Все формулы приведения

Вы наверняка помните значения тригонометрических функций основных аргументов:

Но что делать, если в задаче просят вычислить ? В этом и других случаях, когда из огромного аргумента нам нужно получить аргумент в пределе от 0 до 90 градусов, работают формулы приведения.

Всего формул приведения тридцать две штуки, но прежде чем мы перейдем к формулам, давайте договоримся, что точку тригонометрической окружности, отвечающую углу , где n — целое число, мы будем называть опорной точкой.

Список формул приведения

Формулы приведения c опорной точкой (случай n = 1):

• ;

• ;

• ;

• ;

• ;

• ;

• ;

• .

Формулы приведения c опорной точкой (случай n = 2):

• ;

• ;

• ;

• ;

• ;

• ;

• ;

• .

Формулы приведения c опорной точкой (случай n = 3):

• ;

• ;

• ;

• ;

• ;

• ;

• ;

• .

Формулы приведения c опорной точкой (случай n = 4):

• ;

• ;

• ;

• ;

• ;

• ;

• ;

• .

Доказательство формул

Чтобы убедиться, что формулы рабочие, рассмотрим примеры доказательств нескольких из них.

Для этого нам нужно будет вспомнить формулы сложения для синуса и косинуса:

• ;

• .

Формула приведения с синусом

Разберем первый пример формулы приведения с синусом: . Нужно доказать, что левая часть равна правой.

По формуле синуса суммы представим левую часть выражения:

Вычислим и в получившемся выражении:

Таким образом, , что и требовалось доказать.

Формула приведения с косинусом

Рассмотрим также пример формулы приведения с косинусом и докажем ее:

Аналогично распишем левую часть по формуле косинуса суммы:

Вычислим и

Следовательно, , что и требовалось доказать.

Формула приведения с тангенсом

Чтобы доказать формулу приведения с тангенсом, нужно вспомнить, что тангенс — это отношение синуса к косинусу. Тогда для доказательства нужно лишь дважды использовать формулы сложения — попробуйте сами на формуле и сравните с примером.

При желании таким образом вы сможете доказать справедливость всех формул.

170.4K

Какая профессия тебе подходит? Узнай за 10 минут!

Получи больше пользы от Skysmart:

• Подготовься к ОГЭ на пятёрку.

• Подготовься к ЕГЭ на высокие баллы.

• Записывайся на бесплатные курсы для детей.

• Решай задания в бесплатном тренажёре ЕГЭ.

Таблица формул приведения

Нередко можно встретить такой вариант оформления формул приведения — в виде таблицы.

Для того чтобы воспользоваться этой таблицей, выберите строку с нужной функцией и столбец с необходимым аргументом — на их пересечении вы узнаете ответ.

Например, нужно упростить . говорит нам о том, что нужно выбрать первую строку, указывает на шестую колонку. На их пересечении нашли ответ: . Значит,

Маленькую распечатанную таблицу формул приведения тригонометрических функций удобно иметь в пенале на случай неожиданных контрольных.

Как запомнить формулы приведения

Одно дело — воспользоваться формулами, а совсем другое — выучить их. Знать наизусть все формулы приведения или всю таблицу — дело нелегкое и, к счастью, абсолютно ненужное.

Поэтому познакомимся с мнемоническим алгоритмом:

1. Представьте аргумент в виде , где n — целое число, а — острый угол, то есть принадлежит отрезку

2. Изобразите (на листе или мысленно) на единичной окружности данный угол.

3. С помощью окружности определите знак исходной функции. Полученная функция в правой части будет иметь такой же знак.

   Напоминаю знаки тригонометрических функций во всех четвертях тригонометрической окружности:

   

4. Если в аргументе у опорной точки n — нечетное число, то исходную функцию замените на кофункцию, то есть на противоположную функцию (синус меняется на косинус, тангенс — на котангенс, и наоборот).

   Если в аргументе у опорной точки n — четное число, то функция не меняется.

Вот с этим пунктом изменения или сохранения функции возникает постоянная путаница. А запомнить поможет «правило лошадки».

Таким образом, формулы приведения — это тригонометрические тождества вида

Задание 1

Найдите значение выражения

Вы видите, что каждое слагаемое выражения — это формула приведения тригонометрической функции. Упростим их по отдельности.

1. Сначала нужно представить аргумент в виде , где n — целое число, а — острый угол. Здесь этот шаг уже выполнен, поэтому пропускаем его.

2. Далее изображаем данный угол на тригонометрической окружности:

   

3. Определяем знак исходной функции, то есть синуса. Синус этого угла принимает положительные значения.

4. В конце определяем, меняется ли функция. В этом нам поможет «правило лошадки»: опорная точка лежит на горизонтальной оси, значит, функция не меняется на кофункцию, то есть синус не меняется на косинус.

Значит, .

Приведем аналогичные рассуждения для всех слагаемых в выражении.

1. Аргумент уже представлен в виде , где n — целое число, а — острый угол.

   

2. Косинус во второй четверти тригонометрической окружности принимает отрицательные значения.

3. Опорная точка лежит на вертикальной оси — это случай, когда косинус меняется на синус.

Значит, .

1. Аргумент уже представлен в виде , где n — целое число, а — острый угол.

   

2. Косинус в третьей четверти тригонометрической окружности принимает отрицательные значения.

3. Опорная точка лежит на вертикальной оси — это случай, когда косинус меняется на синус.

Значит, .

А теперь запишем преобразованные выражения в наше исходное и упростим:

Обратите внимание, к какому простому виду удалось привести это сложное, на первый взгляд, выражение.

Задание 2

До этого момента мы говорили о формулах приведения тригонометрических функций углов, выраженных в радианах. Однако мы понимаем, что градусы и радианы — это разные способы представления одних и тех же углов или аргументов, поэтому тригонометрические формулы приведения работают и для выражений с градусами.

Разберем на примере: найдите значение выражения .

В этом случае важно заметить, что , а значит, одну из функций, например , можно представить в виде , то есть в виде, необходимом для использования формулы приведения.

Так как первый шаг выполнен, то продолжаем идти по алгоритму.

Косинус в первой четверти тригонометрической окружности принимает положительные значения.

Опорная точка лежит на вертикальной оси, поэтому косинус меняется на синус.

Значит,

Запишем преобразованные выражения в наше исходное и упростим:

Формулы приведения в тригонометрии занимают второе место по важности и частоте использования после основного тригонометрического тождества, так что осваивайте теоретические материалы, практикуйтесь на задачках, а за другими полезными формулами и самыми хитрыми заданиями приходите на онлайн-курсы математики для детей в Skysmart.