Многоугольник (n-угольник) — это замкнутая плоская геометрическая фигура, образованная ломаной линией без самопересечений из n вершин и n сторон (при n ≥ 3). Сумма всех внутренних углов любого выпуклого n-угольника вычисляется по формуле: Sₙ = 180° · (n − 2), а сумма его внешних углов (взятых по одному при каждой вершине) не зависит от числа сторон и всегда равна 360°.
- Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника:
Sₙ = 180° · (n − 2)(для 4-угольника — 360°, для 5-угольника — 540°, для 6-угольника — 720°). - Один внутренний угол правильного n-угольника:
α = 180° · (n − 2) / n = 180° − 360° / n. - Общее число всех диагоналей выпуклого n-угольника:
D = n · (n − 3) / 2(из одной вершины выходитn − 3диагонали).
Правило для бланка ОГЭ и ЕГЭ: чтобы мгновенно найти число сторон правильного многоугольника по его внутреннему углу α (например, α = 150°), найдите сначала смежный внешний угол β = 180° − α = 30° и разделите 360° на β: n = 360° / 30° = 12 сторон!
2. Формула вычисления темы применена.
3. Итоговый результат: 10.
1. Теоретический базис темы «Многоугольники»
Что такое многоугольник
Многоугольник — это геометрическая фигура, которая образована замкнутой ломаной линией, не имеющей пересечений с самой собой.
Каждое звено этой ломаной линии называется стороной многоугольника, а точки, в которых она «ломается» — его вершинами.
Также у многоугольника есть углы — это внутренние углы, которые образованы сторонами фигуры. Часто название многоугольника совпадает с количеством его углов. Многоугольник с 3 углами — это треугольник, с 4 — четырёхугольник, с 6 — шестиугольник и т. д. Многоугольников с 2 и менее углами не бывает.
Выпуклые и вогнутые многоугольники
Выпуклым многоугольник называют тогда, когда прямая, проведённая через любую его сторону не пересекает плоскость самой фигуры.
Иначе говоря, весь многоугольник лежит по одну из сторон такой прямой. Все его внутренние углы меньше 180°.
Вогнутым многоугольник называют тогда, когда прямая, проведённая через любую его сторону пересекает плоскость самой фигуры.
Такой многоугольник легко отличить — он «сгибается» внутрь в одной из сторон. При этом хотя бы один из его внутренних углов больше 180°.
Получи больше пользы от Skysmart:
-
Подготовься к ОГЭ на пятёрку
-
Подготовься к ЕГЭ на высокие баллы
Записывайся на бесплатные курсы для детей
Решай задания в бесплатном тренажёре ЕГЭ
Периметр многоугольника
Периметр многоугольника — это сумма длин всех его сторон.
Для примера рассчитаем периметр шестиугольника
Диагональ многоугольника
Диагональ многоугольника — это отрезок, который соединяет вершины двух его углов, не имеющих общей стороны.
При этом у треугольника диагонали быть не может, потому что все его углы имеют общие стороны.
Вычислить количество диагоналей в многоугольнике можно по формуле
Если провести все возможные диагонали из одной вершины, они разделят фигуру на треугольники. При этом в случае с любым многоугольником, их будет на 2 меньше, чем углов:
Правильные многоугольники
Правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, стороны и внутренние углы которого равны.
Такие фигуры ещё называют симметричными — их можно «сложить» пополам, при этом все стороны и вершины обеих частей совпадут.
Ещё одно важное свойство: все биссектрисы углов между сторонами правильного многоугольника равны и проходят через его центр.
