Признаки делимости натуральных чисел — это быстрые правила, которые позволяют определить по последним цифрам или по сумме цифр числа, делится ли оно нацело на заданный делитель (2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11) без выполнения деления в столбик!
- По последней цифре числа (признаки на 2, 5 и 10): на 10 — оканчивается на
0; на 5 — оканчивается на0 или 5; на 2 — оканчивается чётной цифрой0, 2, 4, 6, 8. - По сумме всех цифр числа (признаки на 3 и на 9 — самые важные на ЕГЭ!): число делится на 3 (или на 9) тогда и только тогда, когда СУММА ВСЕХ ЕГО ЦИФР делится на 3 (или на 9)!
- По двум и трём последним цифрам (признаки на 4, 8 и 25): на 4 (и на 25) — число из ДВУХ последних цифр делится на 4 (на 25:
00, 25, 50, 75); на 8 — число из ТРЁХ последних цифр делится на 8. - Признаки на составные числа (6, 12, 15, 18, 45) и на 11: разложите делитель на взаимно простые множители: на 6 ⇔ на 2 и на 3; на 12 ⇔ на 3 и на 4; на 15 ⇔ на 3 и на 5; на 18 ⇔ на 2 и на 9; на 11 ⇔ знакочередующаяся сумма цифр делится на 11.
Правило для бланка ОГЭ и ЕГЭ: в Задании №19 Базового ЕГЭ при проверке делимости на составное число (например, на 12 или на 18) раскладывайте его ТОЛЬКО на ВЗАИМНО ПРОСТЫЕ множители: 12 = 3 · 4 (а не 2 · 6!), 18 = 2 · 9 (а не 3 · 6!), 24 = 3 · 8, 36 = 4 · 9, 45 = 5 · 9!
2. Подстановка в формулу (На 2: чётная | На 5: 0 или 5 | На 3 и 9: СУММА ЦИФР кратна 3 (9)!): 1) Сумма цифр: 7 + 3 + 2 + 6 = 18 (делится на 9 ⇒ 7326 кратно 9!)
3. Итоговый ответ: 2) Две последние цифры: 26 не делится на 4 ⇒ 7326 НЕ кратно 4
1. Главные формулы и правила темы «Признаки делимости чисел»
2. Подробный теоретический разбор, свойства и наглядные схемы
Для кого эта статья:
- Студенты и школьники, изучающие математику
- Учителя и преподаватели математики
- Лица, заинтересованные в самообразовании по математическим темам
Получи больше пользы от Skysmart:
-
Прокачивай знания на курсах математики
-
Выбирай из 1200+ репетиторов по математике
Записывайся на бесплатные курсы для детей
Понятие делимости
Признаки делимости чисел — это особенности чисел, которые позволяют определить, кратно число делителю или нет.
Свойства делимости:
Все целые числа делятся на единицу.
Каждое целое число, не равное нулю, делится на натуральное число, равное модулю от данного целого.
Все натуральные числа являются делителями нуля.
Если целое число a делится на натуральное число b и модуль числа a меньше b, то a равно нулю.
Если целое число a отлично от нуля и делится на натуральное число b, то модуль числа a не меньше числа b.
Единственный делитель единицы — сама единица.
Чтобы целое число a делилось на натуральное число b, необходимо и достаточно, чтобы модуль числа a делился на b.
Если натуральные числа делятся друг на друга без остатка, то они равны.
Свойства делимости можно использовать при решении задач и доказательстве теорем.
Четные числа — это числа, которые делятся на два: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12 и т. д. Ноль тоже относится к четным числам.
Нечетные числа — это числа, которые на два не делятся: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 и т. д.
Признаки делимости
Рассмотрим признаки делимости на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Признак делимости на 1
Каждое целое число делится на 1.
Признаки делимости на 2
Число делится на 2, если его последняя цифра четная.
Пример: число 2164 делится на 2, так как последняя цифра (4) — четная.
Признаки делимости на 3
На 3 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 3.
Пример: число 81 300 делится на 3, так как сумма его цифр 8 + 1 + 3 + 0 + 0 = 12 делится на 3.
