Таблица производных функций — это справочник базовых формул дифференцирования элементарных функций (степенных, показательных, логарифмических и тригонометрических), где главной рабочей формулой для школы и заданий №8 и №12 Профильного ЕГЭ является производная степенной функции: (xⁿ)' = n · xⁿ⁻¹.
- Константа, линейная и степенная функции:
(C)' = 0,(kx + b)' = k,(xⁿ)' = n · xⁿ⁻¹,(√x)' = 1 / (2√x),(1/x)' = −1 / x². - Показательная и логарифмическая функции:
(eˣ)' = eˣ,(aˣ)' = aˣ · ln a,(ln x)' = 1 / x,(log_a x)' = 1 / (x · ln a). - Тригонометрические функции:
(sin x)' = cos x,(cos x)' = −sin x,(tg x)' = 1 / cos²x,(ctg x)' = −1 / sin²x. - Правила дифференцирования произведения, частного и сложной функции:
(u · v)' = u'v + uv',(u / v)' = (u'v − uv') / v²и(f(g(x)))' = f'(g(x)) · g'(x).
Правило для бланка ОГЭ и ЕГЭ: в бланках справочных материалов Профильного ЕГЭ таблицы производных НЕТ — все формулы и правила произведения/частного нужно знать наизусть для задания №12!
2. Дифференцируем первое слагаемое: (3x⁴)' = 3 · 4 · x⁴⁻¹ = 12x³.
3. Дифференцируем линейное слагаемое и константу: (−5x)' = −5, (C)' = 0.
Итог: f'(x) = 12x³ − 5.
1. Теоретический базис темы «Таблица производных функций»
Что такое производная и зачем она нужна
Прежде чем переходить к таблице для вычисления производных, дадим определение производной. В учебнике оно звучит так:
Производная функции — это предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.
Если же говорить простыми словами, то производная функции описывает, как и с какой скоростью эта функция меняется в данной конкретной точке. Процесс нахождения производной называется дифференцированием.
Объясним на примере: допустим, Маша решила по утрам делать зарядку и стоять в планке. В первую неделю она держалась каждый день по 10 секунд, но начиная со второй недели смогла стоять в планке с каждым днем на 3 секунды дольше. Успехи Маши можно описать следующими графиками:
Очевидно, что в первую неделю результаты Маши не менялись (т. е. были константой), скорость прироста оставалась нулевой. Если мы заглянем в таблицу производных простых функций, то увидим, что производная константы равна нулю.
у = 10
у′ = 0
Во вторую неделю время выполнения планки с 10 сек начало увеличиваться на 3 сек ежедневно.
у = 10 + 3х
Снова смотрим в таблицу дифференцирования производных, где указано, что производная от х равна 1, а также по правилам вычисления производных (c*f(x))'=cf'(x) и (f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x).
у = 10 + 3х
у′ = 0 + 3
у′ = 3
Вот так с помощью таблицы производных и элементарной математики мы докажем, что успехи Маши росли со скоростью 3 сек в день.
Это был очень простой пример, который в общих чертах объясняет азы дифференциального исчисления и помогает понять, для чего нужны формулы из таблицы производных функций. Но разобраться в решении задач, где скорость меняется нелинейно, конечно, не так просто.
Производные основных элементарных функций
Таблица производных для 10 и 11 класса может включать только элементарные часто встречающиеся функции. Поэтому приведем стандартную таблицу производных.
|
Функция f (x) |
Производная f' (х) |
|---|---|
|
С (т. е. константа, любое число) |
0 |
|
х |
1 |
|
xn |
nxn-1 |
|
√x |
1/(2√x) |
|
sin x |
cos x |
|
cos x |
-sin x |
|
tg x |
1/cos2(х) |
|
ctg x |
-1/sin2x |
|
ex |
ex |
|
ax |
ax * ln a |
|
ln x |
1/x |
|
logax |
1/(x * ln a) |
Элементарные функции можно складывать, умножать друг на друга, находить их разность или частное — словом, выполнять любые математические операции. Но для этого существуют определенные правила.
Получи больше пользы от Skysmart:
-
Подготовься к ОГЭ на пятёрку
-
Подготовься к ЕГЭ на высокие баллы
Записывайся на бесплатные курсы для детей
Решай задания в бесплатном тренажёре ЕГЭ
Общие правила дифференцирования
Для решения задач на дифференцирование нужно запомнить (или записать в шпаргалку) пять несложных формул:
(c ⋅ f)′ = c ⋅ f′
(u + v)′ = u′ + v′
(u - v)′ = u′ - v′
(u ⋅ v)′ = u′v + v′u
(u/v)' = (u'v - v'u)/v2
В данном случае u, v, f — это функции, а c — константа (любое число).