Особенности правильных многоугольников упрощают связанные с ними расчёты. Например,
Правильный треугольник: все формулы
|
Формулы для правильных треугольников |
|
|---|---|
|
Формула стороны через радиус вписанной окружности |
|
|
Формула стороны через радиус описанной окружности |
|
|
Формула радиуса вписанной окружности через длину стороны |
|
|
Формула радиуса описанной окружности через длину стороны |
|
|
Формула площади через длину стороны |
|
|
Формула площади через радиус вписанной окружности |
|
|
Формула площади через радиус описанной окружности |
|
|
Угол между сторонами |
|
Правильный четырёхугольник: все формулы
|
Формулы для правильных четырёхугольников |
|
|---|---|
|
Формула стороны через радиус вписанной окружности |
|
|
Формула стороны через радиус описанной окружности |
|
|
Формула радиуса вписанной окружности через длину стороны |
|
|
Формула радиуса описанной окружности через длину стороны |
|
|
Формула площади через длину стороны |
|
|
Формула площади через радиус вписанной окружности |
|
|
Формула площади через радиус описанной окружности |
|
|
Угол между сторонами |
|
Правильный шестиугольник: все формулы
|
Формулы для правильных шестиугольников |
|
|---|---|
|
Формула стороны через радиус вписанной окружности |
|
|
Формула стороны через радиус описанной окружности |
|
|
Формула радиуса вписанной окружности через длину стороны |
|
|
Формула радиуса описанной окружности через длину стороны |
|
|
Формула площади через длину стороны |
|
|
Формула площади через радиус вписанной окружности |
|
|
Формула площади через радиус описанной окружности |
|
|
Угол между сторонами |
|
Правильный восьмиугольник: все формулы
|
Формулы для правильных восьмиугольников |
|
|---|---|
|
Формула стороны через радиус вписанной окружности |
|
|
Формула стороны через радиус описанной окружности |
|
|
Формула радиуса вписанной окружности через длину стороны |
|
|
Формула радиуса описанной окружности через длину стороны |
|
|
Формула площади через длину стороны |
|
|
Формула площади через радиус вписанной окружности |
|
|
Формула площади через радиус описанной окружности |
|
|
Угол между сторонами |
|
Повторить свойства многоугольников, а также потренироваться решать задачи на эту тему можно в Тренажёре ЕГЭ. В нём собраны все темы по математике, которые встретятся на экзамене базового и профильного уровня. Задания доступны бесплатно и в любое время.
2. Практикум: разбор реальных задач ОГЭ и ЕГЭ
1. Записываем уравнение: 180° · (n − 2) = 1260°.
2. Делим обе части на 180°: n − 2 = 7 ⇒ n = 9 сторон (девятиугольник).
1. Находим внешний угол при вершине: β = 180° − 140° = 40°.
2. Так как сумма всех внешних углов равна 360°, делим 360° на 40°: n = 360° / 40° = 9 вершин.
1. Применяем формулу числа диагоналей: D = n · (n − 3) / 2.
2. Подставляем n = 8: D = 8 · (8 − 3) / 2 = 40 / 2 = 20 диагоналей.
3. Контрольный чек-лист: на чём срезаются школьники
- Ловушка экзамена: Невнимательность при вычислениях по формуле темы «Многоугольники» приводит к потере первичных баллов в первой части.
- Ловушка экзамена: Обязательно проверяйте допустимые значения переменных (ОДЗ) и размерность величин перед записью в бланк.
- Ловушка экзамена: Во второй части ОГЭ/ЕГЭ решение без пояснения применённого правила оценивается в 0 баллов даже при верном ответе.
В заданиях ОГЭ и Профильного ЕГЭ эксперты ФИПИ строго оценивают логику каждого шага и обоснование формул.
На индивидуальных уроках на онлайн-курсах по математике в Skysmart методисты и действующие эксперты экзаменационной комиссии разбирают все подводные камни темы и доводят решение до автоматизма.
4. Ответы на частые вопросы (FAQ)
В каком классе изучают тему «Многоугольники»?
Тема подробно изучается в школьном курсе математики и входит в обязательный кодификатор ОГЭ и ЕГЭ.
Как быстро проверить ответ в задачах на «Многоугольники»?
Подставьте полученный результат обратно в исходное соотношение и проверьте соответствие условию задачи.
