Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно ДВА натуральных делителя: единицу (1) и само себя (первые простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31...). Составное число — это натуральное число, имеющее три и более делителей (то есть разложимое в произведение двух меньших множителей > 1: 4, 6, 8, 9, 10, 12...). Число 1 НЕ является ни простым, ни составным!
- Разбиение всех натуральных чисел N на 3 класса по числу делителей: 1) единица (1) — 1 делитель (особое число!); 2) простые числа — ровно 2 делителя; 3) составные числа — 3 и более делителей.
- Уникальное свойство двойки (2): число 2 — самое маленькое простое число и ЕДИНСТВЕННОЕ чётное простое число (все остальные простые числа нечётные!).
- Как быстро проверить, является ли большое число N простым (метод √N): достаточно проверить делимость числа N только на простые числа, не превосходящие √N (p ≤ √N)!
Правило для бланка ОГЭ и ЕГЭ: две самые частые ловушки в тестах и Задании №19 ЕГЭ: 1) число 1 НЕ простое; 2) не все нечётные числа простые (например, 9 = 3·3, 15 = 3·5, 21 = 3·7, 27, 51 = 3·17, 57 = 3·19, 91 = 7·13 — это СОСТАВНЫЕ числа)!
2. Подстановка в формулу (Простое: 2 делителя (1 и само) | Составное: ≥ 3 делителей): Проверяем простые делители до √91 ≈ 9,5: это 2, 3, 5, 7
3. Итоговый ответ: Делим 91 на 7: 91 = 70 + 21 = 7 · 13 ⇒ 91 — СОСТАВНОЕ число!
1. Главные формулы и правила темы «Простые и составные числа»
2. Подробный теоретический разбор, свойства и наглядные схемы
Простые числа - это натуральные числа, имеющие ровно два различных делителя: единицу и само это число (например, 2, 3, 5, 7).
Составные числа - это натуральные числа, которые можно разложить в произведение двух множителей, больших единицы, и имеющие больше двух делителей (например, 4, 6, 8, 9).
Для кого эта статья:
- Ученики, готовящиеся к экзаменам, таким как ОГЭ
- Учителя или репетиторы, которые обучают математике
- Любители математики и те, кто хочет углубить свои знания о числах
Получи больше пользы от Skysmart:
-
Прокачивай знания на курсах математики
-
Выбирай из 1200+ репетиторов по математике
Записывайся на бесплатные курсы для детей
Основные определения
Натуральные числа больше единицы бывают простые и составные.
Простое число — это натуральное число больше 1, у которого есть всего два делителя: единица и само число.
Например:
- 11, 13, 17, 19 — список простых чисел.
- 11 — делится только на 1 и 11.
- 13 — делится на 1 и 13.
- 17 — делится на 1 и 17.
Составное число — похоже на простое. Это точно такое же натуральное число больше единицы, которое делится на единицу, на само себя и еще хотя бы на одно натуральное число.
Например:
- 9, 10, 12, 14 — примеры из списка составных чисел.
- 9 — делится на 1, на 3 и на 9.
- 10 — делится на 1, на 2, на 5 и на 10.
- 12 — делится на 1, на 2, 3, 4, 6 и на 12.
|
Число 1 — не является ни простым, ни составным числом, так как у него только один делитель — 1. Именно этим оно отличается от всех остальных натуральных чисел. Число 2 — первое наименьшее простое, единственное четное, простое число. Все остальные — нечетные. Число 4 — первое наименьшее составное число. |
В математике есть первые простые и составные числа, но последних таких чисел не существует.
А еще не существует простых чисел, которые оканчиваются на 4, 6, 8 или 0. В числе простых есть только одно число, которое заканчивается на 2 — и это само число 2. Из оканчивающихся на 5 — число 5. Все остальные оканчиваются на 1, 3, 7 или 9, за исключением 21, 27, 33 и 39.
Таблица простых чисел до 1000
| 2 | 3 | 5 | 7 | 11 | 13 | 17 | 19 | 23 |
| 29 | 31 | 37 | 41 | 43 | 47 | 53 | 59 | 61 |
| 67 | 71 | 73 | 79 | 83 | 89 | 97 | 101 | 103 |
| 107 | 109 | 113 | 127 | 131 | 137 | 139 | 149 | 151 |
| 157 | 163 | 167 | 173 | 179 | 181 | 191 | 193 | 197 |
| 199 | 211 | 223 | 227 | 229 | 233 | 239 | 241 | 251 |
| 257 | 263 | 269 | 271 | 277 | 281 | 283 | 293 | 307 |
| 311 | 313 | 317 | 331 | 337 | 347 | 349 | 353 | 359 |
| 367 | 373 | 379 | 383 | 389 | 397 | 401 | 409 | 419 |
| 421 | 431 | 433 | 439 | 443 | 449 | 457 | 461 | 463 |
| 467 | 479 | 487 | 491 | 499 | 503 | 509 | 521 | 523 |
| 541 | 547 | 557 | 563 | 569 | 571 | 577 | 587 | 593 |
| 599 | 601 | 607 | 613 | 617 | 619 | 631 | 641 | 643 |
| 647 | 653 | 659 | 661 | 673 | 677 | 683 | 691 | 701 |
| 709 | 719 | 727 | 733 | 739 | 743 | 751 | 757 | 761 |
| 769 | 773 | 787 | 797 | 809 | 811 | 821 | 823 | 827 |
| 829 | 839 | 853 | 857 | 859 | 863 | 877 | 881 | 883 |
| 887 | 907 | 911 | 919 | 929 | 937 | 941 | 947 | 953 |
| 967 | 971 | 977 | 983 | 991 | 997 |
Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.
