Перпендикулярные прямые (a ⊥ b) — это две прямые, которые при пересечении образуют четыре прямых угла по 90°. В декартовой системе координат на плоскости две прямые с угловыми коэффициентами y = k₁x + b₁ и y = k₂x + b₂ перпендикулярны тогда и только тогда, когда произведение их угловых коэффициентов равно минус единице: k₁ · k₂ = −1 (откуда k₂ = −1 / k₁).
- Условие перпендикулярности через угловые коэффициенты прямых:
k₁ · k₂ = −1илиk₂ = −1 / k₁. - Через скалярное произведение направляющих векторов a(x₁; y₁) и b(x₂; y₂):
a · b = x₁ · x₂ + y₁ · y₂ = 0. - Через общие уравнения прямых A₁x + B₁y + C₁ = 0 и A₂x + B₂y + C₂ = 0:
A₁ · A₂ + B₁ · B₂ = 0. - Свойство двух перпендикуляров к одной прямой на плоскости: если
a ⊥ cиb ⊥ c, то прямые параллельны:a || b.
Правило для бланка ОГЭ и ЕГЭ: из любой точки, не лежащей на данной прямой, на эту прямую можно опустить ровно один перпендикуляр, и его длина всегда меньше длины любой наклонной!
2. Условие k₁ · k₂ = −1 выполнено.
3. Вывод: прямые пересекаются под строгим углом 90° (a ⊥ b).
1. Свойства перпендикулярных прямых и теоремы
Скорее всего, вы смогли бы отыскать три варианта:
Прямые параллельны друг другу;
Прямые совпадают, накладываются друг на друга;
Прямые пересекаются.
И были бы абсолютно правы! Интересно, что в пункте № 3 скрывается один интересный случай, который мы рассмотрим подробнее сегодня, а именно: прямые могут быть перпендикулярны друг другу.
Что это означает? Рассмотрим определение перпендикулярных прямых.
Основные определения
Перпендикулярные прямые — это прямые, которые пересекаются друг с другом под углом 90 градусов. Обозначение перпендикулярных прямых: а ┴ b.
Угол, равный 90 градусам, в математике называют прямым и помечают на чертеже квадратиком.
Еще один интересный факт из мира геометрии: если при пересечении двух прямых один из образовавшихся углов равен 90°, то и все остальные углы — прямые, а их сумма будет равна 360°.
Перпендикулярные отрезки — это отрезки, лежащие на перпендикулярных прямых.
Чтобы называться перпендикулярными, отрезкам не обязательно пересекаться самим. Достаточно, чтобы угол между прямыми, на которых они лежат, был равен 90°.
В качестве задачки со звездочкой давайте вспомним, в каких фигурах могут встречаться перпендикулярные отрезки (стороны)? Наверняка вы сразу назовете квадрат и прямоугольник, но также подходит прямоугольный треугольник и даже прямоугольная трапеция — с ней вы познакомитесь на уроках геометрии в 8-м классе.
Также перпендикулярно к стороне могут располагаться различные элементы внутри фигуры. Попробуйте расположить перпендикулярно друг другу диаметр и радиус окружности, две хорды, биссектрису угла треугольника (кстати, последнее задание получится выполнить только в случае, если проводить биссектрису угла к основанию равнобедренного треугольника).
Как мы видим, прямые очень часто пересекаются под углом 90 градусов. Можно сказать, это своего рода обычное, будничное поведение прямых. Прямые углы окружают нас повсюду: в комнате, на оживленных улицах города, в бассейне и даже в любимой книге.
Получи больше пользы от Skysmart:
-
Прокачивай знания на курсах математики
-
Выбирай из 1200+ репетиторов по математике
Записывайся на бесплатные курсы для детей
Способы построения перпендикулярных прямых
Но как можно построить перпендикулярные прямые? Что для этого может понадобиться? Давайте разберем все доступные нам способы.
Самый легкий — воспользоваться транспортиром. Построим прямую а и точку А, не лежащую на этой прямой. Совместим значение 90 градусов с точкой таким образом, чтобы нижняя часть транспортира в виде линейки полностью совпала с прямой, и сделаем засечку в отверстии транспортира. Соединим точку А с поставленной засечкой до пересечения с прямой.
