Прямая и обратная пропорциональность

Автор
Лидия Казанцева
Дата публикации
24.12.2020
Просмотры
20187
Основные определения
Математическая зависимость — это соответствие между элементами двух множеств, при котором каждому элементу одного множества ставится в соответствие элемент из другого множества.
Виды зависимостей:
- Прямая зависимость. Чем больше одна величина, тем больше вторая. Чем меньше одна величина, тем меньше вторая величина.
- Обратная зависимость. Чем больше одна величина, тем меньше вторая. Чем меньше одна величина, тем больше вторая.
Зависимости также можно классифицировать по формам: функциональная и статистическая.
Функциональная зависимость между двумя переменными величинами характеризуется тем, что каждому значению одной из них соответствует вполне определенное и единственное значение другой.
В математике функциональной зависимостью переменной Y от переменной Х называют зависимость вида y = f(x), где каждому допустимому значению X ставится в соответствие по определенному правилу единственно возможное значение Y.
Статистическая зависимость — это зависимость случайных величин, когда изменение одной переменной приводит к изменению другой.
Если изменение одной из случайных величин влечет изменение среднего другой случайной величины, то статистическую зависимость называют корреляционной. Сами случайные величины, связанные корреляционной зависимостью, оказываются коррелированными.
Пропорция в математике — это равенство между отношениями двух или нескольких пар чисел или величин. Пропорциональными называются две взаимно-зависимые величины, если отношение их значений остается неизменным.
Пропорциональность — это взаимосвязь между двумя величинами, при которой изменение одной из них влечет за собой изменение другой во столько же раз. Проще говоря — это зависимость одного числа от другого.
Есть две разновидности пропорциональностей:
- Прямая пропорциональность. Это зависимость, при которой увеличение одного числа ведет к увеличению другого во столько же раз. А уменьшение одно числа ведет к уменьшению другого во столько же раз.
- Обратная пропорциональность. Это зависимость, при которой уменьшение одного числа ведет к увеличению другого во столько же раз. А увеличение числа наоборот ведет к уменьшению другого во столько же раз.
Коэффициент пропорциональности — это неизменное отношение пропорциональных величин. Он показывает, сколько единиц одной величины приходится на единицу другой. Коэффициент пропорциональности обозначается латинской буквой k.
Чтобы повысить оценки в школе, приходите на уроки математики в онлайн-школу Skysmart. Интерактивный формат, личный учитель, карта прогресса и куча вдохновения — все, чтобы учиться было комфортно.
На бесплатном уроке расскажем, как у нас все устроено и покажем, что математика — совсем не страшная.
Прямо пропорциональные величины
Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз — другая увеличивается (или уменьшается) во столько же раз.
Прямая пропорциональность в виде схемы: «больше — больше» или «меньше — меньше».

Свойство прямо пропорциональной зависимости:
Если две величины прямо пропорциональны, то отношения соответствующих значений этих величин равны.
Примеры прямо пропорциональной зависимости:
- при постоянной скорости пройденный маршрут прямо-пропорционально зависит от времени;
- периметр квадрата и его сторона — прямо-пропорциональные величины;
- стоимость конфет, купленных по одной цене, прямо-пропорционально зависит от их количества.
Если говорить метафорами, то прямую пропорциональную зависимость можно отличить от обратной по пословице: «Чем дальше в лес, тем больше дров». Что значит, чем дольше ты идешь по лесу, тем больше дров можно собрать.
Формула прямой пропорциональности y = kx, где y и x — переменные величины, k — постоянная величина, которую называют коэффициентом прямой пропорциональности. |
Коэффициент прямой пропорциональности — это отношение любых соответствующих значений пропорциональных переменных y и x, равное одному и тому же числу.
Формула коэффициента прямой пропорциональности:
y/x = k
Графиком прямо пропорциональной зависимости величин является прямая линия.
Например, при k = 2 график выглядит так:

