Скалярное произведение векторов

 

Основные определения

Система координат — это совокупность определений, позволяющих определить положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов.

Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Мы уже рассказывали, как найти координаты точки.

Скаляр — это величина, которая полностью определяется в любой координатной системе одним числом или функцией.

Вектор — направленный отрезок прямой, для которого указано, какая точка является началом, а какая — концом.

Вектор с началом в точке A и концом в точке B принято обозначать как . Векторы также можно обозначать малыми латинскими буквами со стрелкой или черточкой над ними, вот так: .

Скалярное произведение — это операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр, то есть число, которое не зависит от выбора системы координат.

При умножении вектора на вектор получается число. Если длины векторов , — это числа, косинус угла — число, то скалярное произведение этих векторов можно найти по формуле .

Чтобы разобраться в теме этой статьи, нам еще нужно узнать особенности угла между векторами.

Угол между векторами

Угол между векторами может принимать значения от 0° до 180° градусов включительно. Аналитически это можно записать в виде двойного неравенства: либо .

Значок угла можно опустить и писать просто: .

Пусть даны два вектора .

Отложим их от некоторой точки О пространства: . . Тогда угол между векторами — это угол .

Угол между векторами может быть прямым, тупым, острым или равным нулю. Рассмотрим каждый случай:

 

 

 

178.1K

Какая профессия тебе подходит? Узнай за 10 минут!

Получи больше пользы от Skysmart:

• Подготовься к ОГЭ на пятёрку.

• Подготовься к ЕГЭ на высокие баллы.

• Записывайся на бесплатные курсы для детей.

• Решай задания в бесплатном тренажёре ЕГЭ.

Скалярное произведение векторов

Определение скалярного произведения можно сформулировать двумя способами:

Скалярное произведение двух векторов a и b дает в результате скалярную величину, которая равна сумме попарного произведения координат векторов a и b.

1. Геометрическая интерпретация.

   Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов, умноженная на косинус угла между ними:

   , где α — угол между векторами a и b

   
   


2. Алгебраическая интерпретация.

Что важно запомнить про геометрическую интерпретацию скалярного произведения:

• Если угол между векторами острый и векторы ненулевые, то скалярное произведение положительно, так как cosα > 0.
• Если угол между векторами тупой и векторы ненулевые, то скалярное произведение отрицательно, так как cosα < 0.
• Если угол между векторами прямой, то скалярное произведение равно 0, так как cosα = 0.

Скалярное произведение в координатах

Вычисление скалярного произведения можно произвести через координаты векторов в заданной плоскости или в пространстве.

Скалярным произведением двух векторов на плоскости или в трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат называется сумма произведений соответствующих координат векторов и .

То есть для векторов , на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат формула для вычисления скалярного произведения имеет вид:

А для векторов в трехмерном пространстве скалярное произведение в координатах находится так:

В n-мерном пространстве скалярное произведение векторов a = {a₁; a₂; ... ; a_n} и b = {b₁; b₂; ... ; b_n} можно найти по формуле:

a * b = a₁ * b₁ + a₂ * b₂ + ... + a_{n * bn}

Свойства скалярного произведения векторов

1. Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно нулю. В результате получается нуль, если вектор равен нулевому вектору.

2. Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его модуля:

3. Операция скалярного произведения коммуникативна, то есть соответствует переместительному закону:

4. Операция скалярного умножения дистрибутивна, то есть соответствует распределительному закону:

5. Сочетательный закон для скалярного произведения:

6. Если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то эти векторы ортогональны, то есть перпендикулярны друг другу:

Эти свойства очень легко обосновать, если отталкиваться от определения скалярного произведения в координатной форме и от свойств операций сложения и умножения действительных чисел.

Примеры вычислений скалярного произведения

Пример 1.

Вычислите скалярное произведение двух векторов →a и →b, если их длины равны 3 и 7 соответственно, а угол между ними равен 60 градусам.

Как решаем:

У нас есть все данные, чтобы вычислить скалярное произведение по определению:

Ответ: .

Пример 2.