Но что делать, если транспортир благополучно забыт дома и у нас есть только линейка и угольник? Внимательно рассмотрите рисунок и попрактикуйтесь в построении дома.
Теорема о перпендикулярных прямых и ее доказательство
«Кто это вообще придумал?», — можете возразить вы. «Почему мы должны этому верить? Вдруг все иначе, а нас обманывают». Если это так, то ваши опасения — показатель пытливости ума!
Что такое теорема? Это утверждение, нуждающееся в доказательстве. Это означает, что его не принимает на веру никто: ни вы, ни учитель, ни самый великий ученый. Есть много способов доказательства теорем, один из которых — метод от противного. Используя его, мы будто соглашаемся с противоположным заявлением и рассуждаем, что из этого последует.
Например, попробуем доказать утверждение «осенью грачи улетают на юг» методом от противного. Предположим, что грачи остаются зимовать в наших городах. Тогда мы должны видеть их осенью и зимой повсеместно, а в небе не должно быть видно признаков масштабного перелета. Так ли это на самом деле? Конечно же, нет.
Теперь с помощью этого метода попробуем доказать теорему о перпендикулярных прямых.
Предположим, что теорема ложна, а значит, через точку, лежащую на прямой, можно провести несколько перпендикулярных прямых.
Проверим гипотезу:
Возьмем линейку и проведем прямую а, отметив на ней точки С и D.
Далее построим перпендикулярную прямую из точки С. Угол КСD равен 90°.
Отрезок КС находится на прямой, перпендикулярной а.
Предположим, что есть еще одна прямая, перпендикулярная а. Проведем ее через точку С и отметим на ней точку L.
Тогда угол LCD равен 90° и угол КСD равен 90°.
Пункт номер 5 невозможен: от отрезка CD можно отложить только один прямой угол в данной плоскости.
А значит, через точку С можно провести только одну прямую, перпендикулярную прямой а.
Что и требовалось доказать: вы — молодцы!
Свойства перпендикулярных прямых
Перпендикулярные прямые обладают свойствами, которые можно использовать при решении геометрических задач. Давайте изучим их и приведем доказательство каждого.
Две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются
Конечно же, это свойство хорошо просматривается при построении. Но как мы уже выяснили, математики — народ сомневающийся, поэтому попробуем обосновать, почему это так.
Предположим, что прямые АА1 и ВВ1 все же пересекутся в точке К. Что бы это значило? Что мы совершили невероятное и опровергли теорему о перпендикулярных прямых! Ведь тогда получается, что через точку К проходит несколько перпендикулярных прямых, которые в свою очередь пересекают прямую а под углом 90 градусов! Как было сказано выше, это невозможно, а значит и прямые АА1 и ВВ1 не пересекаются.
Перпендикуляр, проведенный из точки к прямой, называется расстоянием от прямой до этой точки
Интересно, что такое расстояние является кратчайшим.
Представьте, что вам необходимо проложить путь от вас до огромного торгового центра, состоящего из множества магазинчиков. Вам не важно, в какой из них заглянуть, вы просто хотите потратить на дорогу как можно меньше времени. Какой путь вы выберете?
Конечно же, путь номер 2! Но есть ли этому научное объяснение?
Треугольник АВС прямоугольный, АВ и ВС— катеты, АС — гипотенуза. Согласно соответствию углов и сторон, в треугольнике наибольшая сторона лежит напротив наибольшего угла. Таким углом является прямой угол В, а наибольшая сторона — гипотенуза АС. Под каким бы углом мы ни расположили гипотенузу, она всегда будет больше остальных сторон.
В задачах по геометрии часто просят найти расстояние между различными элементами: между двумя точками, между точкой и прямой, между двумя прямыми. Теперь вы знаете, что под расстоянием подразумевают перпендикуляр! Благодаря этому знанию вы избежите множества ошибок, ведь между двумя элементами можно провести бесконечное множество прямых (и кривых), но только один вариант будет верным.
