Многочлен (полином) — это алгебраическая сумма нескольких одночленов. Многочлен стандартного вида — это многочлен, в котором каждый входящий в него член записан в виде одночлена стандартного вида (числовой коэффициент стоит на первом месте, а степени одинаковых переменных перемножены) и в котором уже приведены все подобные слагаемые (нет подобных членов). Степенью многочлена стандартного вида называется наибольшая из степеней входящих в него одночленов.
- 2 шага приведения любого многочлена к стандартному виду: 1) привести каждый одночлен к стандартному виду (например,
3x · 2xy = 6x²y); 2) сложить коэффициенты всех подобных слагаемых и расположить члены по убыванию степеней. - Как определить степень многочлена стандартного вида: степень одного одночлена равна сумме показателей степеней всех его букв (например, у
5a³b²степень равна3 + 2 = 5), а степень всего многочлена — это максимальная из степеней его одночленов! - Старший коэффициент и свободный член многочлена P(x) = aₙxⁿ + ... + a₀:
aₙ— старший коэффициент (при наибольшей степени xⁿ),a₀ = P(0)— свободный член.
Правило для бланка ОГЭ и ЕГЭ: определять степень многочлена можно ТОЛЬКО ПОСЛЕ приведения его к стандартному виду! Например, в многочлене x⁵ + 3x² − x⁵ старшие члены x⁵ и −x⁵ взаимно уничтожаются, и его реальная степень равна 2, а не 5!
2. Подстановка в формулу (1) Каждый одночлен стандартный 2) Приведены все подобные!): 1) Упрощаем первый член: 4x³ − 5x + 2x³ − 7
3. Итоговый ответ: 2) Приводим подобные: 6x³ − 5x − 7 (многочлен 3-й степени!)
1. Главные формулы и правила темы «Многочлен стандартного вида»
2. Подробный теоретический разбор, свойства и наглядные схемы
Для кого эта статья:
- Студенты и школьники, изучающие алгебру
- Преподаватели математики, ищущие материалы для обучения
- Родители, помогающие детям в изучении математики
Получи больше пользы от Skysmart:
-
Прокачивай знания на курсах математики
-
Выбирай из 1200+ репетиторов по математике
Записывайся на бесплатные курсы для детей
Определение многочлена
Многочлен — это сумма одночленов. Получается, что многочлен — не что иное, как несколько одночленов, собранных «под одной крышей».
Одночлен — это произведение, состоящее из числового множителя и одной или нескольких переменных, каждая из которых взята в неотрицательной степени.
Рассмотрим примеры многочленов:
- 15x + 7x
- 4ab − b + 3
Если многочлен состоит из двух одночленов, его называют двучленом:
- 10x − 3x2
- 10x — одночлен
- −3x2 — одночлен
Многочлен — это сумма одночленов, поэтому знак «минус» относится к числовому коэффициенту одночлена. Именно поэтому мы записываем −3x2, а не просто 3x2.
Этот же многочлен можно записать вот так:
- 10x – 3x2 = 10x − 3x2 = 10x + (−3x2).
Это значит, что каждый одночлен важно рассматривать вместе со знаком, который перед ним стоит.
Многочлен вида 10x − 3x2 + 7 называется трехчленом.
Линейный двучлен — это многочлен первой степени: ax + b. a и b здесь — некоторые числа, x — переменная.
Если разделить многочлен с переменной x на линейный двучлен x − b (где b — некоторое положительное или отрицательное число) — остаток будет только многочленом нулевой степени. То есть некоторым числом N, которое можно определить без поиска частного.
Если многочлен содержит обычное число — это число является свободным членом многочлена.
- Например, в многочлене 6a + 2b − x + 2 число 2 — свободный член.
Свободный член многочлена не имеет буквенной части. Кроме того, любое числовое выражение — это многочлен. Например, вот такие числовые выражения — тоже многочлены:
- 16 + 13
- (7 − 2) ∙ 9
- (25 + 25) : 5
Такие выражения состоят из свободных членов.
Коэффициенты многочлена
Коэффициенты членов многочлена — это числа, которые указаны перед переменными множителями. Если перед переменной нет числа, то коэффициент этого члена = 1.
Иными словами — коэффициенты членов многочлена — это члены многочлена, представленные в виде стандартных одночленов.
Например:
Дан многочлен 2x + 5x − 18y
Все одночлены имеют стандартный вид. 2, 5 и 18 — коэффициенты членов данного многочлена.
Многочлен стандартного вида
Недостаточно просто знать, что такое многочлен и что такое одночлен. Это целая алгебраическая экосистема, где у всего есть названия, определения и особенности.
Давайте разберемся, что такое многочлен стандартного вида. Многочленом стандартного вида называют многочлен, каждый член которого имеет одночлен стандартного вида и не содержит подобных членов.