Найти скалярное произведение векторов и , если .

Как решаем:

Используем формулу .

В данном случае:

Ответ: .

Пример 3.

Как найти скалярное произведение векторов и , если векторы и перпендикулярны и их длины равны 3 и 2 единицы соответственно.

Как решаем:

По свойству дистрибутивности скалярного произведения имеем

Сочетательное свойство позволяет нам вынести коэффициенты за знак скалярного произведения:

В силу свойства коммутативности последнее выражение примет вид

Итак, после применения свойств скалярного произведения имеем

Осталось применить формулу для вычисления скалярного произведения через длины векторов и косинус угла между ними:

Ответ: .

Пример 4.

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 1, найти косинус угла между прямыми AB₁ и BC₁.

Как решаем:

1. Введем систему координат.

   

   Если сделать выносной рисунок основания призмы, получим понятный плоскостной рисунок с помощью которого можно легко найти координаты всех интересующих точек.

   

2. Точка А имеет координаты (0;0;0). Точка С — (1;0;0). Точка В — (1/2;√3/2;0). Тогда точка В₁ имеет координаты (1/2;√3/2;1), а точка С1 – (1;0;1).

3. Найдем координаты векторов и :

   

4. Найдем длины векторов и :

   

5. Найдем скалярное произведение векторов через их координаты и :

   

6. Найдем косинус угла между прямыми AB₁ и BC₁:

   , ,

Ответ: 1/4.

Пример 5.

а) Проверить ортогональность векторов: и .

б) Выяснить, будут ли перпендикулярными отрезки KL и MN, если K(3;5), L(-2;0), M(8;-1), N(1;4).

Как решаем:

а) Выясним, будут ли ортогональны пространственные векторы. Вычислим их скалярное произведение: , следовательно .

б) Здесь речь идёт об обычных отрезках плоскости, а задача всё равно решается через векторы. Найдем их:

Вычислим их скалярное произведение: , значит, отрезки KL и MN не перпендикулярны.

Обратите внимание на два существенных момента:

• В данном случае нас не интересует конкретное значение скалярного произведения, важно, что оно не равно нулю.
• В окончательном выводе подразумевается, что если векторы не ортогональны, значит, соответствующие отрезки тоже не будут перпендикулярными. Геометрически это очевидно, поэтому можно сразу записывать вывод об отрезках, что они не перпендикулярны.

Ответ: а) , б) отрезки KL, MN не перпендикулярны.

Пример 6.

Даны три вершины треугольника A(-1; 0), B(3; 2), C(5; -4). Найти угол при вершине B — ∠ABC.

Как решаем:

По условию чертеж выполнять не требуется, но для удобства можно сделать:

Требуемый угол ∠ABC помечен красной дугой. Сразу вспоминаем школьное обозначение угла: ∠ABC — особое внимание на среднюю букву B — это и есть нужная нам вершина угла. Для краткости можно также записать просто ∠B.

Из чертежа видно, что угол ∠ABC треугольника совпадает с углом между векторами и , иными словами: .

Найдем векторы:

Вычислим скалярное произведение:

Вычислим длины векторов:

Найдем косинус угла:

Когда такие примеры не будут вызывать трудностей, можно начать записывать вычисления в одну строчку:

Полученное значение не является окончательным, поэтому нет особого смысла избавляться от иррациональности в знаменателе.

Найдём сам угол:

Если посмотреть на чертеж, то результат действительно похож на правду. Для проверки угол также можно измерить и транспортиром.

Ответ: ∠ABC = arccos(1/5√2) ≈1,43 рад. ≈ 82°

Важно не перепутать, что в задаче спрашивалось про угол треугольника, а не про угол между векторами. Поэтому указываем точный ответ: arccos(1/5√2) и приближенное значение угла: ≈1,43 рад. ≈ 82°, которое легко найти с помощью калькулятора.

А те, кому мало и хочется еще порешать, могут вычислить углы ∠A, ∠C, и убедиться в справедливости канонического равенства ∠A + ∠B + ∠C = 180°.