Признаки делимости чисел

Понятие делимости

Признаки делимости чисел — это особенности чисел, которые позволяют определить, кратно число делителю или нет.

Свойства делимости:

1. Все целые числа делятся на единицу.

2. Каждое целое число, не равное нулю, делится на натуральное число, равное модулю от данного целого.

3. Все натуральные числа являются делителями нуля.

4. Если целое число a делится на натуральное число b и модуль числа a меньше b, то a равно нулю.

5. Если целое число a отлично от нуля и делится на натуральное число b, то модуль числа a не меньше числа b.

6. Единственный делитель единицы — сама единица.

7. Чтобы целое число a делилось на натуральное число b, необходимо и достаточно, чтобы модуль числа a делился на b.

8. Если натуральные числа делятся друг на друга без остатка, то они равны.

Свойства делимости можно использовать при решении задач и доказательстве теорем.

Четные числа — это числа, которые делятся на два: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12 и т. д. Ноль тоже относится к четным числам.

Нечетные числа — это числа, которые на два не делятся: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 и т. д.

Признаки делимости

Рассмотрим признаки делимости на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Признак делимости на 1

Каждое целое число делится на 1.

Признаки делимости на 2

Число делится на 2, если его последняя цифра четная.

Пример: число 2164 делится на 2, так как последняя цифра (6) — четная.

Признаки делимости на 3

На 3 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 3.

Пример: число 81 300 делится на 3, так как сумма его цифр 8 + 1 + 3 + 0 + 0 = 12 делится на 3.

Признаки делимости на 4

Число делится на 4, если две последние его цифры — нули или образуют число, которое делится на 4.

Примеры:

• число 37 100 делится на 4, так как оно оканчивается двумя нулями;

• число 7524 делятся на 4, так как две последние цифры (24) делятся на 4.

Признаки делимости на 5

На 5 делятся те числа, которые оканчиваются на 0 или 5.

Пример: число 450 делится на 5, так как последняя цифра 0.

Признаки делимости на 6

Число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3.

Примеры:

• число 912 делится на 6, так как оно делится и на 2 и на 3;

• число 861 не делится на 6, так как оно делится на 3, но не делится на 2.

Признаки делимости на 7

Делимость на число 7 можно проверить так:

1. Последнюю цифру числа умножить на два.

2. Полученное произведение вычесть от оставшегося числа (без последней цифры).

3. Полученная разность должна быть кратна 7.

Пример: число 343 делится на 7, так как 34 − (2 · 3) = 28, и 28 делится на 7.

Признаки делимости на 8

На 8 делятся те числа, у которых три последние цифры являются нулями или образуют число, которое делится на 8.

Пример:

• число 11 000 делится на 8, так как оно оканчивается тремя нулями;

• число 12 128 делится на 8, так как три последние цифры образуют число (128), которое делится на 8.

Признаки делимости на 9

На 9 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 9.

Пример: число 2637 делится на 9, так как сумма его цифр 2 + 6 + 3 + 7 = 18 делится на 9.

Признаки делимости на 10

На 10 делятся те числа, которые оканчиваются на ноль или несколько нулей.

Пример:

• число 980 делится на 10;

• число 462 не делится на 10 — последняя цифра 2.

Курсы обучения математике помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.