Получается, что всякий многочлен можно привести к стандартному виду. Таким образом можно получить многочлен, работать с которым гораздо проще и приятнее.
К стандартному виду многочлен приводится очень просто. Нужно лишь привести в нем подобные слагаемые.
Подобные слагаемые — это подобные члены многочлена. Приведение подобных слагаемых в многочлене — приведение его подобных членов. Тут же возникает резонный вопрос: Что такое подобные члены многочлена? Это члены с одинаковой буквенной частью.
Давайте разберем на примере, как «нестандартный» многочлен приводится к стандартному виду.
Дан красавец многочлен: 3x + 5xy2 + x − xy2
Приведем подобные слагаемые. Для этого найдем все члены с одинаковыми буквенными составляющими:
- 3x и x — подобные слагаемые.
- 5xy2 и −xy2 — подобные слагаемые.
Получаем многочлен вот такого вида: 3x + 5xy2 + x − xy2 = 4x + 4xy2.
Как видите, в получившемся многочлене нет подобных членов. Такой многочлен — это многочлен стандартного вида.
Онлайн-подготовка к ОГЭ по математике — отличный способ снять стресс и закрепить знания перед экзаменом.
Степень многочлена
Многочлен может иметь степень — имеет на это полное право.
Степень многочлена стандартного вида — это наибольшая из степеней, входящих в него одночленов.
Из определения можно сделать вывод, что степень многочлена возможно определить только после приведения его к стандартному виду.
- Приводим многочлен к стандартному виду.
- Выбираем одночлен с наибольшей степенью.
Рассмотрим на примере:
Дан многочлен 6x + 4xy2 + x + xy2
Сначала приводим многочлен к стандартному виду — для этого приводим подобные слагаемые:
- 6x и x — подобные слагаемые
- 4xy2 и xy2 — подобные слагаемые
Получаем многочлен стандартного вида 6x + 4xy2 + x + xy2 = 7x + 5xy2.
- Степень первого одночлена (7x) — 1.
- Степень второго одночлена (5xy2) — 3.
- Наибольшая из двух степеней — 3.
Отсюда делаем вывод, что многочлен 7x + 5xy2 — многочлен третьей степени.
Кроме того, можно сделать вывод, что и исходный многочлен 6x + 4xy2 + x + xy2 — многочлен третьей степени, поскольку оба многочлена равны друг другу.
В некоторых случаях необходимо сначала привести к стандартному виду одночлены многочлена, а затем уже и сам многочлен.
Пример:
Дан многочлен 6xx2 + 5xx2 − 3xx3 − 3x2x
Приведем его к стандартному виду: 6xx3 + 5xx2 − 3xx3 − 3x2x = 6x4 + 5x3 − 3x4 − 3x3
Получившийся многочлен без труда приводим к стандартному виду. Приводим подобные слагаемые:
- 5x3 и −3x3 — подобные слагаемые.
- 6x4 и −3x4 — подобные слагаемые.
- 6x4 + 3x3 − 3x4 − 3x3 = 3x4 − 2x3
- 6xx3 + 5xx2 − 3xx3 − 3x2x — многочлен четвертой степени.
Практика
Кажется, со стандартным видом многочлена все понятно. Чтобы без труда приводить любой многочлен к стандартному виду, нужно потренироваться, ведь в 7 классе только и разговоров, что о многочленах. Давайте разберем несколько примеров. Попробуйте решить их самостоятельно, сверяясь с ответами.
Задание раз. Приведите многочлен к стандартному виду и определите его степень: 4x + 6xy2 + x − xy2.
Как решаем: приведем подобные слагаемые. Для этого найдем все члены с одинаковыми буквенными составляющими:
- 4x и x — подобные слагаемые.
- 6xy2 и −xy2 — подобные слагаемые.
Получаем многочлен стандартного вида: 4x + 6xy2 + x − xy2 = 5x + 5xy2.
Ответ: стандартный вид многочлена 5x + 5xy2. Данный многочлен — многочлен второй степени.
Задание два. Приведите многочлен к стандартному виду: 2x2y3 − xy3 − x4 − x2y3 + xy3 + 2x4.
Как решаем: сначала необходимо привести все одночлены к стандартному виду: 2x2y3 − xy3 − x4 − x2y3 + xy3 + 2x4 = (−x4 + 2x4) + (2x2y3 − x2y3) + (− xy3 + xy3) = x4 + x2y3 + 0 = x4 + x2y3.
Многочлен приведен к стандартному виду.
Ответ: x4 + x2y3
Задание три. Приведите многочлен к стандартному виду и определите его степень: 8x + 8xy2 − x + xy2.
Как решаем: приведем подобные слагаемые. Для этого найдем все члены с одинаковыми буквенными составляющими:
- 8x и −x — подобные слагаемые.
