Решение линейных неравенств

Тема линейных неравенств непростая, но без нее не получится решать сложные математические задачки. Давайте рассмотрим линейные неравенства и попробуем с ними подружиться.
  • Автор

    Лидия Казанцева

  • Дата публикации

    31.07.2020

  • Просмотры

    2367

Основные понятия

Алгебра не всем дается легко с первого раза. Чтобы не запутаться во всех темах и правилах, важно изучать темы последовательно и по чуть-чуть. Сегодня узнаем, как решать линейные неравенства.

Неравенство — это алгебраическое выражение, в котором используются знаки ≠, <, >, ≤, ≥.

Линейные неравенства — это неравенства вида:

  • ax + b < 0,
  • ax + b > 0,
  • ax + b ≥ 0,
  • ax + b ≤ 0,

где a и b — любые числа, a ≠ 0, x — неизвестная переменная. Как решаются неравенства рассмотрим далее в статье. 

Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.

Решить неравенство значит сделать так, чтобы в левой части осталось только неизвестное в первой степени с коэффициентом равном единице.

Типы неравенств

  1. Строгие — используют только больше (>) или меньше (<):
  • a < b — это значит, что a меньше, чем b.
  • a > b — это значит, что a больше, чем b.
  • a > b и b < a означают одно и тоже, то есть равносильны.
  1. Нестрогие — используют сравнения ≥ (больше или равно) или ≤ (меньше или равно):
  • a ≤ b — это значит, что a меньше либо равно b.
  • a ≥ b — это значит, что a больше либо равно b.
  • знаки ⩽ и ⩾ являются противоположными.
  1. Другие типы:
  • a ≠ b — означает, что a не равно b.
  • a ≫ b — означает, что a намного больше, чем b.
  • a ≪ b — означает, что a намного меньше, чем b.
  • знаки >> и << противоположны.

Линейные неравенства: свойства и правила

Вспомним свойства числовых неравенств:

  1. Если а > b , то b < а. Также наоборот: а < b, то b > а.
  2. Если а > b и b > c, то а > c. И также если а < b и b < c, то а < c.
  3. Если а > b, то а + c > b+ c (и а – c > b – c).

Если же а < b, то а + c < b + c (и а – c < b – c). К обеим частям можно прибавлять или вычитать одну и ту же величину.

  1. Если а > b и c > d, то а + c > b + d.

Если а < b и c < d, то а + c < b + d.

Два неравенства одинакового смысла можно почленно складывать. Но важно перепроверять из-за возможных исключений. Например, если из 12 > 8 почленно вычесть 3 > 2, получим верный ответ 9 > 6. Если из 12 > 8 почленно вычесть 7 > 2, то полученное будет неверным.

  1. Если а > b и c < d, то а – c > b – d.

Если а < b и c > d, то а – c < b – d.

Из одного неравенства можно почленно вычесть другое противоположного смысла, оставляя знак того, из которого вычиталось.

  1. Если а > b, m — положительное число, то mа > mb и 

Обе части можно умножить или разделить на одно положительное число (знак при этом остаётся тем же).

Если же а > b, n — отрицательное число, то nа < nb и 

Обе части можно умножить или разделить на одно отрицательное число, при этом знак поменять на противоположный.

  1. Если а > b и c > d, где а, b, c, d > 0, то аc > bd.

Если а < b и c < d, где а, b, c, d > 0, то аc < bd.

Неравенства одного смысла на множестве положительных чисел можно почленно перемножать.

Следствие данного правила или квадратный пример: если а > b, где а, b > 0, то а2 > b2, и если а < b, то а2 < b2. На множестве положительных чисел обе части можно возвести в квадрат.

  1. Если а > b, где а, b > 0, то 

Если а < b , то 

Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое трансформирует его в верное числовое неравенство.

Важно знать
Два неравенства можно назвать равносильными, если у них одинаковые решения.

Чтобы упростить процесс нахождения корней неравенства, нужно провести равносильные преобразования — то заменить данное неравенство более простым. При этом все решения должны быть сохранены без возникновения посторонних корней.

Свойства выше помогут нам использовать следующие правила.

