Масштаб карты или чертежа (1 : M) — это отношение длины отрезка на карте (чертеже, плане) к действительной длине этого же отрезка на местности, выраженным в одних и тех же единицах измерения (обычно в сантиметрах): Масштаб = L_карты / L_местности = 1 / M. Масштаб 1 : 100 000 означает, что в 1 см на карте содержится 100 000 см = 1 000 м = 1 км на местности!
- Быстрое правило перевода сантиметров масштаба в метры и километры: отбросьте справа 2 нуля — получите метры в 1 см; отбросьте справа 5 нулей — получите километры в 1 см (так как
1 м = 100 см, а1 км = 100 000 см)! - Две рабочие формулы расчёта по масштабу 1 : M: 1) реальное расстояние на местности:
L_местн = L_карты · M; 2) длина отрезка на карте:L_карты = L_местн / M. - Отношение площадей на плане и на местности (квадрат масштаба!): площадь участка на местности больше площади на карте в M² раз:
S_местн = S_карты · M².
Правило для бланка ОГЭ и ЕГЭ: запомните волшебное число для всех задач 6 класса, ВПР и ОГЭ: в 1 километре ровно 100 000 сантиметров (5 нулей)! Поэтому в масштабе 1 : 500 000 зачёркиваем 5 нулей и сразу видим: 1 см на карте = 5 км на местности!
2. Подстановка в формулу (Убери 2 нуля ⇒ метры в 1 см | Убери 5 нулей ⇒ км в 1 см!): 1) Отбрасываем 5 нулей у 200 000: в 1 см на карте ровно 2 км
3. Итоговый ответ: 2) Умножаем: 4,5 · 2 км = 9 км на местности
1. Главные формулы и правила темы «Масштаб в математике»
2. Подробный теоретический разбор, свойства и наглядные схемы
Для кого эта статья:
- учителя и преподаватели математики
- студенты и школьники, интересующиеся математикой
- люди, желающие углубить свои знания в области науки и математики
Получи больше пользы от Skysmart:
-
Прокачивай знания на курсах математики
-
Выбирай из 1200+ репетиторов по математике
Записывайся на бесплатные курсы для детей
Понятие масштаба
Чтобы понять, что такое масштаб в математике нужно вспомнить тему отношений чисел и пропорций.
Масштаб — это дробь, где в числителе единица, а в знаменателе то число, которое показывает во сколько раз уменьшено расстояние на плане местности, чем на самой местности.
Другими словами, масштабом называют отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности.
- Например, одна тысячная (1:1000) означает, что все расстояния на местности уменьшены в тысячу раз. Чем больше число в знаменателе дроби, тем больше уменьшение и тем больше охват территории.
Масштаб бывает трех видов:
- численный, выражается в числах 1:1000;
- именованный, выражается словами, то есть см переводим в м: в 1см 10м, 10м — это величина масштаба;
- линейный, зная величину масштаба, можно определить расстояния.
Курсы обучения математике помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.
Определение масштаба на карте
На математике в 6 классе обязательно будут задания, как найти масштаб карты. Разберемся в этом вопросе.
Нужно потратить очень много сил, чтобы изобразить дом в натуральную величину, поэтому и придумали такой инструмент, как масштаб. Ведь намного проще описать большой объект в рисунке, чертеже или макете.
Масштаб — это отношение размера изображения к размеру изображаемого объекта.
Масштаб карты — это отношение длины отрезка на карте к его действительной длине на местности.
На карте Российской Федерации указан масштаб (1 : 500 000). Читается это так: карта сделана в масштабе одна пятисот тысячная. Такой масштаб значит, что в 1 см на карте помещается 500 000 см реального расстояния. То есть отрезок на изображении в 1 см соответствует отрезку на местности в 5 км. А если взять отрезок в 3 см, то на местности этот отрезок составит 15 км.
Численные масштабы карт и соответствующие им масштабы на местности:
Масштаб 1 : 100 000
- 1 мм на карте — 100 м (0,1 км) на местности
- 1 см на карте — 1000 м (1 км) на местности
- 10 см на карте — 10000 м (10 км) на местности
Масштаб 1 : 10000
- 1 мм на карте — 10 м (0,01 км) на местности
- 1 см на карте — 100 м (0,1 км) на местности
- 10 см на карте — 1000 м (1 км) на местности
Масштаб 1 : 5000
- 1 мм на карте — 5 м (0,005 км) на местности
- 1 см на карте — 50 м (0,05 км) на местности
- 10 см на карте — 500 м (0,5 км) на местности
Масштаб 1 : 2000
- 1 мм на карте — 2 м (0,002 км) на местности
- 1 см на карте — 20 м (0,02 км) на местности
- 10 см на карте — 200 м (0,2 км) на местности
Масштаб 1 : 1000
- 1 мм на карте — 100 см (1 м) на местности
- 1 см на карте — 1000 см (10 м) на местности
- 10 см на карте — 100 м на местности
Масштаб 1 : 500
- 1 мм на карте — 50 см (0,5 метра) на местности
- 1 см на карте — 5 м на местности
- 10 см на карте — 50 м на местности
Масштаб 1 : 200
- 1 мм на карте — 0,2 м (20 см) на местности
- 1 см на карте — 2 м (200 см) на местности
- 10 см на карте — 20 м (0,2 км) на местности
Масштаб 1 : 100
- 1 мм на карте — 0,1 м (10 см) на местности
- 1 см на карте — 1 м (100 см) на местности
- 10 см на карте — 10м (0,01 км) на местности
Решение задач на масштаб
Для закрепления темы решим несколько математических задач на масштаб за 6 класс.
