Понятие функции
Определение функции можно сформулировать по-разному. Рассмотрим несколько вариантов, чтобы усвоить наверняка.
1. Функция — это взаимосвязь между величинами, то есть зависимость одной переменной величины от другой.
Знакомое обозначение y = f (x) как раз и выражает идею такой зависимости одной величины от другой. Величина у зависит от величины х по определенному закону, или правилу, которое обозначается f.
Вывод: меняя х (независимую переменную, или аргумент) — меняем значение у.
2. Функция — это определенное действие над переменной.
Значит, можно взять величину х, как-то над ней поколдовать — и получить соответствующую величину у.
В технической литературе можно встретить такие определения функции для устройств, в которых на вход подается х — на выходе получается у. Схематично это выглядит так:
![пример функции](https://cdn-user84060.skyeng.ru/uploads/5fd3915cab3d6391169475.png)
В этом значении слово «функция» используют и в далеких от математики областях. Например, так говорят о функциях ноутбука, костей в организме или даже о функциях менеджера в компании. В каждом перечисленном случае речь идет именно о неких действиях.
3. Функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один элемент второго множества. Это самое популярное определение в учебниках по математике.
Например, функция у = 2х каждому действительному числу x ставит в соответствие число y, которое в два раза больше, чем х.
Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.
Например, для функции вида
![вид Функции](https://cdn-user84060.skyeng.ru/uploads/5fd391bcaca36035546399.png)
область определения выглядит так:
- х ≠ 0 (потому что на ноль делить нельзя)
И записать это можно так: D (y): х ≠ 0.
Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.
Например, естественная область значений функции y = x2 — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.
Для примера рассмотрим соответствие между двумя множествами — человек-владелец странички в инстаграм и сама страничка, у которой есть владелец. Такое соответствие можно назвать взаимно-однозначным — у человека есть страничка, и это можно проверить. И наоборот — по аккаунту в инстаграм можно проверить, кто им владеет.
В математике тоже есть такие взаимно-однозначные функции. Например, линейная функция у = 3х +2. Каждому значению х соответствует одно и только одно значение у. И наоборот — зная у, можно сразу найти х.
х |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
у = 3х +2 |
-7 |
-4 |
-1 |
2 |
5 |
8 |
Рассмотрим другие типы соответствий между множествами.
Например, фрукты и цвет каждого:
![типы соответствий](https://cdn-user84060.skyeng.ru/uploads/5fd391f4ba3de411385229.png)
У каждого фрукта есть свой цвет. Но такое соответствие нельзя назвать взаимно-однозначным. Например, яблоко может быть и красным, и желтым и даже зеленым.
Пример такого соответствия в математике — функция у = х2. Один и тот же элемент второго множества у = 4 соответствует двум разным элементам первого множества: х = 2 и х = -2.
![пример соответствия](https://cdn-user84060.skyeng.ru/uploads/5fd3921d9d18e086420262.png)
Так на примере с фруктами можно показать соответствие, которое нельзя назвать функцией:
![соответствие которое нельзя назвать функцией](https://cdn-user84060.skyeng.ru/uploads/6298c70713992667854861.png)
Видно, что в первом множестве есть элементы, которым соответствует два или три элемента из второго множества. Описать такое соответствие математически было бы сложнее.
Способы задания функции
Функция — это зависимость «y» от «x», где «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.
Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:
- Табличный способ — помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
- Графический способ — самый наглядный. На графике сразу видно возрастание и убывание функции, наибольшие и наименьшие значения, точки максимума и минимума.
- Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
- Словесный способ.
Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!
Получи больше пользы от Skysmart:
-
Подготовься к ОГЭ на пятёрку.
-
Подготовься к ЕГЭ на высокие баллы.
Записывайся на бесплатные курсы для детей.
Задать функцию формулой
Через аналитический способ задания функции можно сразу по конкретному значению аргумента «x» найти значение функции «y».
Пример. Дана функция: y(x) = 32x + 5.
Найти: значения функции «y» при x = 0.
Как рассуждаем:
Подставим в формулу вместо «x» число «0». Запишем расчет.
y(0) = 32 * 0 + 5 = 5
Ответ: y = 5.
Задать функцию таблицей
Любую функцию можно записать с помощью таблицы. Для этого достаточно найти несколько значений «y» для произвольно выбранных значений «x».
Пример. Дана функция: y(x) = −x + 4.
Найти: значения «y» при x = -1, x = 0 и x = 1.
Как рассуждаем:
1. Подставим в функцию y(x) = −x + 4 вместо «x» первое число -1.
![функция y(x)](https://cdn-user84060.skyeng.ru/uploads/5fd3928f348b4747373086.png)
2. Продолжим подставлять в функцию y(x) = −x + 4 данные значения x (0 и 1).
y(0) = −0 + 4 = 4
y(1) = −1 + 4 = 3
3. Запишем полученные результаты в таблицу:
x |
y |
−1 |
5 |
0 |
4 |
1 |
3 |
Так мы получили табличный способ задания функции y(x) = −x + 4.
Задать функцию графиком
График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» можно подставить произвольные значения и найти координаты этих точек.
График функции показывает множество всех точек, координаты которых можно найти, просто подставив в функцию любые числовые значения вместо «x».
Пример. Дана функция: y(x) = −2x + 1.
Найти: значения «y» для произвольных «x», а именно −1, 0, 1.
Как рассуждаем:
1. Подставим данные значения х в функцию и запишем результаты:
x |
Рассчет |
−1 |
y(−1) = −2 * (−1) + 1 = 2 + 1 = 3 |
0 |
y(0) = −2 * 0 + 1 = 0 + 1 = 1 |
1 |
y(1) = −2 * 1 + 1 = −2 + 1 = −1 |
2. Каждая пара значений «x» и «y» — это координаты точек по оси Ox (абсцисса точки) и Oy (ордината точки).
Дадим названия каждой точке и запишем их координаты:
Имя точки |
x |
y |
A |
−1 |
3 |
B |
0 |
1 |
C |
1 |
−1 |
3. Отметим точки А (-1; 3), B (0; 1) и С (1; -1) на прямоугольной системе координат.
![Отметим точки А (-1; 3), B (0; 1) и С (1; -1)](https://cdn-user84060.skyeng.ru/uploads/5fd392c11757c640511328.png)
4. Соединим отмеченные точки прямой.
Проведенная прямая будет графиком функции y(x) = −2x + 1.
![Проведенная прямая будет графиком функции y(x)](https://cdn-user84060.skyeng.ru/uploads/5fd392e3a08a9903896281.png)