Основные понятия
Функция — это зависимость «y» от «x», при которой «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.
Задать функцию означает определить правило, в соответствии с которым каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции. Вот какими способами ее можно задать:
- Табличный способ. Помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
- Графический способ: наглядно.
- Аналитический способ, через формулы. Компактно и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
- Словесный способ.
График функции — это объединение всех точек координатной плоскости, когда вместо «x» можно подставить в функцию произвольные значения и найти координаты этих точек.
Еще быстрее разобраться в теме и научиться строить график квадратичной функции можно на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart.
Получай лайфхаки, статьи, видео и чек-листы по обучению на почту
Построение квадратичной функции
Квадратичная функция задается формулой y = ax2 + bx + c, где x и y — переменные, a, b, c — заданные числа, обязательное условие — a ≠ 0.
График квадратичной функции — парабола, которая имеет следующий вид для y = x2 в частном случае при b = 0, c = 0:
Точки, обозначенные фиолетовыми кружками, называют базовыми точками. Чтобы найти их координаты для функции y = x2, нужно составить таблицу:
|
x |
−2 |
−1 |
0 |
1 |
2 |
|
y |
4 |
1 |
0 |
1 |
4 |
Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент равен единице, то график имеет ту же форму, как y = x2 при любых значениях остальных коэффициентов. При увеличении старшего коэффициента график сужается, при уменьшении — расширяется.
График функции y = –x2 выглядит, как перевернутая парабола:
Зафиксируем координаты базовых точек в таблице:
|
x |
−2 |
−1 |
0 |
1 |
2 |
|
y |
−4 |
−1 |
0 |
−1 |
−4 |
Посмотрев на оба графика можно заметить их симметричность относительно оси ОХ. Отметим важные выводы:
- Если старший коэффициент больше нуля (a > 0), то ветви параболы напрaвлены вверх.
- Если старший коэффициент меньше нуля (a < 0), то ветви параболы напрaвлены вниз.
Как строить график квадратичной функции — учитывать значения х, в которых функция равна нулю. Иначе это можно назвать нулями функции. На графике нули функции f(x) — это точки пересечения у = f(x) с осью ОХ.
Так как ордината (у) любой точки на оси ОХ равна нулю, поэтому для поиска координат точек пересечения графика функции у = f(x) с осью ОХ, нужно решить уравнение f(x) = 0.
Для наглядности возьмем функцию y = ax2 + bx + c. Чтобы найти точки пересечения с осью Ox, нужно решить квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. В процессе найдем дискриминант D = b2 - 4ac, который даст нам информацию о количестве корней квадратного уравнения.
Рассмотрим три случая:
- Если D < 0, то уравнение не имеет решений и парабола не имеет точек пересечения с осью ОХ. Если a > 0,то график выглядит так:
- Если D = 0, то уравнение имеет одно решение, а парабола пересекает ось ОХ в одной точке. Если a > 0, то график имеет такой вид:
- Если D > 0, то уравнение имеет два решения, а парабола пересекает ось ОХ в двух точках, которые можно найти следующим образом:
Если a > 0, то график выглядит как-то так:
Теперь понятно, что, зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, мы можем схематично представить график конкретной функции.
Координаты вершины параболы также являются важным параметром графика квадратичной функции и находятся следующим способом:
Ось симметрии параболы — прямая, которая проходит через вершину параболы параллельно оси OY.
Чтобы построить график, нам нужна точка пересечения параболы с осью OY. Так как абсцисса каждой точки оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы y = ax2 + bx + c с осью OY, нужно в уравнение вместо х подставить ноль: y(0) = c. То есть координаты этой точки будут соответствовать: (0; c).
На изображении отмечены основные параметры графика квадратичной функции:
Алгоритм построения параболы
Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. Наиболее удобный способ можно выбрать в соответствии с тем, как задана квадратичная функция.
Уравнение квадратичной функции имеет вид y = ax2 + bx + c.
Разберем общий алгоритм на примере y = 2x2 + 3x - 5.
Как строим:
- Определим направление ветвей параболы. Так как а = 2 > 0, ветви параболы направлены вверх.
- Найдем дискриминант квадратного трехчлена 2x2 + 3x - 5.
D = b2 - 4ac = 9 - 4 * 2 * (-5) = 49 > 0
√D = 7
В данном случае дискриминант больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ. Чтобы найти их координаты, решим уравнение:
2x2 + 3x - 5 = 0
- Координаты вершины параболы:
- Точка пересечения с осью OY находится: (0; -5) относительно оси симметрии.
Нанесем эти точки на координатную плоскость и построим график параболы:
Уравнение квадратичной функции имеет вид y = a * (x - x₀)2 + y₀
Зная координаты вершины параболы и старший коэффициент, можно записать уравнение квадратичной функции в виде у = a(x − x0) + y0, где x0, y0 — координаты вершины параболы.
Координаты его вершины: (x₀; y₀). В уравнении квадратичной функции y = 2x2 + 3x - 5 при а = 1, то второй коэффициент является четным числом.
Рассмотрим пример: y = 2 * (x - 1)2 + 4.
Как строим:
- Воспользуемся линейным преобразованием графиков функций. Для этого понадобится:
- построить график функции y = x2,
- умножить ординаты всех точек графика на 2,
- сдвинуть его вдоль оси ОХ на 1 единицу вправо,
- сдвинуть его вдоль оси OY на 4 единицы вверх.
Построить график параболы для каждого случая.
Уравнение квадратичной функции имеет вид y = (x + a) × (x + b)
Рассмотрим следующий пример: y = (x − 2) × (x + 1).
Как строим:
Данный вид функции позволяет быстро найти нули функции:
(x − 2) × (x + 1) = 0, отсюда х₁ = 2, х₂ = −1.
Определим координаты вершины параболы:
Найти точку пересечения с осью OY:
с = ab = (−2) × (1) = −2 и ей симметричная относительно оси симметрии параболы.
Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим плавной прямой линией.
