Как найти площадь треугольника

Основные понятия

Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилось из трех отрезков. Их соединили тремя точками, не лежащими на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.

Площадь — это численная характеристика, которая дает нам информацию о размере плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Если параметры переданы в разных единицах длины, мы не сможем узнать какая площадь треугольника получится. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.

Популярные единицы измерения

• квадратный миллиметр (мм²);
• квадратный сантиметр (см²);
• квадратный дециметр (дм²);
• квадратный метр (м²);
• квадратный километр (км²);
• гектар (га).

Формула площади треугольника

Для решения задач применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Далее мы рассмотрим способы решения для всех типов треугольников, в том числе частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных фигур.

Общая формула

1. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними.

S = 0,5 * a * b⋅sin(α) , где a, b — стороны, α — угол между ними.

2. Площадь треугольника через основание и высоту.

S = 0,5 * a * h, где a — основание, h — высота.

3. Площадь треугольника через описанную окружность и стороны.

S = (a * b * c) : (4 * R), где a, b, c — стороны, R — радиус описанной окружности.

4. Площадь треугольника через вписанную окружность и стороны.

S = r * (a + b + c) : 2, где a, b, c — стороны, r — радиус вписанной окружности.

Если учитывать, что (a + b + c) : 2 — это способ поиска полупериметра. Тогда формулу можно записать следующим образом:

S = r * p, где p — полупериметр.

5. Площадь треугольника по стороне и двум прилежащим углам.

S = a² : 2 * (sin(α)⋅sin(β)) : sin(180 — (α + β)), где a — сторона, α и β — прилежащие углы, γ — противолежащий угол.

6. Формула Герона для вычисления площади треугольника.

Сначала необходимо подсчитать разность полупериметра и каждой его стороны. Потом найти произведение полученных чисел, умножить результат на полупериметр и найти корень из полученного числа.

S = √ p * (p − a) * (p − b) * (p − c)​, где a, b, c — стороны, p — полупериметр, который можно найти по формуле: p = (a + b + c) : 2

Для прямоугольного треугольника

Площадь треугольника с углом 90° по двум сторонам.

S = 0,5 * a * b, где a, b — стороны.

Площадь треугольника по гипотенузе и острому углу.

S = 0,25 * c² * sin(2α), где c — гипотенуза, α — любой из прилегающих острых углов.

Гипотенузой принято называть сторону, которая лежит напротив прямого угла.

Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу.

S = 0,5 * a² * tg(α), где a — катет, α — прилежащий угол.

Катетом принято называть одну из двух сторон, образующих прямой угол.

Площадь треугольника через гипотенузу и по радиусу вписанной окружности.

S = r * (r + c), где c — гипотенуза, r — радиус вписанной окружности.

Площадь треугольника вписанного в окружность.

S = c₁ * c₂, где c₁, c₂ — части гипотенузы.

Площадь прямого треугольника по формуле Герона.

S = (p − a) * (p − b), где a, b — катеты, p — полупериметр, который рассчитывается по формуле p = (a + b + c) : 2.

Для равнобедренного треугольника

Поиск площади через основание и сторону.

S = b : 4 * √ 4 * a² − b², где a — боковая сторона, b — основание.

Вычисление площади через основание и угол.

S = 0,5 * a * b * sin(α), где a — боковая сторона, b — основание, α — угол между основанием и стороной.

Вычисление площади через основание и высоту.

S = 0,5 * b * h, где b — основание, h — высота, проведенная к основанию.

Поиск площади через боковые стороны и угол между ними.

S = 0,5 * a² * sin(α), где a — боковая сторона, α — угол между боковыми сторонами.

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол между боковыми сторонами.

S = b² : (4 * tgα/2), где b — основание, α — угол между боковыми сторонами.

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности.

S = (3 * √ 3 * R²) : 4, где R — радиус описанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности.

S = 3 * √ 3 * r², где r — радиус вписанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через сторону.

S = (√ 3 * a²) : 4, где a — сторона.

Площадь равностороннего треугольника через высоту.

S = h² : √ 3, где h — высота.

Таблица формул нахождения площади треугольника

У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу и использовать, как закладку в тетрадке или учебнике, и обращаться к ней по необходимости.

Чтобы ребенок еще лучше учился в школе, запишите его на уроки математики. Лето  —  прекрасное время, чтобы заниматься ей с удовольствием, в комфортном темпе, без контрольных и оценок за четверть, валяясь дома на полу или за городом на травке.

Вместо скучных параграфов ребенка ждут интерактивные упражнения с мгновенной автоматической проверкой. Наши преподаватели понятно объяснят что угодно  —  от дробей до синусов —  и ответят на вопросы, которые бывает неловко задать перед всем классом.