Многочлен стандартного вида

Определение многочлена

Многочлен — это сумма одночленов. Получается, что многочлен — не что иное, как несколько одночленов, собранных «под одной крышей».

Одночлен — это произведение, состоящее из числового множителя и одной или нескольких переменных, каждая из которых взята в неотрицательной степени.

Рассмотрим примеры многочленов:

• 15x + 7x
• 4ab − b + 3

Если многочлен состоит из двух одночленов, его называют двучленом:

• 10x − 3x²
• 10x — одночлен
• −3x² — одночлен

Многочлен — это сумма одночленов, поэтому знак «минус» относится к числовому коэффициенту одночлена. Именно поэтому мы записываем −3x², а не просто 3x².

Этот же многочлен можно записать вот так:

• 10x – 3x² = 10x − 3x² = 10x + (−3x²).

Это значит, что каждый одночлен важно рассматривать вместе со знаком, который перед ним стоит.

Многочлен вида 10x − 3x² + 7 называется трехчленом.

Линейный двучлен — это многочлен первой степени: ax + b. a и b здесь — некоторые числа, x — переменная.

Если разделить многочлен с переменной x на линейный двучлен x − b (где b — некоторое положительное или отрицательное число) — остаток будет только многочленом нулевой степени. То есть некоторым числом N, которое можно определить без поиска частного.

Если многочлен содержит обычное число — это число является свободным членом многочлена.

• Например, в многочлене 6a + 2b − x + 2 число 2 — свободный член.

Свободный член многочлена не имеет буквенной части. Кроме того, любое числовое выражение — это многочлен. Например, вот такие числовые выражения — тоже многочлены:

• 16 + 13
• (7 − 2) ∙ 9
• (25 + 25) : 5

Такие выражения состоят из свободных членов.

Коэффициенты многочлена

Коэффициенты членов многочлена — это числа, которые указаны перед переменными множителями. Если перед переменной нет числа, то коэффициент этого члена = 1.

Иными словами — коэффициенты членов многочлена — это члены многочлена, представленные в виде стандартных одночленов.

Например:

Дан многочлен 2x + 5x − 18y

Все одночлены имеют стандартный вид. 2, 5 и 18 — коэффициенты членов данного многочлена.

Многочлен стандартного вида

Недостаточно просто знать, что такое многочлен и что такое одночлен. Это целая алгебраическая экосистема, где у всего есть названия, определения и особенности.

Давайте разберемся, что такое многочлен стандартного вида. Многочленом стандартного вида называют многочлен, каждый член которого имеет одночлен стандартного вида и не содержит подобных членов.

Получается, что всякий многочлен можно привести к стандартному виду. Таким образом можно получить многочлен, работать с которым гораздо проще и приятнее.

К стандартному виду многочлен приводится очень просто. Нужно лишь привести в нем подобные слагаемые.

Подобные слагаемые — это подобные члены многочлена. Приведение подобных слагаемых в многочлене — приведение его подобных членов. Тут же возникает резонный вопрос: Что такое подобные члены многочлена? Это члены с одинаковой буквенной частью.

Давайте разберем на примере, как «нестандартный» многочлен приводится к стандартному виду.

Дан красавец многочлен: 3x + 5xy² + x − xy²

Приведем подобные слагаемые. Для этого найдем все члены с одинаковыми буквенными составляющими:

• 3x и x — подобные слагаемые.
• 5xy² и −xy² — подобные слагаемые.

Получаем многочлен вот такого вида: 3x + 5xy² + x − xy² = 4x + 4xy².

Как видите, в получившемся многочлене нет подобных членов. Такой многочлен — это многочлен стандартного вида.

Онлайн-подготовка к ОГЭ по математике — отличный способ снять стресс и закрепить знания перед экзаменом.

Степень многочлена

Многочлен может иметь степень — имеет на это полное право.

Степень многочлена стандартного вида — это наибольшая из степеней, входящих в него одночленов.

Из определения можно сделать вывод, что степень многочлена возможно определить только после приведения его к стандартному виду.