Признаки делимости на 4
Число делится на 4, если две последние его цифры — нули или образуют число, которое делится на 4.
Примеры:
число 37 100 делится на 4, так как оно оканчивается двумя нулями;
число 7524 делятся на 4, так как две последние цифры (24) делятся на 4.
Признаки делимости на 5
На 5 делятся те числа, которые оканчиваются на 0 или 5.
Пример: число 450 делится на 5, так как последняя цифра 0.
Признаки делимости на 6
Число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3.
Примеры:
число 912 делится на 6, так как оно делится и на 2 и на 3;
число 861 не делится на 6, так как оно делится на 3, но не делится на 2.
Признаки делимости на 7
Делимость на число 7 можно проверить так:
Последнюю цифру числа умножить на два.
Полученное произведение вычесть от оставшегося числа (без последней цифры).
Полученная разность должна быть кратна 7.
Пример: число 343 делится на 7, так как 34 − (2 · 3) = 28, и 28 делится на 7.
Признаки делимости на 8
На 8 делятся те числа, у которых три последние цифры являются нулями или образуют число, которое делится на 8.
Пример:
число 11 000 делится на 8, так как оно оканчивается тремя нулями;
число 12 128 делится на 8, так как три последние цифры образуют число (128), которое делится на 8.
Признаки делимости на 9
На 9 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 9.
Пример: число 2637 делится на 9, так как сумма его цифр 2 + 6 + 3 + 7 = 18 делится на 9.
Признаки делимости на 10
На 10 делятся те числа, которые оканчиваются на ноль или несколько нулей.
Пример:
число 980 делится на 10;
число 462 не делится на 10 — последняя цифра 2.
Курсы обучения математике помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.
3. Сводная таблица всех формул и свойств для контрольной, ОГЭ и ЕГЭ
| Условие / Правило | Рабочая формула и пример применения |
|---|---|
| По последней цифре числа (признаки на 2, 5 и 10) | на 10 — оканчивается на 0; на 5 — оканчивается на 0 или 5; на 2 — оканчивается чётной цифрой 0, 2, 4, 6, 8. |
| По сумме всех цифр числа (признаки на 3 и на 9 — самые важные на ЕГЭ!) | число делится на 3 (или на 9) тогда и только тогда, когда СУММА ВСЕХ ЕГО ЦИФР делится на 3 (или на 9)! |
| По двум и трём последним цифрам (признаки на 4, 8 и 25) | на 4 (и на 25) — число из ДВУХ последних цифр делится на 4 (на 25: 00, 25, 50, 75); на 8 — число из ТРЁХ последних цифр делится на 8. |
| Признаки на составные числа (6, 12, 15, 18, 45) и на 11 | разложите делитель на взаимно простые множители: на 6 ⇔ на 2 и на 3; на 12 ⇔ на 3 и на 4; на 15 ⇔ на 3 и на 5; на 18 ⇔ на 2 и на 9; на 11 ⇔ знакочередующаяся сумма цифр делится на 11. |
4. Практикум: разбор реальных задач с пошаговым решением
1. Число делится на 15, если оно одновременно делится на 5 и на 3.
2. Чтобы число делилось на 5, оно обязано оканчиваться на 0 или 5 (здесь нет ни 0, ни 5 в конце), а для числа 53164518 вычёркиваем последние две цифры 1, 8 (чтобы оканчивалось на 5) и подбираем сумму цифр, кратную 3!
3. Например, для задачи «делилось на 12» в числе 53164218: вычёркиваем 1 и 8 в конце (остаётся 42 на конце — не делится на 4) или вычёркиваем 2, 1, 8 ➔ на конце 64 (делится на 4!), а сумма цифр 5+3+1+6+4 = 19 (вычеркнем 1 вместо 2: 53642 — нет; оставим на конце 16: вычеркнем 4, 2, 8 ➔ число 53116, сумма 16; или 31612 — сумма 13; или 51612: на конце 12 кратно 4, и 5+1+6+1+2 = 15 кратно 3!). Ответ для делимости на 12: 51612.
1. Так как 36 = 4 · 9, сумма цифр должна делиться на 9, а число из двух последних цифр — делиться на 4.
