Что такое пропорция

Что такое пропорция

Определение пропорции: 

Пропорция — это равенство двух отношения.

Пропорциональный — это такой, который находится в определенном отношении к какой-либо величине.

Пропорция всегда содержит равные коэффициенты. 

Если выразить определение формулой, то выглядеть оно будет так:

• a : b = c : d

Или вот так:

• 

a и d — крайние члены пропорции, b и с — средние члены пропорции.

Читается это выражение так: a так относится к b, как c относится к d

Например:

15 : 5 = 3
 

9 : 3 = 3

Это равенство двух отношений: 15 так относится к 5, как 9 относится к 3. 

15 и 3 — крайние члены пропорции.

5 и 9 — средние члены пропорции.

Наглядный пример для понимания:

У нас есть восемь кусочков аппетитной пиццы и, предположим, четыре голодных друга.

• Запишем эту непростую ситуацию в виде отношения 8 кусочков к 4 голодным друзьям: 8 : 4 
• Далее преобразовываем это отношение в дробь: 8/4
• Выполняем деление: 8/4 = 2

Это значит, что 8 аппетитных кусочков пиццы будут так относиться к 4 голодным друзьям, что каждому голодающему достанется по 2 кусочка. Прекрасно!

А теперь представим, ситуацию, в которой есть только половина аппетитной пиццы, но при этом и голодных друга — всего два.

Что мы имеем: 4 кусочка и 2 друга, претендующих на них.

• Запишем в виде отношения: 4 : 2
• Преобразовываем получившееся отношение в дробь: 4/2
• Выполняем деление: 4/2 = 2

Это значит, что 4 аппетитных кусочка будут так относиться к 2 голодным друзьям, что каждому из них достанется по 2 кусочка. 

Оценив обе ситуации, делаем вывод, что отношение 8/4 пропорционально отношению 4/2. Отношения в пропорции — равные. 

Вывод: знание математических пропорций пригодится при заказе пиццы. Быстренько прикидываем отношение количества человек, претендующих на пиццу, и число кусочков — и сразу заказываем побольше пиццы, чтобы никто не остался голодным😉

 

Основное свойство пропорции

Запомните основное свойство пропорции:

Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов этой пропорции.

В виде формулы свойство выглядит так:

a : b = c : d
a * d = b * c

Мы знаем, что a и d — крайние члены пропорции, b и c — средние. 

Это свойство следует применять, чтобы проверить пропорцию. Если все сходится согласно формулировке — пропорция составлена верно, и отношения в пропорции являются равными друг другу. 

Давайте проверим несколько пропорций.

Пример 1. Дана пропорция:6/2 = 12/4

• Чтобы проверить, верно ли составлена пропорция, перемножаем ее крайние члены: 6 * 4 = 24.
• Далее перемножаем средние члены пропорции: 2 * 12 = 24
   
• Произведение крайних членов пропорции равно 24, произведение средних членов пропорции также равно 24.
   
• 6 * 4 = 2 * 12
  24 = 24

Делаем вывод, что пропорция 6/2 = 12/4 составлена верно. 

Пример 2. Дана пропорция: 10/2 = 16/4

• Перемножаем крайние члены пропорции: 10 * 4 = 40.
• Перемножаем средние члены: 16 * 2 = 32.
• Произведение крайних членов пропорции равно 40. Произведение средних членов пропорции равно 32. 
• 10 * 4 ≠ 16 * 2
  40 ≠ 32

Отсюда делаем вывод, что  отношения в пропорции 10/2 ≠ 16/4 не являются равными. 

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

107.6K

Какая профессия тебе подходит? Узнай за 10 минут!

Получи больше пользы от Skysmart:

• Прокачивай знания на курсах математики.

• Выбирай из 1200+ репетиторов по математике.

• Записывайся на бесплатные курсы для детей.

Примеры решения задач с пропорцией

Чтобы потренироваться в составлении пропорций, решим вместе несколько задачек. 

Задачка 1. Дана математическая пропорция: 15/3 = x/4

Найдите x.

Как решаем:

 

1. По основному свойству пропорции перемножаем множители:
   15 * 4 = 3x


2. Получаем уравнение: 60 = 3x


3. 60/3 = x
   x = 20.

Ответ: в пропорции 15/3 = x/4, x = 20

Задачка 2. Найдите четвертый член пропорции: 18, 9 и 24.

Как решаем:

 

1. Записываем чиcла в виде дробей: 18/9 = 24/x
   Где x — четвертый член пропорции.


2. По основному свойству пропорции, перемножаем средние члены: 9 * 24 = 216


3. Выводим уравнение 18x = 216


4. Находим x:
   x = 216 : 18
   x = 12


5. Проверяем: 9 * 24 = 216, 18 * 12 = 216.
   Пропорция составлена верно.

Ответ: четвертый член пропорции — 12.

Задачка 3. 18 человек могут съесть пять килограммов суши за 8 часов, сколько часов понадобится 9 людям?

Как решаем:

 

1. Записываем числа в виде обратной пропорции: 18/9 = x/8


2. Перемножаем множители по основному свойству пропорции: 18 * 8 = 9x


3. Находим х:
   144 = 9x
   144 : 9 = 16

Ответ: 16 часов понадобится 9 людям, чтобы съесть все суши. 

Задачка 4. Дана пропорция: 20/2 = y/4

Найдите y.

Как решаем:

 

1. По основному свойству пропорции перемножаем множители:
   20 * 4 = 2y


2. Получаем уравнение: 80 = 2y


3. Находим у:
   80/2 = y
   x = 40.


4. Проверяем пропорцию: 20 * 4 = 80, 40 * 2 = 80.

Ответ: в пропорции 20/2 = y/4, y = 40