Определение трапеции и её элементы
Трапеция — это четырёхугольник, только две стороны которого параллельны.
Параллельные стороны трапеции называются основаниями (верхнее, как правило, меньшее, а нижнее — большее). Две другие стороны, не параллельные друг другу, принято называть боковыми.
В трапеции можно провести две диагонали.
Обратите внимание
На рисунке угол CBD и угол ADB отмечены равными. Можете ли вы объяснить, почему это верно?
Так как в трапеции основания параллельны по определению, диагональ BD можно считать секущей. И тогда указанные выше углы равны, так как являются накрест лежащими. Аналогично для диагонали АС: угол ВСА и угол CAD равны.
Знания по темам «Параллельные прямые» и «Секущая» часто применяются в решении задач про трапецию. Если эта тема у вас вызывает затруднения, приходите на курсы по математике в онлайн-школу Skysmart: на них вы закрепите эту и другие темы из школьной программы, а также подготовитесь к ЕГЭ или ОГЭ за короткий срок.
Виды трапеций
Вышеперечисленные элементы есть у всех трапеций без исключений. А по виду трапеции делятся на:
-
обычные,
-
равнобедренные или равнобокие — у них равны боковые стороны и углы при основании,
-
прямоугольные, у которых один из углов при основании равен 90°, т. е. одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям трапеции.
Получи больше пользы от Skysmart:
-
Подготовься к ОГЭ на пятёрку.
-
Подготовься к ЕГЭ на высокие баллы.
Записывайся на бесплатные курсы для детей.
Средняя линия трапеции
Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон и параллельный основаниям трапеции. Чаще всего среднюю линию обозначают буквами MN, но это не является правилом.
Средняя линия равна полусумме оснований трапеции.
Длины оснований и средней линии трапеции составляют арифметическую прогрессию. То есть верхнее основание отличается от средней линии на столько же, на сколько средняя линия отличается от нижнего основания.
Например: если BC = 5 и AD = 13, то MN = (5 + 13) / 2 = 9.
Ряд чисел {5; 9; 13} — арифметическая прогрессия, в которой разница между соседними элементами равна 4.
Диагонали делят среднюю линию трапеции на три отрезка. Средний из них равен полуразности оснований, а два крайних равны между собой:
А как найти отрезки МL и KN?
Они равны половине верхнего основания,
Высота трапеции
Высота трапеции — это перпендикуляр, проведенный из вершины угла трапеции на прямую, содержащую противолежащее основание. Из какого бы угла мы ни провели высоты, они будут равны друг другу. А в прямоугольной трапеции высота совпадает с одной из боковых сторон!
Площадь и периметр трапеции
Периметр трапеции — сумма длин всех её сторон.
Площадь трапеции можно вычислить по формуле:
-
a, b — основания трапеции;
-
h — высота трапеции;
-
MN — средняя линия трапеции.
Также можно воспользоваться дополнительными формулами:
-
d1, d2 — диагонали трапеции;
-
-
p — полупериметр трапеции;
-
r — радиус вписанной окружности.
Не забывайте, что площадь любой фигуры также можно найти через сумму площадей фигур, которые её составляют. Например, если в трапеции проведены диагонали, делящие её на четыре треугольника, то площадь трапеции будет равна сумме площадей этих треугольников.
Вписанная и описанная трапеции
Если трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная. И наоборот, если трапеция равнобедренная, то около неё можно описать окружность.
-
Если трапеция описана около окружности, то сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.
-
Если в трапецию вписана окружность с радиусом r и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — a и b, то
-
Радиус вписанной окружной также можно найти через формулу
Свойства трапеции
Основные свойства
Как у любой другой геометрической фигуры, у трапеции есть определённые свойства или характеристики, которые являются для неё отличительными, выделяют из списка фигур.
-
Для трапеции справедливо
свойство любого четырёхугольника : сумма её углов равна 360°. -
Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна 180°.
-
Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.
-
Треугольники AOD и COB, образованные при пересечении диагоналей, подобны: k = AD/BC.
Треугольники ABO и DCO имеют одинаковую площадь, т. е. они равновеликие.
-
«Замечательное свойство трапеции»: точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
-
Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.
Свойства равнобедренных трапеций
Отдельно можно выделить дополнительные свойства равнобедренных трапеций:
-
Диагонали в равнобедренной трапеции равны.
-
Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.
Проверить, насколько хорошо вы усвоили тему «Трапеция», можно в нашем бесплатном тренажёре ЕГЭ. Переходите по ссылке и делитесь с друзьями классным инструментом, с помощью которого можно закрыть пробелы в знаниях и подготовиться к контрольным и экзаменам!
