Анализ утверждений — это фундаментальный раздел школьного курса математики, определяющий базовые свойства изучаемых математических объектов и законов. Понимание темы позволяет безошибочно выстраивать логические цепочки рассуждений и применять формулы на практике.
В курсе алгебры и геометрии материал темы «Анализ утверждений» систематизирует приёмы решения практических и теоретических задач, развивая вычислительный навык и алгоритмическое мышление школьника.
Теоретическую основу темы закладывает Как читать диаграммы и графики, практические методы расчёта развивает Размах числового ряда, а проверку на экзаменах обеспечивает Справочные материалы для ОГЭ по математике.
2. Формула вычисления темы применена.
3. Итоговый результат: 10.
Метрика экзаменационных требований: структура заданий ФИПИ
| Параметр оценивания | Период (2024–2025) | Регламент (2027) |
|---|---|---|
| Базовый уровень | Прямое применение свойств темы «Анализ утверждений» | Краткий числовой ответ в бланк №1 |
| Повышенный уровень | Составные задачи с доказательством | Развёрнутое математическое обоснование на бланке №2 |
Задание ЕГЭ на анализ утверждений
Задание на анализ утверждений встречается только в базовом уровне экзамена по математике под №8. Если ученик выполнит его верно, он получит 1 первичный балл.
В этом задании дано условие и несколько утверждений к нему. Ученику нужно выбрать верные из списка предложенных вариантов и записать их в ответ.
Это важно
Утверждение можно считать верным только тогда, когда оно остаётся таковым во всех случаях при заданных в условии обстоятельствах. Если хотя бы 1 его деталь противоречит условию, утверждение уже нельзя считать верным.
Получи больше пользы от Skysmart:
-
Подготовься к ОГЭ на пятёрку
-
Подготовься к ЕГЭ на высокие баллы
Записывайся на бесплатные курсы для детей
Решай задания в бесплатном тренажёре ЕГЭ
Как выполнять задания на анализ утверждений
Это простое задание, но и его можно выполнить неверно, если быть невнимательным. Чтобы получить за него балл, следуйте такому алгоритму:
-
Вдумчиво прочитайте условие.
-
Соотнесите каждое предложенное утверждение с условием задания.
-
Если нужно, выполните расчёты или сравнение величин из условия.
-
Определите, какие из утверждений верны.
-
Запишите в ответ их номера в любом порядке без знаков препинаний и пробелов.
Это важно
Помните: все утверждения в этом задании не могут быть неверными. В ответе должен быть хотя бы 1 номер.
Примеры решения
Чтобы закрепить результат, разбёрем задания на анализ утверждений из демоверсии ЕГЭ базового уровня по математике и вариантов из Открытого банка заданий ЕГЭ ФИПИ.
Задание №8
В классе учится 20 человек, из них 13 человек посещают кружок по истории, а 10 — кружок по математике. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях.
-
Каждый ученик этого класса посещает оба кружка.
-
Найдётся хотя бы двое учеников из этого класса, посещающих оба кружка.
-
Если ученик из этого класса ходит на кружок по истории, то он обязательно ходит на кружок по математике.
-
Не найдётся 11 человек из этого класса, которые посещают оба кружка.
В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение:
-
В условии сказано, что 13 человек из 20 посещают кружок по истории и 10 из 20 — по математике, поэтому все ученики не могут ходить в оба кружка одновременно. Утверждение неверно.
-
Предположим, что каждый ученик посещает только 1 кружок. Но 13 + 10 = 23, что больше количества учеников в классе. Значит, минимум 3 из ребят ходят в оба кружка. Утверждение верно.
-
Лишь 10 ребят дополнительно занимаются математикой, тогда как историей – 13. Поэтому даже в случае, когда все 10 математиков учат и историю тоже, 3 историков не могут посещать второй кружок. Утверждение неверно.
-
Из предыдущих рассуждений делаем вывод, что одновременно оба кружка могут посещать только 10 человек. Следовательно, это верное утверждение.
Ответ: 24
Задание №8
Во дворе школы растут всего три дерева: ясень, рябина и осина. Ясень выше рябины на 1 метр, но ниже осины на 2 метра. Выберите все утверждения, которые верны при указанных условиях.
-
Среди указанных деревьев не найдётся двух одной высоты.
-
Ясень, растущий во дворе школы, выше осины, растущей там же.
-
Любое дерево помимо указанных, которое ниже ясеня, растущего во дворе школы, также ниже рябины, растущей там же.
-
Любое дерево помимо указанных, которое ниже рябины, растущей во дворе школы, также ниже ясеня, растущего там же.
В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение:
Чтобы решить эту задачу для простоты просвоим высотам деревьев такие значения: ясень — x, рябина — x – 1, осина — x + 2. Далее сравним их:
x – 1 < x < x + 2.