- 8xy2 и xy2 — подобные слагаемые.
Получаем многочлен стандартного вида: 8x + 8xy2 − x + xy2 = 7x + 9xy2.
Ответ: стандартный вид многочлена 7x + 9xy2, данный многочлен — многочлен третьей степени.
Разобраться в многочленах не так-то просто. В этой теме немало нюансов и подводных камней. Чтобы не запутаться в множестве похожих одно на другое определений, побольше практикуйтесь. Чтобы перейти на следующую ступень и начать выполнение арифметических действий с многочленами, важно научиться приводить многочлен к стандартному виду.
3. Сводная таблица всех формул и свойств для контрольной, ОГЭ и ЕГЭ
| Условие / Правило | Рабочая формула и пример применения |
|---|---|
| 2 шага приведения любого многочлена к стандартному виду | 1) привести каждый одночлен к стандартному виду (например, 3x · 2xy = 6x²y); 2) сложить коэффициенты всех подобных слагаемых и расположить члены по убыванию степеней. |
| Как определить степень многочлена стандартного вида | степень одного одночлена равна сумме показателей степеней всех его букв (например, у 5a³b² степень равна 3 + 2 = 5), а степень всего многочлена — это максимальная из степеней его одночленов! |
| Старший коэффициент и свободный член многочлена P(x) = aₙxⁿ + ... + a₀ | aₙ — старший коэффициент (при наибольшей степени xⁿ), a₀ = P(0) — свободный член. |
4. Практикум: разбор реальных задач с пошаговым решением
1. Приведём каждый член к стандартному виду: 6a²b − 4a²b + 5b² − 2a²b.
2. Приведём подобные члены с буквенной частью a²b: (6 − 4 − 2)a²b = 0 (взаимно уничтожились!).
3. Остаётся одночлен 5b², степень которого равна 2.
1. Раскрываем скобки (перед второй скобкой стоит минус — все три знака внутри меняются на противоположные!): 5x² − 3x + 8 − 2x² + 7x + 4.
2. Приводим подобные по степеням x: 3x² + 4x + 12.
1. Раскрываем скобки: x³ − 2x³ + 6x + x³ − 6x + 10.
2. Приводим подобные: (1 − 2 + 1)x³ + (6 − 6)x + 10 = 10. Ответ не зависит от x и равен 10!
5. Контрольный чек-лист: частые ошибки и ловушки на экзамене
- Главное правило проверки ответа: определять степень многочлена можно ТОЛЬКО ПОСЛЕ приведения его к стандартному виду! Например, в многочлене x⁵ + 3x² − x⁵ старшие члены x⁵ и −x⁵ взаимно уничтожаются, и его реальная степень равна 2, а не 5!
- Контроль первой формулы (ДВА УСЛОВИЯ СТАНДАРТНОГО ВИДА): Записывай слагаемые по убыванию степеней: ax³ + bx² + cx + d (1) Каждый одночлен стандартный 2) Приведены все подобные!).
- Контроль второй формулы (КАК НАЙТИ СТЕПЕНЬ МНОГОЧЛЕНА): Сначала приведи подобные, и только потом определяй степень (Степень = max сумма степеней букв в одном одночлене!).
Потренироваться самостоятельно с автопроверкой ответов можно в бесплатном тренажёре ЕГЭ от Skysmart: доступны разделы по базовой математике и профильной математике.
На онлайн-курсах по математике в Skysmart преподаватели разбирают каждый прототип ФИПИ на интерактивной доске и помогают довести решение задач первой и второй части до полного автоматизма.
6. Часто задаваемые вопросы (FAQ)
Какая главная формула в теме «Многочлен стандартного вида»?
Базовое соотношение темы: 1) Каждый одночлен стандартный 2) Приведены все подобные!, а также вторая ключевая формула: Степень = max сумма степеней букв в одном одночлене!. Подробный пример расчёта: Привести к стандартному виду и найти степень: 4x·x² − 5x + 2x³ − 7 ➔ 1) Упрощаем первый член: 4x³ − 5x + 2x³ − 7 ➔ 2) Приводим подобные: 6x³ − 5x − 7 (многочлен 3-й степени!).
На какой ловушке чаще всего теряют баллы на контрольной, ОГЭ и ЕГЭ?
Главное правило для бланка ответов: определять степень многочлена можно ТОЛЬКО ПОСЛЕ приведения его к стандартному виду! Например, в многочлене x⁵ + 3x² − x⁵ старшие члены x⁵ и −x⁵ взаимно уничтожаются, и его реальная степень равна 2, а не 5!
Где скачать шпаргалку со всеми формулами для печати?
В первом экране статьи доступна бесплатная PDF-шпаргалка формата А4 со всеми формулами и алгоритмами темы «Многочлен стандартного вида».
