Таблица производных функций

Самый частый вопрос, который возникает у старшеклассников на уроках алгебры, звучит примерно так: «А нам это в жизни пригодится?». Отвечаем: пригодится! Математика тесно связана с физикой, которая описывает окружающий нас мир. И формулы из таблицы производных основных элементарных функций тоже имеют практический смысл.
  • Автор

    Яна Кононенко

  • Рубрика

    10 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

  • Дата публикации

    30.06.2021

  • Просмотры

    143

Что такое производная и зачем она нужна

Прежде чем переходить к таблице для вычисления производных, дадим определение производной. В учебнике оно звучит так:

Производная функции — это предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Если же говорить простыми словами, то производная функции описывает, как и с какой скоростью эта функция меняется в данной конкретной точке. Процесс нахождения производной называется дифференцированием.

Объясним на примере: допустим, Маша решила по утрам делать зарядку и стоять в планке. В первую неделю она держалась каждый день по 10 секунд, но начиная со второй недели смогла стоять в планке с каждым днем на 3 секунды дольше. Успехи Маши можно описать следующими графиками:

Очевидно, что в первую неделю результаты Маши не менялись (т. е. были константой), скорость прироста оставалась нулевой. Если мы заглянем в таблицу производных простых функций, то увидим, что производная константы равна нулю.

у = 10

у′ = 0

Во вторую неделю время выполнения планки с 10 сек начало увеличиваться на 3 сек ежедневно.

у = 10 + 3х

Снова смотрим в таблицу дифференцирования производных, где указано, что производная от х равна 1.

у = 10 + 3х

у′ = 0 + 3

у′ = 3

Вот так с помощью таблицы производных и элементарной математики мы докажем, что успехи Маши росли со скоростью 3 сек в день.

Это был очень простой пример, который в общих чертах объясняет азы дифференциального исчисления и помогает понять, для чего нужны формулы из таблицы производных функций. Но разобраться в решении задач, где скорость меняется нелинейно, конечно, не так просто.

Производные основных элементарных функций

Таблица производных для 10 и 11 класса может включать только элементарные часто встречающиеся функции. Приведем несколько формул, которых достаточно для решения большинства задач.

Функция f (x)

Производная f' (х)

С (т. е. константа, любое число)

0

х

1

х2

xn

n x xn-1

√x

1/(2√x)

1/x

-1/x2

sin x

cos x

cos x

-sin x

tg x

1/cos2(X)

ctg x

-1/sin2x

ex

ex

ax

ax * ln a

ln x

1/x

logax

1/(x * ln a)

arcsin x

1/(√1-x2)

arccos x

-1/(√1-x2)

arctg x

1/(1+x2)

arcctg x

-1/(1+x2)

Элементарные функции можно складывать, умножать друг на друга, находить их разность или частное — словом, выполнять любые математические операции. Но для этого существуют определенные правила.

Общие правила дифференцирования

Для решения задач на дифференцирование нужно запомнить (или записать в шпаргалку) пять несложных формул:

(U + V)′ = U′ + V′

(U - V)′ = U′ - V′

(U × V)′ = U′V + V′U

(U/V)' = (U'V - V'U)/V2

(C × F)′ = C × F′

В данном случае U, V, F — это функции, а C — константа (любое число).

Как видите, сложение и вычитание производных выполняется по правилам, которые знакомы нам еще из младших классов. С константой тоже все просто — ее можно смело выносить за знак производной. Специально запоминать придется лишь формулы, где требуется разделить одну функцию на другую или перемножить их и найти производную от результата.

Например: требуется найти производную функции y = (5 × x3).

y′ = (5 × x3)′

Вспомним, что константу, а в данном случае это 5, можно вынести за знак производной:

y′ = (5 × x3)’ = 5 × (x3)′ = 5 × 3 × х2 = 15х2

Правила дифференцирования сложных функций

Конечно, далеко не все функции выглядят так, как в вышеуказанной таблице. Как быть с дифференцированием, например, вот таких функций: y = (3 + 2x2)4? Чтобы решить эту задачку, требуется:


  1. упростить выражение, используя замену переменной;

  2. применить правило дифференцирования сложных функций.

Сложной функцией называют такое выражение, в котором одна функция словно вложена в другую. Производную сложной функции f(y) можно найти по следующей формуле: (f(y))′ = f′(y)×y′. Другими словами, нужно умножить производную, условно говоря, внешней функции на производную внутренней.

Пример 1

Допустим, нам нужно найти производную от y = (3 + 2x2)4.

Заменим 3 + 2x2 на u и тогда получим y = u4.

Согласно приведенному выше правилу дифференцирования сложных функций у нас получится:

y = y′u × u′x = 4u3 × u'x

А теперь выполним обратную замену и подставим исходное выражение:

4u3 × u′x = 4 (3 + 2x2)3 × (3 + 2x2)′ = 16 (3 + 2x2)3 × х

Пример 2

Найдем производную для функции y = (x3 + 4) cos x.

Для дифференцирования этой функции воспользуемся формулой (UV)′ = U′V + V′U.

y′ = (x3 + 4)′ × cos x + (x3 + 4) × cos x′ = 3x2 × cos x + (x3 + 4) × (-sin x) = 3x2 × cos x – (x3 + 4) × sin x

Полная таблица производных

Зная правила дифференцирования сложных функций и руководствуясь указанными выше формулами, можно успешно решать задачи из школьной программы. Но существует также полная таблица производных сложных функций для студентов и инженеров. Мы не будем приводить все формулы из нее, но дадим небольшую шпаргалку, которая сделает сложные функции не такими уж сложными.

Это таблица производных некоторых функций, которые могут встретиться в экзаменационных задачах.

Функция f (x)

Производная f' (х)

(kx + b)c

kc (kx + b)c-1

( f (x))c

с x (f(х))c-1 x f'(х)

ekx+b

kekx+b

ef(x)

ef(x) x f'(х)

akx+b

akx+b x ln a x k

sin (kx + b)

k cos (kx + b)

sin ( f (x))

cos ( f (x)) x f'(х)

cos (kx + b)

-k sin (kx + b)

cos ( f (x))

-sin( f (x)) x f'(х)

arctg (kx + b)

1/(1+(kx+b)2)

arctg ( f (x))

f'(x)/(1+(f(x))2)

arcctg (kx + b)

-1/(1+(kx+b)2)

arcctg ( f (x))

-f'(x)/(1+(f(x))2)

 
  • 0
  • 0
  • 0
  • 0
  • 0
  • 0