Рациональные числа (множество Q) — это все числа, которые можно представить в виде обыкновенной дроби m / n, где числитель m — целое число (m ∈ Z), а знаменатель n — натуральное число (n ∈ N). Множество рациональных чисел объединяет все целые числа, конечные десятичные дроби и бесконечные периодические десятичные дроби.
- Определение множества рациональных чисел Q:
Q = { m / n | m ∈ Z, n ∈ N }(при этомN ⊂ Z ⊂ Q). - 3 формы записи рационального числа: 1) обыкновенная дробь (
3/4, −7/3); 2) конечная десятичная дробь (0,75); 3) бесконечная периодическая дробь (1/3 = 0,333... = 0,(3)). - Замкнутость операций в множестве Q: сумма, разность, произведение и частное (при делителе ≠ 0) любых двух рациональных чисел всегда являются рациональным числом!
Правило для бланка ОГЭ и ЕГЭ: любое целое число (включая 0 и отрицательные числа) является рациональным, так как его можно записать со знаменателем 1 (например, −5 = −5/1 ∈ Q, 0 = 0/1 ∈ Q)!
2. Подстановка в формулу (Q = { m / n | m ∈ Z, n ∈ N }): Переводим в неправильную дробь: −(2 · 4 + 3) / 4
3. Итоговый ответ: Ответ: −11 / 4 (m = −11 ∈ Z, n = 4 ∈ N ⇒ рациональное)
1. Главные формулы и правила темы «Что такое рациональные числа?»
2. Подробный теоретический разбор, свойства и наглядные схемы
Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде дроби
Примеры рациональных чисел:
- 3
- -5
- 0.5 (
- 0.333 (
К ним относятся все натуральные, целые и дробные числа.
Для кого эта статья:
- изучающие математику на школьном или первом курсе университета
- люди, готовящиеся к экзаменам по математике, таким как ЕГЭ
- общая аудитория, интересующаяся основами рациональных и иррациональных чисел
Получи больше пользы от Skysmart:
-
Прокачивай знания на курсах математики
-
Выбирай из 1200+ репетиторов по математике
Записывайся на бесплатные курсы для детей
Определение рациональных чисел
Рациональное число — это число, которое можно представить в виде положительной или отрицательной обыкновенной дроби или числа ноль. Если число можно получить делением двух целых чисел, то это число рациональное.
Рациональные числа — это те, которые можно представить в виде
где числитель m — целое число, а знаменатель n — натуральное число.
Рациональные числа – это все натуральные, целые числа, обыкновенные дроби, бесконечные периодические дроби и конечные десятичные дроби.
Множество рациональных чисел принято обозначать латинской буквой Q.
Примеры рациональных чисел:
- десятичная дробь 1,15 — это 115/100;
- десятичная дробь 0,5 — это 1/2;
- целое число 0 — это 0/1;
- целое число 6 — это 6/1;
- целое число 1 — это 1/1;
- бесконечная периодическая дробь 0,33333... — это 1/3;
- смешанное число
— это 25/10; - отрицательная десятичная дробь -3,16 — это -316/100.
Свойства рациональных чисел
У рациональных чисел есть определенные законы и ряд свойств — рассмотрим каждый их них. Пусть а, b и c — любые рациональные числа.
Основные свойства действий с рациональными числами
|
Кроме основных перечисленных есть еще ряд свойств:
- Правило умножения рациональных чисел с разными знаками: (-a) * b = -ab. Такая фраза поможет запомнить: «плюс на минус есть минус, и минус на плюс есть минус».
- Правило умножения отрицательных рациональных чисел: (−a) * (−b) = ab. Запомнить поможет фраза: «минус на минус есть плюс».
- Правило умножении произвольного рационального числа на нуль: a * 0 = 0 или 0 * a = 0. Докажем это свойство.
Мы знаем, что 0 = d + (-d) для любого рационального d, значит a * 0 = a * (d + (-d)).
Распределительный закон позволяет переписать выражение:
a * d + a * (−d), а так как a * (−d) = -ad, то a * d + a * (-d) = a * d + (-ad).
Так получилась сумма двух противоположных чисел, которая в результате дает нуль, что доказывает равенство a * 0 = 0.
Мы перечислили только свойства сложения и умножения. На множестве рациональных чисел вычитание и деление можно записать, как обратные к сложению и умножению. То есть, разность (a - b) можно записать, как сумму a + (-b), а частное a/b равно произведению a * b−1, при b ≠ 0.
Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!
Определение иррационального числа
Иррациональное число — это действительное число, которое невозможно выразить в форме деления двух целых чисел, то есть в рациональной дроби
Оно может быть выражено в форме бесконечной непериодической десятичной дроби.
Бесконечная периодическая десятичная дробь — это такая дробь, десятичные знаки которой повторяются в виде группы цифр или одного и того же числа.
Примеры:
- π = 3,1415926...
- √2 = 1,41421356...
- e = 2,71828182…
- √8 = 2.828427...
- -√11= -3.31662…
Обозначение множества иррациональных чисел: латинская буква I.
Действительные или вещественные числа — это все рациональные и иррациональные числа: положительные, отрицательные и нуль.