2. Разложим 24 на 4 цифры с суммой 9: 1 · 2 · 3 · 4 = 24, но их сумма 1+2+3+4 = 10 ≠ 9; возьмём 1, 1, 3, 8 (1+1+3+8 = 13) или 1, 2, 2, 6 (сумма 11). А для произведения цифр 18: цифры 1, 1, 2, 9 (сумма 13) или 1, 2, 3, 3 (сумма 9!).
3. Из цифр 1, 2, 3, 3 ставим в конец двузначное число, кратное 4 (32): получаем 1332 (1332 : 36 = 37).
1. Считаем сумму цифр на нечётных местах: 9 + 8 + 7 + 6 + 5 = 35.
2. Считаем сумму цифр на чётных местах: 1 + 2 + 3 + 4 = 10.
3. Разность: 35 − 10 = 25 (не делится на 11) ⇒ число не делится на 11 (остаток равен 3).
5. Контрольный чек-лист: частые ошибки и ловушки на экзамене
- Главное правило проверки ответа: в Задании №19 Базового ЕГЭ при проверке делимости на составное число (например, на 12 или на 18) раскладывайте его ТОЛЬКО на ВЗАИМНО ПРОСТЫЕ множители: 12 = 3 · 4 (а не 2 · 6!), 18 = 2 · 9 (а не 3 · 6!), 24 = 3 · 8, 36 = 4 · 9, 45 = 5 · 9!
- Контроль первой формулы (ПО ПОСЛЕДНИМ ЦИФРАМ И СУММЕ ЦИФР): На 4: две последние цифры кратны 4 | На 8: три последние цифры (На 2: чётная | На 5: 0 или 5 | На 3 и 9: СУММА ЦИФР кратна 3 (9)!).
- Контроль второй формулы (НА СОСТАВНЫЕ ЧИСЛА (ДЛЯ №19 ЕГЭ)): На 11: разность сумм цифр на чётных и нечётных местах кратна 11 (На 6 ⇔ на 2 и 3 | На 12 ⇔ на 3 и 4 | На 15 ⇔ на 3 и 5 | На 18 ⇔ на 2 и 9).
Потренироваться самостоятельно с автопроверкой ответов можно в бесплатном тренажёре ЕГЭ от Skysmart: доступны разделы по базовой математике и профильной математике.
На онлайн-курсах по математике в Skysmart преподаватели разбирают каждый прототип ФИПИ на интерактивной доске и помогают довести решение задач первой и второй части до полного автоматизма.
6. Часто задаваемые вопросы (FAQ)
Какая главная формула в теме «Признаки делимости чисел»?
Базовое соотношение темы: На 2: чётная | На 5: 0 или 5 | На 3 и 9: СУММА ЦИФР кратна 3 (9)!, а также вторая ключевая формула: На 6 ⇔ на 2 и 3 | На 12 ⇔ на 3 и 4 | На 15 ⇔ на 3 и 5 | На 18 ⇔ на 2 и 9. Подробный пример расчёта: Проверить, делится ли число 7 326 на 9 и на 4 ➔ 1) Сумма цифр: 7 + 3 + 2 + 6 = 18 (делится на 9 ⇒ 7326 кратно 9!) ➔ 2) Две последние цифры: 26 не делится на 4 ⇒ 7326 НЕ кратно 4.
На какой ловушке чаще всего теряют баллы на контрольной, ОГЭ и ЕГЭ?
Главное правило для бланка ответов: в Задании №19 Базового ЕГЭ при проверке делимости на составное число (например, на 12 или на 18) раскладывайте его ТОЛЬКО на ВЗАИМНО ПРОСТЫЕ множители: 12 = 3 · 4 (а не 2 · 6!), 18 = 2 · 9 (а не 3 · 6!), 24 = 3 · 8, 36 = 4 · 9, 45 = 5 · 9!
Где скачать шпаргалку со всеми формулами для печати?
В первом экране статьи доступна бесплатная PDF-шпаргалка формата А4 со всеми формулами и алгоритмами темы «Признаки делимости чисел».
