Угол между прямыми — это фундаментальный раздел школьного курса математики, определяющий базовые свойства изучаемых математических объектов и законов. Понимание темы позволяет безошибочно выстраивать логические цепочки рассуждений и применять формулы на практике.
В курсе алгебры и геометрии материал темы «Угол между прямыми» систематизирует приёмы решения практических и теоретических задач, развивая вычислительный навык и алгоритмическое мышление школьника.
Теоретическую основу темы закладывает Параллельность прямых, практические методы расчёта развивает Перпендикулярные прямые, а проверку на экзаменах обеспечивает Векторное произведение векторов.
2. Формула вычисления темы применена.
3. Итоговый результат: 10.
Метрика экзаменационных требований: структура заданий ФИПИ
| Параметр оценивания | Период (2024–2025) | Регламент (2027) |
|---|---|---|
| Базовый уровень | Прямое применение свойств темы «Угол между прямыми» | Краткий числовой ответ в бланк №1 |
| Повышенный уровень | Составные задачи с доказательством | Развёрнутое математическое обоснование на бланке №2 |
Угол между прямыми на плоскости
Взаимное расположение прямых на плоскости
Когда мы рассматриваем положение прямых на плоскости (в декартовой системе координат XY), они могут:
-
быть параллельны друг другу;
-
пересекаться (в том числе быть перпендикулярными друг другу);
-
совпадать.
Если прямые параллельны друг другу, они никогда не пересекутся, следовательно, у них нет общих точек и они не образуют углы.
Если прямые совпадают, т. е. их будто наложили друг на друга, то у них бесконечное множество общих точек, но между ними по-прежнему не возникает углов.
Если прямые пересекаются, у них есть одна общая точка, и вследствие пересечения образуются 4 угла.
Углы, образованные при пересечении прямых
Углы, входящие в состав одного развёрнутого, называются смежными.
Углы, полученные при пересечении двух прямых и стоящие друг напротив друга, называются вертикальными. Вертикальные углы имеют равную градусную меру.
Так, на рисунке углы 4 и 2, 1 и 3 — вертикальные. Углы 4 и 1, 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4 — смежные.
Углом между прямыми принято считать наименьший угол (острый). В случае, если прямые пересекаются под углом 90°, т. е. прямые перпендикулярны друг другу, за угол между прямыми можно считать любой из прямых углов.
Как найти угол между двумя прямыми на плоскости
-
Если вам необходимо найти угол между прямыми по рисунку (чертежу), достаточно знать любой из углов, полученных при пересечении прямых. Если известный угол острый, он и будет считаться углом между прямыми. Если известный угол тупой, необходимо найти значение смежного с ним угла.
Задача 1
При пересечении прямых a и b был получен угол, равный 110°. Найдите угол между прямыми.
Мы видим, что известный угол — тупой. Найдём смежный с ним: φ = 180 − 110 = 70°.
-
Если прямые заданы с помощью уравнения y = kx + b, необходимо воспользоваться формулой:
Таким образом вы найдёте тангенс угла (и этого часто достаточно для ответа).
Если же в задании необходимо дать точное значение угла, можно воспользоваться таблицей Брадиса, где каждому значению тригонометрической функции сопоставлено значение соответствующего угла.
Важно: по значению угловых коэффициентов k можно заранее проверить, являются ли прямые перпендикулярными или параллельными:
-
если коэффициенты k у прямых равны, прямые являются параллельными;
-
если k1 ⋅ k2 = −1, прямые перпендикулярны.
Задача 2
Найдите угол между прямыми, заданными уравнениями:
Определим угловые коэффициенты:
Так как коэффициенты не равны, прямые не параллельны друг другу и не перпендикулярны, так как
Подставим значения в формулу:
Если вас смущает запись арктангенса arctg и вы не знаете, что она означает — приходите на уроки математики в онлайн-школу Skysmart. Мы научим вас уверенно работать со всеми тригонометрическими функциями, подготовим к любым экзаменам и вернём любовь к математической науке!
-
-
Если прямые заданы через векторы, то можно воспользоваться формулой для вычисления скалярного произведения векторов, выразив оттуда косинус угла между векторами:
Задача 3
Найти угол между векторами a (−1; 0) и b (3; −2), если их длины соответственно равны 2 и 5.
Ответ:
Получи больше пользы от Skysmart:
-
Подготовься к ОГЭ на пятёрку
-
Подготовься к ЕГЭ на высокие баллы
Записывайся на бесплатные курсы для детей
Решай задания в бесплатном тренажёре ЕГЭ
Угол между прямыми в пространстве
Взаимное расположение прямых в пространстве
Если мы рассматриваем расположение прямых в пространстве, для этого случая справедливы все вышеперечисленные варианты: прямые могут совпадать, быть параллельными и пересекаться. Помимо этого, возможен ещё один случай — прямые могут быть скрещивающимися.
Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости.
Представьте себе коробку (параллелепипед). Обозначим некоторые из её рёбер.
Рёбра с и d лежат в разных плоскостях и чисто физически никаким образом друг друга не касаются, не имеют общих точек, они не параллельны друг другу. Но если бы мы каким-то образом смогли приблизить их друг к другу, они могли бы пересечься.
Или представьте мост, нависающий над рекой. Дорога по мосту и по реке не пересекаются, не параллельны друг другу — мы физически можем проплыть под мостом по реке или перейти мост и увидеть людей, проплывающих внизу.
Угол между скрещивающимися прямыми
Мы можем рассчитать угол между скрещивающимися прямыми. Для этого:
-
Мы должны знать, что
через каждую из двух скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную второй прямой, и только одну . -
Параллельным переносом перенесём одну прямую на плоскость, содержащую вторую прямую.
-
Найдём угол между этими прямыми.
Чтобы закрепить пройденный материал и ещё лучше понять тему на практике, воспользуйтесь нашим бесплатным тренажёром ЕГЭ. Это лёгкий и полезный инструмент, который пригодится вам не только для подготовки к контрольным работам, но и для углубления знаний и расширения математического кругозора!
Практикум: разбор реальных задач ОГЭ и ЕГЭ
1. Записываем формулу свойства.
2. Выполняем подстановку числовых данных.
3. Получаем итоговый ответ.
Контрольный чек-лист: на чём срезаются школьники
- Ловушка экзамена: Невнимательность при вычислениях по формуле темы «Угол между прямыми» приводит к потере первичных баллов в первой части.
- Ловушка экзамена: Обязательно проверяйте допустимые значения переменных (ОДЗ) и размерность величин перед записью в бланк.
- Ловушка экзамена: Во второй части ОГЭ/ЕГЭ решение без пояснения применённого правила оценивается в 0 баллов даже при верном ответе.
В заданиях ОГЭ и Профильного ЕГЭ эксперты ФИПИ строго оценивают логику каждого шага и обоснование формул.
На индивидуальных уроках в онлайн-школе Skysmart методисты и действующие эксперты экзаменационной комиссии разбирают все подводные камни темы и доводят решение до автоматизма.
Ответы на частые вопросы (FAQ)
В каком классе изучают тему «Угол между прямыми»?
Тема подробно изучается в школьном курсе математики с 7 класса и входит в обязательный кодификатор ОГЭ и ЕГЭ.
Как быстро проверить ответ в задачах на «Угол между прямыми»?
Подставьте полученный результат обратно в исходное соотношение и проверьте соответствие условию задачи.
