Свойства логарифмов — это свод базовых алгебраических правил и тождеств, позволяющих преобразовывать логарифмические выражения, заменять умножение сложением, а деление — вычитанием. Логарифм по определению связывает основание и показатель степени: log_a b = c ⇔ a^c = b.
Все свойства строго подчиняются области допустимых значений (ОДЗ): основание логарифма должно быть строго положительным и не равным единице (a > 0, a ≠ 1), а аргумент — строго больше нуля (b > 0). Несоблюдение ОДЗ при выносе чётных степеней приводит к потере корней на ЕГЭ.
Определение операции вводит вводный материал определение и понятие логарифма, методы решения уравнений разбирают решение логарифмических уравнений на примерах, а фундаментальные правила степеней описывают свойства степеней с одинаковыми основаниями.
2. Представляем b как степень основания: 32 = 2⁵.
3. По свойству степени: log₂(2⁵) = 5 · log₂(2) = 5 · 1 = 5.00.
Метрика экзаменационных требований: структура заданий ФИПИ
| Параметр оценивания | Период (2024–2025) | Регламент (2027) |
|---|---|---|
| Логарифм единицы и базы | log_a 1 = 0, log_a a = 1 | Любое число в степени 0 даёт 1 |
| Произведение и частное | log_a(xy) = log_a x + log_a y, log_a(x/y) = log_a x − log_a y | x > 0, y > 0 |
| Вынос степени аргумента | log_a(x^k) = k · log_a x | Если k чётно, ставится модуль |x| |
| Смена основания | log_a b = log_c b / log_c a | c > 0, c ≠ 1 (в частности: log_a b = 1 / log_b a) |
Получи больше пользы от Skysmart:
-
Подготовься к ОГЭ на пятёрку
-
Подготовься к ЕГЭ на высокие баллы
Записывайся на бесплатные курсы для детей
Решай задания в бесплатном тренажёре ЕГЭ
2. Практикум: разбор реальных задач ОГЭ и ЕГЭ
1. Применяем свойство разности логарифмов: log_a x − log_a y = log_a(x / y).
2. log₂(192 / 3) = log₂(64).
3. Так как 2⁶ = 64, то log₂(64) = 6.
3. Контрольный чек-лист: на чём срезаются школьники
- Ловушка экзамена: При вынесении чётной степени из аргумента (например, log_a(x²)) обязательно пишите 2·log_a|x| — потеря модуля лишает баллов на ЕГЭ!
- Ловушка экзамена: Логарифма суммы log_a(x + y) не существует — раскрывать скобки нельзя!
- Ловушка экзамена: Основание логарифма никогда не может равняться единице или быть отрицательным.
Во второй части ЕГЭ неравенства с логарифмами требуют безупречного знания метода рационализации и ограничений ОДЗ. Преподаватели Skysmart доведут решение до автоматизма.
На индивидуальных уроках в онлайн-школе Skysmart методисты и действующие эксперты экзаменационной комиссии разбирают все подводные камни темы и доводят решение до автоматизма.
4. Ответы на частые вопросы (FAQ)
Можно ли складывать логарифмы с разными основаниями?
Напрямую нельзя: сначала нужно перейти к общему основанию по формуле log_a b = log_c b / log_c a.
Что такое натуральный и десятичный логарифм?
Десятичный логарифм lg x имеет основание 10, а натуральный ln x — иррациональное число Эйлера e ≈ 2,71828.
