Определение многочлена
Многочлен — это сумма одночленов. Получается, что многочлен — не что иное, как несколько одночленов, собранных «под одной крышей».
Одночлен — это произведение, состоящее из числового множителя и одной или нескольких переменных, каждая из которых взята в неотрицательной степени.
Рассмотрим примеры многочленов:
- 15x + 7x
- 4ab − b + 3
Если многочлен состоит из двух одночленов, его называют двучленом:
- 10x − 3x2
- 10x — одночлен
- −3x2 — одночлен
Многочлен — это сумма одночленов, поэтому знак «минус» относится к числовому коэффициенту одночлена. Именно поэтому мы записываем −3x2, а не просто 3x2.
Этот же многочлен можно записать вот так:
- 10x – 3x2 = 10x − 3x2 = 10x + (−3x2).
Это значит, что каждый одночлен важно рассматривать вместе со знаком, который перед ним стоит.
Многочлен вида 10x − 3x2 + 7 называется трехчленом.
Линейный двучлен — это многочлен первой степени: ax + b. a и b здесь — некоторые числа, x — переменная.
Если разделить многочлен с переменной x на линейный двучлен x − b (где b — некоторое положительное или отрицательное число) — остаток будет только многочленом нулевой степени. То есть некоторым числом N, которое можно определить без поиска частного.
Если многочлен содержит обычное число — это число является свободным членом многочлена.
- Например, в многочлене 6a + 2b − x + 2 число 2 — свободный член.
Свободный член многочлена не имеет буквенной части. Кроме того, любое числовое выражение — это многочлен. Например, вот такие числовые выражения — тоже многочлены:
- 16 + 13
- (7 − 2) ∙ 9
- (25 + 25) : 5
Такие выражения состоят из свободных членов.
Коэффициенты многочлена
Коэффициенты членов многочлена — это числа, которые указаны перед переменными множителями. Если перед переменной нет числа, то коэффициент этого члена = 1.
Иными словами — коэффициенты членов многочлена — это члены многочлена, представленные в виде стандартных одночленов.
Например:
Дан многочлен 2x + 5x − 18y
Все одночлены имеют стандартный вид. 2, 5 и 18 — коэффициенты членов данного многочлена.
Получи больше пользы от Skysmart:
-
Прокачивай знания на курсах математики.
-
Выбирай из 1200+ репетиторов по математике.
Многочлен стандартного вида
Недостаточно просто знать, что такое многочлен и что такое одночлен. Это целая алгебраическая экосистема, где у всего есть названия, определения и особенности.
Давайте разберемся, что такое многочлен стандартного вида. Многочленом стандартного вида называют многочлен, каждый член которого имеет одночлен стандартного вида и не содержит подобных членов.
Получается, что всякий многочлен можно привести к стандартному виду. Таким образом можно получить многочлен, работать с которым гораздо проще и приятнее.
К стандартному виду многочлен приводится очень просто. Нужно лишь привести в нем подобные слагаемые.
Подобные слагаемые — это подобные члены многочлена. Приведение подобных слагаемых в многочлене — приведение его подобных членов. Тут же возникает резонный вопрос: Что такое подобные члены многочлена? Это члены с одинаковой буквенной частью.
Давайте разберем на примере, как «нестандартный» многочлен приводится к стандартному виду.
Дан красавец многочлен: 3x + 5xy2 + x − xy2
Приведем подобные слагаемые. Для этого найдем все члены с одинаковыми буквенными составляющими:
- 3x и x — подобные слагаемые.
- 5xy2 и −xy2 — подобные слагаемые.
Получаем многочлен вот такого вида: 3x + 5xy2 + x − xy2 = 4x + 4xy2.
Как видите, в получившемся многочлене нет подобных членов. Такой многочлен — это многочлен стандартного вида.
Онлайн-подготовка к ОГЭ по математике — отличный способ снять стресс и закрепить знания перед экзаменом.
Степень многочлена
Многочлен может иметь степень — имеет на это полное право.
Степень многочлена стандартного вида — это наибольшая из степеней, входящих в него одночленов.
