Развёртка прямоугольного параллелепипеда — это плоская геометрическая фигура, составленная из 6 попарно равных прямоугольников (двух оснований a × b, двух передне-задних граней a × c и двух боковых граней b × c), при сгибании которых по линиям рёбер собирается объёмный параллелепипед. Площадь всей развёртки в точности равна площади полной поверхности: S = 2(ab + bc + ac).
- Площадь полной поверхности (площадь всей развёртки):
S = 2 · (a·b + b·c + a·c). - Площадь боковой поверхности (4 боковые грани):
S_бок = 2c · (a + b) = P_осн · c. - Сумма длин всех 12 рёбер каркаса:
L = 4 · (a + b + c). - Объём (V) и пространственная диагональ (d):
V = a · b · cиd = √(a² + b² + c²).
Правило для бланка ОГЭ и ЕГЭ: в каждой развёртке ровно 6 прямоугольных граней, 12 рёбер и 8 вершин; для склеивания макета к внешним краям граней добавляют клапаны шириной 7–10 мм.
2. Объём: V = 4 · 3 · 5 = 60 см³
3. Диагональ: d = √(16 + 9 + 25) = √50 ≈ 7.07 см
4. Сумма рёбер: L = 4(4 + 3 + 5) = 4 · 12 = 48 см
1. Что такое прямоугольный параллелепипед
Прямоугольный параллелепипед — это трёхмерное геометрическое тело, ограниченное шестью гранями, каждая из которых является прямоугольником. Фигура содержит 8 вершин и 12 рёбер (по 4 ребра каждого из трёх измерений: длины a, ширины b и высоты c).
2. Схема создания и сборка развёртки
Чтобы получить развёртку, параллелепипед мысленно разрезают по четырём вертикальным и трём горизонтальным рёбрам, раскладывая все грани на одну плоскость:
Получи больше пользы от Skysmart:
-
Прокачивай знания на курсах математики
-
Выбирай из 1200+ репетиторов по математике
Записывайся на бесплатные курсы для детей
3. Развёртка с размерами: пары противоположных граней
Развёртка состоит из 3 пар одинаковых прямоугольников:
- Основания (2 грани): прямоугольники размером a × b;
- Боковые грани (2 грани): прямоугольники размером b × c;
- Передняя и задняя грани (2 грани): прямоугольники размером a × c.
4. Задачи для решения
1. Используем формулу площади полной поверхности: S = 2(ab + bc + ac).
2. Вычисляем площади трёх разных граней: ab = 4·5 = 20 см², bc = 5·10 = 50 см², ac = 4·10 = 40 см².
3. Удваиваем сумму: S = 2 · (20 + 50 + 40) = 2 · 110 = 220 см².
1. У параллелепипеда по 4 равных ребра каждого измерения: L = 4(a + b + c).
2. Подставляем числа: L = 4 · (6 + 8 + 11) = 4 · 25 = 100 см.
1. По пространственной теореме Пифагора: d² = a² + b² + c² ⇒ 7² = 2² + 6² + c² ⇒ 49 = 4 + 36 + c² ⇒ c² = 9 ⇒ c = 3.
2. Вычисляем объём: V = a · b · c = 2 · 6 · 3 = 36.
На Профильном ЕГЭ задача №14 по стереометрии требует безупречного построения сечений параллелепипедов и пирамид. Преподаватели на онлайн-курсах по математике в Skysmart обучают как координатному, так и классическому геометрическому методу решения.
5. Часто задаваемые вопросы (FAQ)
Сколько граней, вершин и рёбер у прямоугольного параллелепипеда?
Прямоугольный параллелепипед содержит ровно 6 прямоугольных граней, 8 вершин и 12 прямолинейных рёбер.
Чем отличается развёртка куба от развёртки параллелепипеда?
У куба все 6 прямоугольников развёртки являются абсолютно равными квадратами со стороной a, поэтому S = 6a².
Как найти пространственную диагональ параллелепипеда?
Диагональ находится по пространственной теореме Пифагора: d = √(a² + b² + c²), где a, b и c — три измерения фигуры.