3. Сводная таблица всех формул и свойств для контрольной, ОГЭ и ЕГЭ
| Условие / Правило | Рабочая формула и пример применения |
|---|---|
| Разбиение всех натуральных чисел N на 3 класса по числу делителей | 1) единица (1) — 1 делитель (особое число!); 2) простые числа — ровно 2 делителя; 3) составные числа — 3 и более делителей. |
| Уникальное свойство двойки (2) | число 2 — самое маленькое простое число и ЕДИНСТВЕННОЕ чётное простое число (все остальные простые числа нечётные!). |
| Как быстро проверить, является ли большое число N простым (метод √N) | достаточно проверить делимость числа N только на простые числа, не превосходящие √N (p ≤ √N)! |
4. Практикум: разбор реальных задач с пошаговым решением
1. Отбрасываем все чётные числа и числа, оканчивающиеся на 5 (25, 35).
2. Из оставшихся нечётных чисел (21, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 39) убираем кратные трём (21, 27, 33, 39).
3. Остаются ровно 4 простых числа: 23, 29, 31, 37.
1. Сумма двух чисел нечётна (45) только тогда, когда одно из слагаемых чётное, а другое нечётное.
2. Единственное чётное простое число — это 2! Тогда второе число равно 45 − 2 = 43 (простое).
3. Их произведение: 2 · 43 = 86.
1. По формуле количества делителей D(n) = (a₁ + 1)... = 3 число имеет ровно 3 делителя тогда и только тогда, когда оно является квадратом простого числа (n = p²): его делители 1, p и p²!
2. Возводим простые числа в квадрат: 2²=4, 3²=9 (однозначные); 5² = 25 и 7² = 49 (двузначные); 11² = 121 (уже трёхзначное). Ответ: 25 и 49.
5. Контрольный чек-лист: частые ошибки и ловушки на экзамене
- Главное правило проверки ответа: две самые частые ловушки в тестах и Задании №19 ЕГЭ: 1) число 1 НЕ простое; 2) не все нечётные числа простые (например, 9 = 3·3, 15 = 3·5, 21 = 3·7, 27, 51 = 3·17, 57 = 3·19, 91 = 7·13 — это СОСТАВНЫЕ числа)!
- Контроль первой формулы (ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ОСОБЫЕ ЧИСЛА 1 И 2): Единица (1) — НЕ простое и НЕ составное! 2 — единственное чётное простое (Простое: 2 делителя (1 и само) | Составное: ≥ 3 делителей).
- Контроль второй формулы (ПЕРВЫЕ ПРОСТЫЕ ЧИСЛА И ЛОВУШКИ): Ловушки (составные!): 51 = 3·17, 57 = 3·19, 91 = 7·13 (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47).
Потренироваться самостоятельно с автопроверкой ответов можно в бесплатном тренажёре ЕГЭ от Skysmart: доступны разделы по базовой математике и профильной математике.
На онлайн-курсах по математике в Skysmart преподаватели разбирают каждый прототип ФИПИ на интерактивной доске и помогают довести решение задач первой и второй части до полного автоматизма.
6. Часто задаваемые вопросы (FAQ)
Какая главная формула в теме «Простые и составные числа»?
Базовое соотношение темы: Простое: 2 делителя (1 и само) | Составное: ≥ 3 делителей, а также вторая ключевая формула: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47. Подробный пример расчёта: Проверить, является ли число 91 простым или составным ➔ Проверяем простые делители до √91 ≈ 9,5: это 2, 3, 5, 7 ➔ Делим 91 на 7: 91 = 70 + 21 = 7 · 13 ⇒ 91 — СОСТАВНОЕ число!.
На какой ловушке чаще всего теряют баллы на контрольной, ОГЭ и ЕГЭ?
Главное правило для бланка ответов: две самые частые ловушки в тестах и Задании №19 ЕГЭ: 1) число 1 НЕ простое; 2) не все нечётные числа простые (например, 9 = 3·3, 15 = 3·5, 21 = 3·7, 27, 51 = 3·17, 57 = 3·19, 91 = 7·13 — это СОСТАВНЫЕ числа)!
Где скачать шпаргалку со всеми формулами для печати?
В первом экране статьи доступна бесплатная PDF-шпаргалка формата А4 со всеми формулами и алгоритмами темы «Простые и составные числа».