Свойства иррациональных чисел:
- результат суммы иррационального числа и рационального равен иррациональному числу;
- результат умножения иррационального числа на любое рациональное число (≠ 0) равен иррациональному числу;
- результат вычитания двух иррациональных чисел равен иррациональному числу или рациональному;
- результат суммы или произведения двух иррациональных чисел равен рациональному или иррациональному, например: √2 * √8 = √16 = 4).
Различие между целыми, натуральными и рациональными числами
Натуральные числа — это числа, которые мы используем, чтобы посчитать что-то конкретное, осязаемое: один банан, две тетрадки, десять стульев.
А вот, что точно не является натуральным числом:
- Нуль — целое число, которое при сложении или вычитании с любыми числами в результате даст то же число. Умножение на ноль дает ноль.
- Отрицательные числа: -1, -2, -3, -4.
- Дроби: 1/2, 3/4, 5/6.
Целые числа — это натуральные числа, противоположные им и нуль.
Если два числа отличаются друг от друга знаком — их называют противоположными: +2 и -2, +7 и -7. Знак «плюс» обычно не пишут, и если перед числом нет никакого знака, значит оно положительное. Числа, перед которыми стоит знак «минус», называют отрицательными.
Какие числа называются рациональными мы уже знаем из первой части статьи. Повторим еще раз.
Рациональные числа — это конечные дроби и бесконечные периодические дроби.
Например: 
Любое рациональное число можно представить в виде дроби, у которой числитель принадлежит целым числам, а знаменатель — натуральным. Поэтому во множество рациональных чисел входит множество целых и натуральных чисел.
Но не все числа можно назвать рациональными. Например, бесконечные непериодические дроби не принадлежат множеству рациональных чисел. Так √3 или 𝜋 (число пи) нельзя назвать рациональными числами.
3. Сводная таблица всех формул и свойств для контрольной, ОГЭ и ЕГЭ
| Условие / Правило | Рабочая формула и пример применения |
|---|---|
| Определение множества рациональных чисел Q | Q = { m / n | m ∈ Z, n ∈ N } (при этом N ⊂ Z ⊂ Q). |
| 3 формы записи рационального числа | 1) обыкновенная дробь (3/4, −7/3); 2) конечная десятичная дробь (0,75); 3) бесконечная периодическая дробь (1/3 = 0,333... = 0,(3)). |
| Замкнутость операций в множестве Q | сумма, разность, произведение и частное (при делителе ≠ 0) любых двух рациональных чисел всегда являются рациональным числом! |
4. Практикум: разбор реальных задач с пошаговым решением
1. Целое число: −6 = −6 / 1.
2. Конечная десятичная дробь: 0,35 = 35 / 100 = 7 / 20.
3. Периодическая дробь: 1,(2) = 1 + 2/9 = 11 / 9.
1. Умножим почленно на 24 по распределительному закону: −(3 · 24)/4 + (5 · 24)/6.
2. Считаем: −3 · 6 + 5 · 4 = −18 + 20 = 2.
1. Раскрываем скобки: √12 · √3 − √3 · √3 = √36 − 3.
2. Получаем: 6 − 3 = 3 = 3/1 ∈ Q (рациональное число).
5. Контрольный чек-лист: частые ошибки и ловушки на экзамене
- Главное правило проверки ответа: любое целое число (включая 0 и отрицательные числа) является рациональным, так как его можно записать со знаменателем 1 (например, −5 = −5/1 ∈ Q, 0 = 0/1 ∈ Q)!
- Контроль первой формулы (ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧЕРЕЗ ДРОБЬ M / N): Целые числа, обыкновенные и периодические дроби 0,(a) = a/9 (Q = { m / n | m ∈ Z, n ∈ N }).
- Контроль второй формулы (ИЕРАРХИЯ И ОТЛИЧИЕ ОТ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ): Любое целое число a = a / 1 является рациональным! (N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R | √2, √3, π ∉ Q).
Потренироваться самостоятельно с автопроверкой ответов можно в бесплатном тренажёре ЕГЭ от Skysmart: доступны разделы по базовой математике и профильной математике.
На онлайн-курсах по математике в Skysmart преподаватели разбирают каждый прототип ФИПИ на интерактивной доске и помогают довести решение задач первой и второй части до полного автоматизма.
6. Часто задаваемые вопросы (FAQ)
Какая главная формула в теме «Что такое рациональные числа?»?
Базовое соотношение темы: Q = { m / n | m ∈ Z, n ∈ N }, а также вторая ключевая формула: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R | √2, √3, π ∉ Q. Подробный пример расчёта: Представить смешанное число −2 ¾ в виде дроби m / n ➔ Переводим в неправильную дробь: −(2 · 4 + 3) / 4 ➔ Ответ: −11 / 4 (m = −11 ∈ Z, n = 4 ∈ N ⇒ рациональное).
На какой ловушке чаще всего теряют баллы на контрольной, ОГЭ и ЕГЭ?
Главное правило для бланка ответов: любое целое число (включая 0 и отрицательные числа) является рациональным, так как его можно записать со знаменателем 1 (например, −5 = −5/1 ∈ Q, 0 = 0/1 ∈ Q)!
Где скачать шпаргалку со всеми формулами для печати?
В первом экране статьи доступна бесплатная PDF-шпаргалка формата А4 со всеми формулами и алгоритмами темы «Что такое рациональные числа?».