С константой все просто — ее можно смело выносить за знак производной. Специально запоминать придется лишь формулы, где требуется разделить одну функцию на другую или перемножить их и найти производную от результата.
Например: требуется найти производную функции y = (5 ⋅ x3).
y′ = (5 ⋅ x3)′
Вспомним, что константу, а в данном случае это 5, можно вынести за знак производной:
y′ = (5 ⋅ x3)’ = 5 ⋅ (x3)′ = 5 ⋅ 3 ⋅ х3-1 = 15х2
Попробуйте самостоятельно решить эти примеры. Правильные ответы найдете в конце статьи:
Правила дифференцирования сложных функций
Конечно, далеко не все функции выглядят так, как в вышеуказанной таблице. Как быть с дифференцированием, например, вот таких функций: y = (3 + 2x2)4?
Сложной функцией называют такое выражение, в котором одна функция словно вложена в другую. Производную сложной функции f(y) можно найти по следующей формуле: (f(y))′ = f′(y) ⋅ y′. Другими словами, нужно умножить производную, условно говоря, внешней функции на производную внутренней.
Пример 1
Найдем производную функции y(x) = (3 + 2x2)4.
Заменим 3 + 2x2 на u и тогда получим y = u4.
Согласно приведенному выше правилу дифференцирования сложных функций у нас получится:
y = y′u ⋅ u′x = 4u3 ⋅ u'x
А теперь выполним обратную замену и подставим исходное выражение:
4u3 ⋅ u′x = 4 (3 + 2x2)3 ⋅ (3 + 2x2)′ = 16 (3 + 2x2)3 ⋅ х
Пример 2
Найдем производную для функции y = (x3 + 4) cos x.
Для дифференцирования этой функции воспользуемся формулой (UV)′ = U′V + V′U.
y′ = (x3 + 4)′ ⋅ cos x + (x3 + 4) ⋅ cos x′ = 3x2 ⋅ cos x + (x3 + 4) ⋅ (-sin x) = 3x2 ⋅ cos x – (x3 + 4) ⋅ sin x
Ответы на задания
2. Практикум: разбор реальных задач ОГЭ и ЕГЭ
1. Находим производную каждого слагаемого по формуле (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹: f'(x) = 6x² − 10x + 8.
2. Подставляем x₀ = 2: f'(2) = 6 · 4 − 10 · 2 + 8 = 24 − 20 + 8 = 12.
1. Применяем правило произведения (u · v)' = u'v + uv': y' = (x − 5)' · eˣ⁺⁴ + (x − 5) · (eˣ⁺⁴)' = 1 · eˣ⁺⁴ + (x − 5) · eˣ⁺⁴ = (x − 4) · eˣ⁺⁴.
2. Так как eˣ⁺⁴ > 0 всегда, приравниваем к нулю скобку: x − 4 = 0 ⇒ x = 4 (знак y' меняется с минуса на плюс — это точка минимума).
1. Мгновенная скорость равна первой производной пути по времени: v(t) = x'(t) = 3t² − 8t + 9.
2. Подставляем t = 3 с: v(3) = 3 · 9 − 8 · 3 + 9 = 27 − 24 + 9 = 12 м/с.
3. Контрольный чек-лист: на чём срезаются школьники
- Ловушка экзамена: Невнимательность при вычислениях по формуле темы «Таблица производных функций» приводит к потере первичных баллов в первой части.
- Ловушка экзамена: Обязательно проверяйте допустимые значения переменных (ОДЗ) и размерность единиц измерения перед записью ответа в бланк.
- Ловушка экзамена: Во второй части ОГЭ/ЕГЭ решение без пояснения применённого правила оценивается в 0 баллов даже при верном числовом ответе.
На экзаменах ОГЭ и Профильного ЕГЭ эксперты ФИПИ строго оценивают логику каждого шага и обоснование формул.
На индивидуальных уроках на онлайн-курсах по математике в Skysmart методисты и действующие эксперты экзаменационной комиссии разбирают все подводные камни темы и доводят решение до автоматизма.
4. Ответы на частые вопросы (FAQ)
Чему равна производная любого обычного числа (константы)?
Производная любой константы всегда равна нулю: (C)' = 0. Даже если константа выглядит сложно, например (π²)' = 0 или (ln 5)' = 0, так как число не меняется.
Как брать производную сложной функции, например sin(3x + 5)?
Сначала берём производную внешней функции (от синуса — это косинус с тем же аргументом), и обязательно умножаем на производную внутреннего выражения: (sin(3x + 5))' = cos(3x + 5) · (3x + 5)' = 3·cos(3x + 5).
