверяйте допустимые значения переменных (ОДЗ) и размерность величин перед записью в бланк.
- Ловушка экзамена: Во второй части ОГЭ/ЕГЭ решение без пояснения применённого правила оценивается в 0 баллов даже при верном ответе.
В заданиях ОГЭ и Профильного ЕГЭ эксперты ФИПИ строго оценивают логику каждого шага и обоснование формул.
На индивидуальных уроках на онлайн-курсах по математике в Skysmart методисты и действующие эксперты экзаменационной комиссии разбирают все подводные камни темы и доводят решение до автоматизма.
4. Ответы на частые вопросы (FAQ)
В каком классе изучают тему «Трапеция»?
Тема подробно изучается в школьном курсе математики и входит в обязательный кодификатор ОГЭ и ЕГЭ.
Как быстро проверить ответ в задачах на «Трапеция»?
Подставьте полученный результат обратно в исходное соотношение и проверьте соответствие условию задачи.