1. Приводим многочлен к стандартному виду.
2. Выбираем одночлен с наибольшей степенью.

Рассмотрим на примере:

Дан многочлен 6x + 4xy² + x + xy²

Сначала приводим многочлен к стандартному виду — для этого приводим подобные слагаемые:

• 6x и x — подобные слагаемые
• 4xy² и xy² — подобные слагаемые

Получаем многочлен стандартного вида 6x + 4xy² + x + xy² = 7x + 5xy².

• Степень первого одночлена (7x) — 1.
• Степень второго одночлена (5xy²) — 3.
• Наибольшая из двух степеней — 3.

Отсюда делаем вывод, что многочлен 7x + 5xy² — многочлен третьей степени.

Кроме того, можно сделать вывод, что и исходный многочлен 6x + 4xy² + x + xy² — многочлен третьей степени, поскольку оба многочлена равны друг другу.

В некоторых случаях необходимо сначала привести к стандартному виду одночлены многочлена, а затем уже и сам многочлен.

Пример:

Дан многочлен 6xx² + 5xx² − 3xx³ − 3x²x

Приведем его к стандартному виду: 6xx³ + 5xx² − 3xx³ − 3x²x = 6x⁴ + 5x³ − 3x⁴ − 3x³

Получившийся многочлен без труда приводим к стандартному виду. Приводим подобные слагаемые:

• 5x³ и −3x³ — подобные слагаемые.
• 6x⁴ и −3x⁴ — подобные слагаемые.
• 6x⁴ + 3x³ − 3x⁴ − 3x³ = 3x⁴ − 2x³
• 6xx³ + 5xx² − 3xx³ − 3x²x — многочлен четвертой степени.

Практика

Кажется, со стандартным видом многочлена все понятно. Чтобы без труда приводить любой многочлен к стандартному виду, нужно потренироваться, ведь в 7 классе только и разговоров, что о многочленах. Давайте разберем несколько примеров. Попробуйте решить их самостоятельно, сверяясь с ответами.

Задание раз. Приведите многочлен к стандартному виду и определите его степень: 4x + 6xy² + x − xy².

Как решаем: приведем подобные слагаемые. Для этого найдем все члены с одинаковыми буквенными составляющими:

• 4x и x — подобные слагаемые.
• 6xy² и −xy² — подобные слагаемые.

Получаем многочлен стандартного вида: 4x + 6xy² + x − xy² = 5x + 5xy².

Ответ: стандартный вид многочлена 5x + 5xy². Данный многочлен — многочлен второй степени.

Задание два. Приведите многочлен к стандартному виду: 2x²y³ − xy³ − x⁴ − x²y³ + xy³ + 2x⁴.

Как решаем: сначала необходимо привести все одночлены к стандартному виду: 2x²y³ − xy³ − x⁴ − x²y³ + xy³ + 2x⁴ = (−x⁴ + 2x⁴) + (2x²y³ − x²y³) + (− xy³ + xy³) = x⁴ + x²y³ + 0 = x⁴ + x²y³.

Многочлен приведен к стандартному виду.

Ответ: x⁴ + x²y³

Задание три. Приведите многочлен к стандартному виду и определите его степень: 8x + 8xy² − x + xy².

Как решаем: приведем подобные слагаемые. Для этого найдем все члены с одинаковыми буквенными составляющими:

• 8x и −x — подобные слагаемые.
• 8xy² и xy² — подобные слагаемые.

Получаем многочлен стандартного вида: 8x + 8xy² − x + xy² = 7x + 9xy².

Ответ: стандартный вид многочлена 7x + 9xy², данный многочлен — многочлен третьей степени.

Разобраться в многочленах не так-то просто. В этой теме немало нюансов и подводных камней. Чтобы не запутаться в множестве похожих одно на другое определений, побольше практикуйтесь. Чтобы перейти на следующую ступень и начать выполнение арифметических действий с многочленами, важно научиться приводить многочлен к стандартному виду.