-
Сравнение показывает, что все указанные в условии деревья разной высоты. Значит, утверждение верно.
-
Ясень не может быть выше осины, потому что в условии написано обратное — он ниже неё на 2 метра. Утверждение неверно.
-
Разница в высоте ясеня и рябины — 1 метр. Если другое дерево будет ниже ясеня, допустим, на полметра, оно будет всё ещё выше рябины. Утверждение неверно.
-
Сравнение показывает, что рябина — самое низкое дерево из указанных. Выходит, если другое будет ниже неё, оно автоматически будет ниже всех прочих из условия, включая ясень. Утверждение верно.
Ответ: 14
Задание №8
В жилых домах, в которых больше 12 этажей, установлены электрические плиты, газовые плиты не устанавливаются. Выберите утверждения, которые верны при приведённом условии.
-
Если в доме установлены газовые плиты, то в этом доме меньше 13 этажей.
-
Если в доме больше 12 этажей, то в нём установлены электрические плиты.
-
Если в доме установлены газовые плиты, то в нём больше 12 этажей.
-
Если в доме 15 этажей, то в нём установлены газовые плиты.
В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение:
-
Согласно условию, дома с 12 и менее этажами имеют газовые плиты. «Меньше 13» включает 12-й этаж тоже. Значит, утверждение верно.
-
Утверждение верно, т. к. дословно повторяет условие задачи.
-
Утверждение неверное, т. к. в условии сказано обратное — в зданиях с 12 и более этажами устанавливают только электрические плиты.
-
Утверждение неверное, т. к. оно противоречит тому же условию, что и предыдущее.
Ответ: 12.
Задание 8
На соревнованиях сборная России завоевала медалей больше, чем сборная Канады, сборная Канады — больше, чем сборная Германии, а сборная Норвегии — меньше, чем сборная Канады. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях.
-
Из названных сборных команда Канады заняла второе место по числу медалей.
-
Среди названных сборных есть три, завоевавшие равное количество медалей.
-
Сборная Германии завоевала больше медалей, чем сборная России.
-
Сборная России завоевала больше медалей, чем каждая из остальных трёх сборных.
В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение:
Чтобы было легче решить задачу, снова выполним сравнение. Обозначим сборную России как «Р», Канады — «К», Германии — «Г», Норвегии — «Н» и расставим их в порядке количества медалей, которые они получили:
Р > К > Г, Н < К.
-
Утверждение верно, т. к. больше сборной Канады медалей заработала только сборная России, это видно по цепочкам сравнений.
-
Первое место заняла сборная России, второе — сборная Канады. Согласно условию, сборные Германии и Норвегии обе получили меньше медалей, чем канадцы. Их соотношение друг с другом мы не знаем, поэтому можно предположить, что их счёт равен. Но даже в этом случае утверждение неверно, потому что нет третьей сборной с теоретически таким же результатом.
-
Утверждение неверно — оно противоречит условию, что видно по цепочке сравнений.
-
Согласно цепочке сравнений и предыдущим рассуждениям, утверждение верно.
Ответ: 14
Теперь вы без труда справитесь с заданием ЕГЭ №8. Но лучше перестраховаться — попрактикуйтесь, чтобы закрепить результат, на заданиях Тренажёра ЕГЭ. Там есть все виды пробных экзаменационных заданий по этой и другим темам. Это бесплатно!
Практикум: разбор реальных задач ОГЭ и ЕГЭ
1. Записываем формулу свойства.
2. Выполняем подстановку числовых данных.
3. Получаем итоговый ответ.
Контрольный чек-лист: на чём срезаются школьники
- Ловушка экзамена: Невнимательность при вычислениях по формуле темы «Анализ утверждений» приводит к потере первичных баллов в первой части.
- Ловушка экзамена: Обязательно проверяйте допустимые значения переменных (ОДЗ) и размерность величин перед записью в бланк.
- Ловушка экзамена: Во второй части ОГЭ/ЕГЭ решение без пояснения применённого правила оценивается в 0 баллов даже при верном ответе.
В заданиях ОГЭ и Профильного ЕГЭ эксперты ФИПИ строго оценивают логику каждого шага и обоснование формул.
На индивидуальных уроках в онлайн-школе Skysmart методисты и действующие эксперты экзаменационной комиссии разбирают все подводные камни темы и доводят решение до автоматизма.
Ответы на частые вопросы (FAQ)
В каком классе изучают тему «Анализ утверждений»?
Тема подробно изучается в школьном курсе математики с 5 класса и входит в обязательный кодификатор ОГЭ и ЕГЭ.
Как быстро проверить ответ в задачах на «Анализ утверждений»?
Подставьте полученный результат обратно в исходное соотношение и проверьте соответствие условию задачи.