Из определения можно сделать вывод, что степень многочлена возможно определить только после приведения его к стандартному виду.
- Приводим многочлен к стандартному виду.
- Выбираем одночлен с наибольшей степенью.
Рассмотрим на примере:
Дан многочлен 6x + 4xy2 + x + xy2
Сначала приводим многочлен к стандартному виду — для этого приводим подобные слагаемые:
- 6x и x — подобные слагаемые
- 4xy2 и xy2 — подобные слагаемые
Получаем многочлен стандартного вида 6x + 4xy2 + x + xy2 = 7x + 5xy2.
- Степень первого одночлена (7x) — 1.
- Степень второго одночлена (5xy2) — 3.
- Наибольшая из двух степеней — 3.
Отсюда делаем вывод, что многочлен 7x + 5xy2 — многочлен третьей степени.
Кроме того, можно сделать вывод, что и исходный многочлен 6x + 4xy2 + x + xy2 — многочлен третьей степени, поскольку оба многочлена равны друг другу.
В некоторых случаях необходимо сначала привести к стандартному виду одночлены многочлена, а затем уже и сам многочлен.
Пример:
Дан многочлен 6xx2 + 5xx2 − 3xx3 − 3x2x
Приведем его к стандартному виду: 6xx3 + 5xx2 − 3xx3 − 3x2x = 6x4 + 5x3 − 3x4 − 3x3
Получившийся многочлен без труда приводим к стандартному виду. Приводим подобные слагаемые:
- 5x3 и −3x3 — подобные слагаемые.
- 6x4 и −3x4 — подобные слагаемые.
- 6x4 + 3x3 − 3x4 − 3x3 = 3x4 − 2x3
- 6xx3 + 5xx2 − 3xx3 − 3x2x — многочлен четвертой степени.
Практика
Кажется, со стандартным видом многочлена все понятно. Чтобы без труда приводить любой многочлен к стандартному виду, нужно потренироваться, ведь в 7 классе только и разговоров, что о многочленах. Давайте разберем несколько примеров. Попробуйте решить их самостоятельно, сверяясь с ответами.
Задание раз. Приведите многочлен к стандартному виду и определите его степень: 4x + 6xy2 + x − xy2.
Как решаем: приведем подобные слагаемые. Для этого найдем все члены с одинаковыми буквенными составляющими:
- 4x и x — подобные слагаемые.
- 6xy2 и −xy2 — подобные слагаемые.
Получаем многочлен стандартного вида: 4x + 6xy2 + x − xy2 = 5x + 5xy2.
Ответ: стандартный вид многочлена 5x + 5xy2. Данный многочлен — многочлен второй степени.
Задание два. Приведите многочлен к стандартному виду: 2x2y3 − xy3 − x4 − x2y3 + xy3 + 2x4.
Как решаем: сначала необходимо привести все одночлены к стандартному виду: 2x2y3 − xy3 − x4 − x2y3 + xy3 + 2x4 = (−x4 + 2x4) + (2x2y3 − x2y3) + (− xy3 + xy3) = x4 + x2y3 + 0 = x4 + x2y3.
Многочлен приведен к стандартному виду.
Ответ: x4 + x2y3
Задание три. Приведите многочлен к стандартному виду и определите его степень: 8x + 8xy2 − x + xy2.
Как решаем: приведем подобные слагаемые. Для этого найдем все члены с одинаковыми буквенными составляющими:
- 8x и −x — подобные слагаемые.
- 8xy2 и xy2 — подобные слагаемые.
Получаем многочлен стандартного вида: 8x + 8xy2 − x + xy2 = 7x + 9xy2.
Ответ: стандартный вид многочлена 7x + 9xy2, данный многочлен — многочлен третьей степени.
Разобраться в многочленах не так-то просто. В этой теме немало нюансов и подводных камней. Чтобы не запутаться в множестве похожих одно на другое определений, побольше практикуйтесь. Чтобы перейти на следующую ступень и начать выполнение арифметических действий с многочленами, важно научиться приводить многочлен к стандартному виду.