Кстати, перпендикуляр, проведенный из вершины угла фигуры на прямую, содержащую противоположную сторону, известен под именем высота. С высотами связано множество теорем и свойств, которые вы будете изучать немного позже. В качестве интриги оставим вам пример того, где находится точка пересечения высот в треугольниках разного типа. Заметили что-то необычное?
Применение знания о перпендикулярных прямых
Напоследок ответим на вопрос, который мог возникнуть у некоторых из вас: «А как в древности люди решали вопрос с построением перпендикулярных прямых, прямых углов в частности? Были ли у них приспособления для этого?»
Построение прямых углов было важным умением даже в древности, так как от этого зависела крепость и устойчивость возведенных стен зданий, мостов, механизмов для строительства. Один лишний градус — и целый город мог оказаться в опасности из-за обрушившегося дворца или башни.
Древние зодчие поняли, что возлагать все надежды на четырехугольники не стоит, потому что квадраты и прямоугольники легко превращаются в параллелограммы, меняя величину углов и оставляя неизменными длины сторон. Стоит только немного потянуть за «ушки» квадрата, как он начинает беспощадно ломать прямые углы, а ведь в условиях строительства многое может пойти не так и искривить конструкцию: ветер, изменение температуры, неточность мастера.
Хорошо, что есть более стабильная фигура — треугольник. Все дело в соотношении его сторон и углов, а еще в невозможности создать несколько треугольников из сторон заданной длины. Если у вас есть отрезки длиной 6, 8 и 10 сантиметров, из них можно составить только один треугольник. В случае, если одна сторона растянется под действием нагрузки или сожмется из-за понижения температуры — треугольник просто перестанет существовать.
С этой точки зрения прямоугольные треугольники — лучшие друзья архитекторов, которые хотят строить ровные и красивые здания. Зодчие Древнего Египта использовали шнур или веревку, на которых через равные расстояния были завязаны 12 узлов. Строители натягивали такой шнур, создавая прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5 единиц. Такой метод получения угла, равного 90 градусам, был сверхточным, а по сторонам-катетам-шнурам можно было выкладывать кирпичи или камни.
2. Практикум: разбор реальных задач ОГЭ и ЕГЭ
1. Угловой коэффициент данной прямой k₁ = −2 ⇒ для перпендикулярной прямой k₂ = −1 / (−2) = 0,5.
2. Подставляем точку A(4; 1) в уравнение y = 0,5x + b: 1 = 0,5 · 4 + b ⇒ b = −1. Ответ: y = 0,5x − 1.
1. Векторы перпендикулярны, когда их скалярное произведение равно нулю: x₁x₂ + y₁y₂ = 0.
2. Составляем уравнение: 3 · 4 + (−6) · x = 0 ⇒ 12 − 6x = 0 ⇒ x = 2.
1. Угловой коэффициент касательной равен производной: k_кас = f'(3) = 2·3 − 2 = 4.
2. Нормаль перпендикулярна касательной: k_норм = −1 / 4 = −0,25.
3. Контрольный чек-лист: на чём срезаются школьники
- Ловушка экзамена: Не путайте перпендикулярные прямые на плоскости (пересекаются) и скрещивающиеся перпендикулярные прямые в пространстве!
- Ловушка экзамена: У вертикальной прямой x = c угловой коэффициент не существует; ей перпендикулярны горизонтальные прямые y = d.
- Ловушка экзамена: Для перпендикулярности прямой и плоскости прямая должна быть перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости, а не одной.
В стереометрии второй части теорема о трёх перпендикулярах — ключ к решению 80% задач. Преподаватели Skysmart научат безошибочно находить проекции и углы.
На индивидуальных уроках на онлайн-курсах по математике в Skysmart методисты и действующие эксперты экзаменационной комиссии разбирают все подводные камни темы и доводят решение до автоматизма.
4. Ответы на частые вопросы (FAQ)
Сколько перпендикуляров можно провести к прямой через точку?
На плоскости через любую точку можно провести ровно одну прямую, перпендикулярную данной.
Чему равно скалярное произведение перпендикулярных векторов?
Скалярное произведение взаимно перпендикулярных векторов строго равно нулю, так как cos 90° = 0.
