Иррациональное уравнение — это уравнение, содержащее неизвестную переменную x под знаком корня (радикала): √f(x) = g(x). Так как арифметический квадратный корень по определению принимает только неотрицательные значения (√a ≥ 0), возведение обеих частей в квадрат равносильно системе: f(x) = g²(x) при обязательном условии правой части g(x) ≥ 0!
- Тип 1 — Корень равен числу (Задание №6 ЕГЭ):
√f(x) = a: приa ≥ 0возводим в квадратf(x) = a²; при a < 0 корней НЕТ (∅)! - Тип 2 — Корень равен выражению с иксом (главная ловушка!):
√f(x) = g(x) ⇔ { g(x) ≥ 0; f(x) = g²(x) }(условие ОДЗf(x) ≥ 0при этом выполняется автоматически, так какg²(x) ≥ 0!). - Тип 3 — Корень нечётной (третьей) степени:
³√f(x) = g(x) ⇔ f(x) = g³(x)(знак под кубическим корнем может быть любым — без ограничений ОДЗ!).
Правило для бланка ОГЭ и ЕГЭ: в уравнении вида √f(x) = x − 3 проверять только подкоренное выражение f(x) ≥ 0 НЕДОСТАТОЧНО! Главное условие отсева посторонних корней — неотрицательность ПРАВОЙ части: x − 3 ≥ 0 (то есть x ≥ 3)!
2. Формула вычисления темы применена.
3. Итоговый результат: 10.
1. Теоретический базис темы «Иррациональные уравнения»
Определение иррациональных уравнений
Иррациональные выражения — выражения, содержащие знак корня или степень, выраженную дробью.
Примеры:
Для того, чтобы легко преобразовывать иррациональные выражения, важно знать:
-
Свойства корней:
-
Для любого числа a справедливо равенство:
-
Если
-
Если
-
Если
-
-
Область допустимых значений для корней чётной степени:
для
-
Свойство: корень n-ной степени может быть представлен в виде степени
Иррациональные уравнения — уравнения, содержащие иррациональные выражения с неизвестной. Проще говоря, в уравнении неизвестная x будет стоять под знаком корня.
Что такое квадратный корень
Типы иррациональных уравнений, алгоритмы и примеры решения
Первый тип иррациональных уравнений
Простейшее иррациональное уравнение выглядит так:
Решаем такое уравнение по следующему алгоритму:
-
Обращаем внимание, корень какой степени представлен в уравнении: чётной или нечётной.
-
Оцениваем ОДЗ (область допустимых значений):
-
Анализируем уравнение:
|
|
корень чётной степени |
уравнение не имеет решений |
|
|
корень нечётной степени |
возводим обе части уравнения в степень корня и продолжаем решение. |
|
|
корень чётной степени |
|
|
|
корень нечётной степени |
|
|
ОДЗ: |
ОДЗ: |
ОДЗ: |
Второй тип иррациональных уравнений
Выражение под квадратным корнем равно выражению без корня. Что делать в таком случае?
-
Оцениваем ОДЗ выражения справа:
-
Возводим обе части в квадрат и продолжаем решение уравнения.
-
Анализируем корни: входят ли они в промежуток допустимых значений.
ОДЗ:
Корень x2 = 6 не соответствует ОДЗ.
Ответ: x1 = 9.
Третий тип иррациональных уравнений
Хотя тип уравнения отличается, действовать мы будем по уже известному алгоритму:
-
Оцениваем ОДЗ одного из выражений:
-
Возводим обе части в квадрат и продолжаем решение уравнения.
-
Анализируем корни: входят ли они в промежуток допустимых значений.
ОДЗ:
Корень x2 = −1 не соответствует ОДЗ.
Ответ: x1 = 6.
Четвёртый тип иррациональных уравнений
Признайтесь, напугались? Да, неприятный тип, но не очень страшный.
Следуем алгоритму:
-
Оценим ОДЗ обоих подкоренных выражений:
-
Возведём обе части уравнения в квадрат и преобразуем, сводя к типу номер 2: F(x) = G(x).
-
Решим полученное уравнение.
ОДЗ:
Хотите попробовать решить иррациональное уравнение самостоятельно? Тогда переходите по ссылке и занимайтесь бесплатном тренажёре ЕГЭ от Skysmart. В нём вы найдете множество упражнений с автоматической проверкой, которые помогут вам закрепить пройденный материал и подготовиться к любого вида контрольным и экзаменам!
Получи больше пользы от Skysmart:
-
Подготовься к ОГЭ на пятёрку
-
Подготовься к ЕГЭ на высокие баллы
Записывайся на бесплатные курсы для детей
Решай задания в бесплатном тренажёре ЕГЭ
2. Практикум: разбор реальных задач ОГЭ и ЕГЭ
1. Возводим обе части уравнения в квадрат: 5x − 11 = 3² = 9.
2. Находим x: 5x = 20 ⇒ x = 4.
1. Выписываем условие неотрицательности правой части: x − 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2.
2. Возводим в квадрат: 10 − 3x = (x − 2)² ⇒ 10 − 3x = x² − 4x + 4 ⇒ x² − x − 6 = 0.
3. Корни: x₁ = 3 и x₂ = −2. По условию x ≥ 2 корень −2 посторонний! Остаётся ЕДИНСТВЕННЫЙ корень x = 3.
1. Кубический корень может принимать отрицательные значения. Возводим обе части в третью степень (куб):
2. x − 4 = (−3)³ = −27 ⇒ x = −27 + 4 = −23.
3. Контрольный чек-лист: на чём срезаются школьники
- Ловушка экзамена: Невнимательность при вычислениях по формуле темы «Иррациональные уравнения» приводит к потере первичных баллов в первой части.
- Ловушка экзамена: Обязательно проверяйте допустимые значения переменных (ОДЗ) и размерность величин перед записью в бланк.
- Ловушка экзамена: Во второй части ОГЭ/ЕГЭ решение без пояснения применённого правила оценивается в 0 баллов даже при верном ответе.
В заданиях ОГЭ и Профильного ЕГЭ эксперты ФИПИ строго оценивают логику каждого шага и обоснование формул.
На индивидуальных уроках на онлайн-курсах по математике в Skysmart методисты и действующие эксперты экзаменационной комиссии разбирают все подводные камни темы и доводят решение до автоматизма.
4. Ответы на частые вопросы (FAQ)
В каком классе изучают тему «Иррациональные уравнения»?
Тема подробно изучается в школьном курсе математики и входит в обязательный кодификатор ОГЭ и ЕГЭ.
Как быстро проверить ответ в задачах на «Иррациональные уравнения»?
Подставьте полученный результат обратно в исходное соотношение и проверьте соответствие условию задачи.
