Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью (a || α) — это длина перпендикуляра, опущенного из любой точки этой прямой на данную плоскость: d(a, α) = d(M, α). В Задании №14 Профильного ЕГЭ это расстояние находится тремя способами: 1) геометрическим построением перпендикуляра; 2) методом объёмов пирамиды: d = h = 3V / S_осн; 3) координатной формулой.
- Сведение к расстоянию от точки M ∈ a до плоскости α: так как
a || α, выбираем самую удобную точку M на прямой a и ищемd(M, α). - Метод объёмов (без построения высоты на чертеже!): выбираем точку M как вершину треугольной пирамиды с основанием в плоскости α:
d = h = (3 · V_пир) / S_осн. - В координатах 3D (для плоскости Ax + By + Cz + D = 0):
d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²).
Правило для бланка ОГЭ и ЕГЭ: если прямая НЕ параллельна плоскости, а пересекает её (или лежит в ней), то расстояние между ними равно НУЛЮ (d = 0)!
2. Формула вычисления темы применена.
3. Итоговый результат: 10.
1. Теоретический базис темы «Расстояние между прямой и плоскостью»
Расстояние между параллельными прямой и плоскостью — это расстояние, которое разделяет любую точку этой прямой и заданную плоскость.
Чтобы понять, как находить это расстояние, разберём пример. Для этого проложим прямую a и обозначим параллельную ей плоскость α. Далее отметим на прямой произвольную точку A и опустим от неё перпендикуляр к плоскости. Он пересечёт её в точке, которую обозначим как B. Длина отрезка AB — это и есть расстояние между прямой и плоскостью.
Теорема
Когда прямая a параллельна плоскости α, все точки прямой a равноудалены от этой плоскости.
Чтобы доказать эту теорему, снова построим прямую а и плоскость α. Далее отметим на прямой произвольную точку и проведём через неё плоскость α1, параллельную заданной ранее.
Есть всего два варианта: прямая а принадлежит плоскости α1 и пересекает её. Второе не удовлетворяет условию, т. к. тогда она пересекала бы и плоскость α. А т. к., согласно теореме о расстоянии между параллельными плоскостями, все их точки равноудалены друг от друга, то все точки прямой а, которая принадлежит плоскости α1, также равноудалены от плоскости α. Что и требовалось доказать.
Отточить навыки решения задач с расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью можно в Тренажёре ЕГЭ. Там найдутся все типы заданий на эту тему. Они доступны бесплатно и без ограничений.
2. Практикум: разбор реальных задач ОГЭ и ЕГЭ
1. Прямая AA₁ параллельна прямой BB₁ ⇒ AA₁ параллельна плоскости BB₁D₁D. Ищем расстояние от точки A до этой плоскости.
2. В квадрате основания ABCD половина диагонали AO перпендикулярна BD и BB₁ ⇒ AO ⊥ (BB₁D₁D).
3. Вся диагональ AC = 4√2 · √2 = 8 ⇒ d = AO = 8 / 2 = 4.
1. Расстояние между параллельной прямой и плоскостью равно расстоянию от точки M(1; −2; 3) до плоскости.
2. Считаем по формуле: d = |2·1 − 2·(−2) + 1·3 + 5| / √(2² + (−2)² + 1²) = |2 + 4 + 3 + 5| / 3 = 14 / 3.
1. Объём прямоугольной пирамиды OABC равен: V = (1/6) · OA · OB · OC = (1/6) · 3 · 4 · 6 = 12.
2. С другой стороны, V = ⅓ · S_ABC · d ⇒ d = 3V / S_ABC = (3 · 12) / 15 = 36 / 15 = 2,4.
Получи больше пользы от Skysmart:
-
Подготовься к ОГЭ на пятёрку
-
Подготовься к ЕГЭ на высокие баллы
Записывайся на бесплатные курсы для детей
Решай задания в бесплатном тренажёре ЕГЭ
3. Контрольный чек-лист: на чём срезаются школьники
- Ловушка экзамена: Невнимательность при вычислениях по формуле темы «Расстояние между прямой и плоскостью» приводит к потере первичных баллов в первой части.
- Ловушка экзамена: Обязательно проверяйте допустимые значения переменных (ОДЗ) и размерность величин перед записью в бланк.
- Ловушка экзамена: Во второй части ОГЭ/ЕГЭ решение без пояснения применённого правила оценивается в 0 баллов даже при верном ответе.
В заданиях ОГЭ и Профильного ЕГЭ эксперты ФИПИ строго оценивают логику каждого шага и обоснование формул.
На индивидуальных уроках на онлайн-курсах по математике в Skysmart методисты и действующие эксперты экзаменационной комиссии разбирают все подводные камни темы и доводят решение до автоматизма.
4. Ответы на частые вопросы (FAQ)
В каком классе изучают тему «Расстояние между прямой и плоскостью»?
Тема подробно изучается в школьном курсе математики и входит в обязательный кодификатор ОГЭ и ЕГЭ.
Как быстро проверить ответ в задачах на «Расстояние между прямой и плоскостью»?
Подставьте полученный результат обратно в исходное соотношение и проверьте соответствие условию задачи.