Пример 1. Длина отрезка на карте равна 8 см. Найти длину соответствующего отрезка на местности, если масштаб карты равен 1 : 10 000.
Как решаем:
8 см — это 1 часть
8 * 10 000 = 80 000 (см) — это 10 000 частей
80 000 см = 800 м
Ответ: 800 м
Пример 2. Расстояние между двумя городами 400 км. Найти длину отрезка, который соединяет эти города на карте, выполненный в масштабе 1:5000000.
Как решаем:
400 км = 400 000 м = 40 000 000 см
40000000 : 5000000 = 40 : 5 = 8
Ответ: 8 см
Пример 3. Расстояние от Москвы до Санкт-Петербурга по прямой составляет примерно 635 км. По автотрассе протяженность маршрута 700 км. Во сколько раз надо уменьшить это расстояние, чтобы его можно было изобразить в виде отрезка длиной в 14 см?
Как решаем:
700 км = 700 000 м = 70 000 000 см
70 000 000 : 14 = 5 000 000
Ответ: уменьшить в 5 000 000 раз.
3. Сводная таблица всех формул и свойств для контрольной, ОГЭ и ЕГЭ
| Условие / Правило | Рабочая формула и пример применения |
|---|---|
| Быстрое правило перевода сантиметров масштаба в метры и километры | отбросьте справа 2 нуля — получите метры в 1 см; отбросьте справа 5 нулей — получите километры в 1 см (так как 1 м = 100 см, а 1 км = 100 000 см)! |
| Две рабочие формулы расчёта по масштабу 1 : M | 1) реальное расстояние на местности: L_местн = L_карты · M; 2) длина отрезка на карте: L_карты = L_местн / M. |
| Отношение площадей на плане и на местности (квадрат масштаба!) | площадь участка на местности больше площади на карте в M² раз: S_местн = S_карты · M². |
4. Практикум: разбор реальных задач с пошаговым решением
1. Переведём масштаб 1 : 800 000 в именной (отбрасываем 5 нулей): в 1 см на карте — 8 км на местности.
2. Делим реальное расстояние 40 км на 8 км/см: 40 / 8 = 5 см на карте.
1. Узнаем, сколько километров приходится на 1 см карты: 15 : 3 = 5 км в 1 см.
2. Переводим 5 км в сантиметры (дописываем 5 нулей): 5 км = 500 000 см. Масштаб: 1 : 500 000.
1. Масштаб 1 : 100 означает, что в 1 см плана содержится 100 см = 1 метр в реальности.
2. Значит, реальные размеры гостиной равны 4 м и 5,5 м.
3. Вычисляем площадь: S = 4 · 5,5 = 22 м².
5. Контрольный чек-лист: частые ошибки и ловушки на экзамене
- Главное правило проверки ответа: запомните волшебное число для всех задач 6 класса, ВПР и ОГЭ: в 1 километре ровно 100 000 сантиметров (5 нулей)! Поэтому в масштабе 1 : 500 000 зачёркиваем 5 нулей и сразу видим: 1 см на карте = 5 км на местности!
- Контроль первой формулы (СЕКРЕТ ПЕРЕВОДА НУЛЕЙ (СМ ➔ М И КМ)): Так как 1 м = 100 см, а 1 км = 1 000 м = 100 000 см (Убери 2 нуля ⇒ метры в 1 см | Убери 5 нулей ⇒ км в 1 см!).
- Контроль второй формулы (ФОРМУЛЫ РАСЧЁТА ПО МАСШТАБУ 1 : M): Площадь меняется в квадрате масштаба: S_местн = S_карты · M² (L_местности = L_карты · M | L_карты = L_местности / M).
Потренироваться самостоятельно с автопроверкой ответов можно в бесплатном тренажёре ЕГЭ от Skysmart: доступны разделы по базовой математике и профильной математике.
На онлайн-курсах по математике в Skysmart преподаватели разбирают каждый прототип ФИПИ на интерактивной доске и помогают довести решение задач первой и второй части до полного автоматизма.
6. Часто задаваемые вопросы (FAQ)
Какая главная формула в теме «Масштаб в математике»?
Базовое соотношение темы: Убери 2 нуля ⇒ метры в 1 см | Убери 5 нулей ⇒ км в 1 см!, а также вторая ключевая формула: L_местности = L_карты · M | L_карты = L_местности / M. Подробный пример расчёта: Масштаб карты 1 : 200 000, отрезок на карте равен 4,5 см. Найти путь в км ➔ 1) Отбрасываем 5 нулей у 200 000: в 1 см на карте ровно 2 км ➔ 2) Умножаем: 4,5 · 2 км = 9 км на местности.
На какой ловушке чаще всего теряют баллы на контрольной, ОГЭ и ЕГЭ?
Главное правило для бланка ответов: запомните волшебное число для всех задач 6 класса, ВПР и ОГЭ: в 1 километре ровно 100 000 сантиметров (5 нулей)! Поэтому в масштабе 1 : 500 000 зачёркиваем 5 нулей и сразу видим: 1 см на карте = 5 км на местности!
Где скачать шпаргалку со всеми формулами для печати?
В первом экране статьи доступна бесплатная PDF-шпаргалка формата А4 со всеми формулами и алгоритмами темы «Масштаб в математике».
