Компланарность векторов

Сегодня мы поговорим о компланарных векторах и теоремах, связанных с ними. Вопросы по этой теме встречаются на экзаменах и контрольных работах, и, самое главное, на них строится дальнейшее изучение векторов в пространстве. Можно сказать, что мы поднимаемся на ступеньку выше в понимании математических законов, и от этого не может не захватывать дух!
  • Автор

    Дарья Вишнякова

  • Рубрика

    10 класс, ЕГЭ/ОГЭ

  • Дата публикации

    05.08.2022

  • Просмотры

    15

Понятие компланарности векторов

Как мы уже сказали, компланарность векторов связана с их расположением в пространстве. Чтобы понять, какие векторы называют компланарными, давайте рассмотрим несколько определений, которые раскрывают это понятие с разных сторон.

  • Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.

    Понятие компланарности векторов. Рисунок 1

  • Компланарные векторы — это векторы, которые лежат в одной плоскости или параллельны одной плоскости.

    Понятие компланарности векторов. Рисунок 2

Как вы думаете, всегда ли можно найти плоскость, параллельную двум векторам? Да, вы абсолютно правы! Именно поэтому любые два произвольных вектора можно считать компланарными.

Но если векторов не два, а три, то, чтобы назвать их компланарными, нужно выполнить определенные условия.

Давайте рассмотрим эти условия компланарности на примере векторов а, b и с. Эти векторы компланарны, когда:

  1. Пары векторов а и с, b и c, a и b компланарны между собой.

  2. Любая пара этих векторов коллинеарна (т. е. лежит на одной прямой или двух параллельных прямых).

  3. Все три вектора лежат в одной плоскости.

Примеры компланарных и некомпланарных векторов

Давайте найдем пример компланарных и некомпланарных векторов, которые разместим на ребрах параллелепипеда:

  • векторы АА1, СС1 и СВ компланарны, так как АА1 и СС1 коллинеарны;

  • векторы АВ, DC и DD1 компланарны, так как АB и DC коллинеарны;

  • векторы CD, CB и CC1 некомпланарны, так как они не лежат в одной плоскости и любая пара векторов не является коллинеарной.

Теоремы, связанные с компланарностью трех векторов

Теорема 1

Первая теорема не связана непосредственно с вопросом компланарности, но нам все равно необходимо ее вспомнить, так как она является вспомогательной.

Теоремы, связанные с компланарностью векторов. Рисунок 1

Звучит она так: любой произвольный вектор можно разложить по двум неколлинеарным векторам только с единственными коэффициентами разложения: .

Теорема 2

Если один из трех векторов можно разложить по двум другим векторам с единственными коэффициентами разложения, то эти векторы являются компланарными.

Давайте попробуем доказать эту теорему. Для этого возьмем три вектора: с, b и е, где .

  1. Пусть векторы b и е являются коллинеарными. Тогда векторы с, b и е точно являются компланарными по свойству: если два из трех векторов коллинеарны, то все три можно считать компланарными.

  2. Допустим, векторы b и е не являются коллинеарными. Тогда мы разложили вектор с по двум неколлинеарным векторам, что соответствует теореме 1. А это, в свою очередь, говорит о том, что векторы с, b и е лежат в одной плоскости и являются компланарными.

Теорема доказана!

Теорема 3

Если три вектора а, b и с являются компланарными, а векторы а и b — неколлинеарными, то вектор с можно разложить через а и b единственным образом: .

Эта теорема очень похожа на предыдущую, правда? Давайте обратим внимание на то, каким образом можно доказать то, что она верна.

Теоремы, связанные с компланарностью векторов. Рисунок 2

Раз векторы а, b и с компланарны, значит, существует такая плоскость, параллельная исходной, в которой можно построить векторы а1 = а, b1 = b, с1 = с. Раз а и b неколлинеарны, значит, новые векторы а1 и b1 тоже будут неколлинеарными. А значит, согласно теореме 1, мы можем разложить вектор с1 = ха1 + уb1.

Следовательно, .

Признак и критерий компланарности векторов

С теоремами мы успешно разобрались — пришло время перейти к завершающей части. Для полной картины нам необходимо поговорить еще о некоторых нюансах, касающихся компланарных векторов.

Линейно зависимыми называются векторы , из которых можно составить линейную комбинацию, равную нулю: .

Смешанным (или векторно-скалярным) произведением трех векторов a, b, c (взятых в указанном порядке) называется скалярное произведение вектора a и векторного произведения b · c, т. е. число a (b · c), или (b · c) a.

Признаки компланарности векторов:

  • Если смешанное произведение трех векторов равно нулю, то эти три вектора компланарны.

  • Если три вектора линейно зависимы, то они компланарны.

Эти признаки редко подробно изучают в школьном курсе. Но ведь приятно знать то, о чем даже не догадываются твои одноклассники? 😉

Практика

Мы много узнали, теперь осталось закрепить теорию практическим заданием.

Дан параллелепипед АВСDА1В1С1D1. Разложите вектор D1B1 по DC и CB.

Задача по теме «Компланарность векторов»

Решение.

Плоскости (АВС) и 1В1С1) параллельны, так как находятся на противоположных гранях параллелепипеда. Значит, векторы D1B1, DC и CB являются компланарными. Поэтому по теореме 2 мы сможем провести разложение D1B1 по DC и CB, причем единственным способом:

DB = D1B1, DC = D1C1, CB = C1B1.

Согласно правилу треугольника, DB = DC + CB.

А так как DB = D1B1, значит, и D1B1 = DC + CB.

В геометрии достаточно много тем, которые требуют детального изучения: в них есть теоремы, аксиомы, интересные логические умозаключения. Разобраться во всем этом вам помогут курсы профильной математики в онлайн-школе Skysmart. На них ребенок не только станет настоящим экспертом в точных науках, но и проведет время увлекательно и даже весело. Приходите вместе на бесплатный вводный урок и убедитесь сами!

 
  • 0
  • 0
  • 0
  • 0
  • 0

Бесплатный онлайн-фестиваль для родителей

8 октября в 12:00 
14 экспертов ответят на главные вопросы об обучении и воспитании детей

Бесплатный онлайн-фестиваль для  родителей
Участвовать