Пример 1.
В одно и то же путешествие поехали два автомобиля. Один двигался со скоростью 70 км/ч и за 2 часа проделал тот же путь, что другой за 7 часов. Найти скорость второго автомобиля.
Как решаем:
- Вспомним формулу для определения пути через скорость и время: S = V * t.
- Так как оба автомобиля проделали одинаковый путь, можно составить пропорцию из двух выражений: 70 * 2 = V * 7
- Найдем скорость второго автомобиля: V = 70 * 2/7 = 20
Ответ: 20 км/ч.
Пример 2.
Блогер за 8 дней может написать 14 постов. Сколько помощников ему понадобится, чтобы написать 420 постов за 12 дней?
Как рассуждаем:
Количество человек (блогер и помощники) увеличивается с увеличением объема работы, если ее нужно сделать за то же количество времени.
Если разделить 420 на 14, узнаем, что объем увеличивается в 30 раз.
Но так как по условию задачи на работу дается больше времени, то количество помощников увеличивается не в 30 раз. Таким образом:
- х = 1 (блогер) * 30 (раз) : 12/8 (дней).
- х = 1 * 30 : 12/8
- х = 20
Ответ: 20 человек напишут 420 постов за 12 дней.
Обратно пропорциональные величины
Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз — другая уменьшается (или увеличивается) во столько же раз.
Объясним, что значит обратно пропорционально в виде схемы: «больше — меньше» или «меньше — больше».

Свойство обратной пропорциональности величин:
Если две величины находятся в обратно пропорциональной зависимости, то отношение двух произвольно взятых значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.
Примеры обратно пропорциональной зависимости:
- время на маршрут и скорость, с которой путь был пройден — обратно пропорциональные величины;
- при одинаковой продуктивности количество школьников, решающих конкретную задачу, обратно пропорционально времени выполнения этой задачи;
- количество конфет, купленных на определенную сумму денег, обратно пропорционально их цене.
Формула обратной пропорциональности y = k/x где y и x — это переменные величины, k — постоянная величина, которую называют коэффициентом обратной пропорциональности. |
Коэффициент обратной пропорциональности — это произведение любых соответствующих значений обратно пропорциональных переменных y и x, равное одному и тому же числу.
Формула коэффициента обратной пропорциональности:
xy = k.
Графиком обратно пропорциональной зависимости величин является гипербола.

Свойства функции обратной пропорциональности:
- Область определения — множество всех действительных чисел, кроме x = 0.
D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
- Область значений — все действительные числа, кроме y = 0.
Е(у): (-∞; 0) U (0; +∞).
- Не имеет наибольших и наименьших значений.
- Является нечетной, и ее график симметричен относительно начала координат.
- Непериодическая.
- Ее график не пересекает оси координат.
- Не имеет нулей.
- Если k > 0 (аргумент возрастает), функция пропорционально убывает на каждом из своих промежутков. Если k < 0 (аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
- При возрастании аргумента (k > 0) отрицательные значения функции находятся в промежутке (-∞; 0), а положительные — (0; +∞). При убывании аргумента (k < 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные — (-∞; 0).
Потренируемся
Пример 1. 24 человека за 5 дней раскрутили канальчик в ютубе. За сколько дней выполнят ту же работу 30 человек, если будут работать с той же эффективностью?
Как рассуждаем:
- В заполненном столбце стрелку ставим в направлении от большего числа к меньшему.
- Чем больше людей, тем меньше времени нужно для выполнения определенной работы (раскрутки канала). Значит, это обратно пропорциональная зависимость.
- Поэтому направим вторую стрелку в противоположную сторону. Обратная пропорция выглядит так:

Как решаем:
- Пусть за х дней могут раскрутить канал 30 человек. Составляем пропорцию: 30 : 24 = 5 : х
- Чтобы найти неизвестный член пропорции, нужно произведение средних членов разделить на известный крайний член: х = 24 * 5 : 30; х = 4
- Значит, 30 человек раскрутят канал за 4 дня.
Ответ: за 4 дня.
Пример 2. Автомобиль проезжает от одного города до другого за 13 часов со скоростью 75 км/ч. Сколько времени ему понадобится, если он будет ехать со скоростью 52 км/ч?
Как рассуждаем:
Скорость и время связаны обратно пропорциональной зависимостью: чем больше скорость, тем меньше времени понадобится.
Обозначим: =
v1 = 75 км/ч
v2 = 52 км/ч
t1 = 13 ч
t2 = х
Как решаем:
- Составим пропорцию: v1/v2 = t2/t1.
Соотношения равны, но перевернуты относительно друг друга.
- Подставим известные значения: 75/52 = t2/13
Ответ: 18 часов 45 минут.
А вот еще одна прямая зависимость: чем больше задачек решаешь — тем проще на экзаменах и контрольных. В онлайн-школе Skysmart собрали тысячи увлекательных примеров в интерактивном формате, чтобы школьники не только прокачивали знания, но и делали это с азартом и огоньком.
Записывайтесь на бесплатный вводный урок математики: покажем, что учиться можно эффективно и в удовольствие.


- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0