Правила линейных неравенств

  1. Любой член можно перенести из одной части в другую с противоположным знаком. Знак неравенства при этом не меняется.
  • 2x − 3 > 6 ⇒ 2x > 6 + 3 ⇒ 2x > 9.
  1. Обе части можно умножить или разделить на одно положительное число. Знак неравенства при этом не меняется.
  • Умножим обе части на пять 2x > 9 ⇒ 10x > 45.
  1. Обе части можно умножить или разделить на одно отрицательное число. Знак неравенства при этом меняется на противоположный.
  • Разделим обе части на минус два 2x > 9 ⇒ 2x : –2 > 9 : -2 ⇒ x < 4,5.

Решение линейных неравенств

Со школьных уроков мы помним, что у неравенств нет ярко выраженных различий, поэтому рассмотрим несколько определений.

Определение 1. Линейное неравенство с неизвестной переменной x имеет вид ax + b > 0, когда вместо > используется любой знак < , ≤ , ≥ , а и b — действительные числа, a ≠ 0.

Определение 2. Неравенства называют линейными с одной переменной, когда ax < c или ax > c , где x — переменная, a, c — некоторые числа.

Мы не знаем может ли коэффициент равняться нулю, поэтому: 0 * x > c и 0 * x < c можно записать в форме нестрогого неравенства: ax ≤ c, ax ≥ c . Такое уравнение принято называть линейным. Его главные различия:

  • форма записи ax + b > 0 — в первом и ax > c — во втором;
  • допустимость равенства нулю: a ≠ 0 — в первом, a = 0 — во втором.

Неравенства ax + b > 0 и ax > c равносильные, так как получены переносом слагаемого из одной части в другую.

Определение 3. Линейные неравенства с одной переменной x выглядят так:

  • ax + b < 0,
  • ax + b > 0,
  • ax + b ≤ 0,
  • ax + b ≥ 0,

где a и b — действительные числа. А на месте x может быть обычное число.

Равносильные преобразования

Для решения ax + b < 0 (≤, >, ≥) нужно применить равносильные преобразования неравенства. Рассмотрим два случая: когда коэффициент равен и не равен нулю.

Алгоритм решения ax + b < 0 при a ≠ 0

  • перенесем число b в правую часть с противоположным знаком,
  • получим равносильное: ax < −b;
  • произведем деление обеих частей на число не равное нулю.

Когда a положительное, то знак остается, если a — отрицательное, знак меняется на противоположный.

Рассмотрим пример: 4x + 16 ≤ 0.

Как решаем: В данном случае a = 4 и b = 16, то есть коэффициент при x не равен нулю. Применим вышеописанный алгоритм.

  • Перенесем слагаемое 16 в другую часть с измененным знаком: 4x ≤ −16.
  • Произведем деление обеих частей на 4. Меняем знак, так как 4 — положительное число: 4x : 4 ≤ −16 : 4 ⇒ x ≤ −4. 
  • Неравенство x ≤ −4 является равносильным. То есть решением является любое действительное число, которое меньше или равно 4.

Ответ: x ≤ −4 или числовой промежуток (−∞, −4].

При решении ax + b < 0, когда а = 0, получается 0 * x + b < 0. На рассмотрение берется b < 0, после выясняется верное оно или нет.

Вернемся к определению решения неравенства. При любом значении x мы получаем числовое неравенство вида b < 0. При подстановке любого t вместо x, получаем 0 * t + b < 0 , где b < 0. Если оно верно, то для решения подойдет любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда данное уравнение не имеет решений, так как нет ни одного значения переменной, которое может привести к верному числовому равенству.

Числовое неравенство вида b < 0 (≤, > , ≥) является верным, когда исходное имеет решение при любом значении. Неверно тогда, когда исходное не имеет решений.

Рассмотрим пример: 0 * x + 5 > 0.

Как решаем:

  • Данное неравенство 0 * x + 5 > 0 может принимать любое значение x.
  • Получается верное числовое неравенство 5 > 0. Значит его решением может быть любое число.

Ответ: промежуток (− ∞ , + ∞).

Метод интервалов

Метод интервалов можно применять для линейных неравенств, когда значение коэффициента x не равно нулю.

Метод интервалов это:

  • введение функции y = ax + b;
  • поиск нулей для разбиения области определения на промежутки;
  • отметить полученные корни на координатной прямой;
  • определение знаков и отмечание их на интервалах.

Алгоритм решения ax + b < 0 (≤, >, ≥) при a ≠ 0 с использованием метода интервалов:

  • найдем нули функции y = ax + b для решения уравнения ax + b = 0.

Если a ≠ 0, тогда решением будет единственный корень — х₀;

  • начертим координатную прямую с изображением точки с координатой х₀, при строгом неравенстве точку рисуем выколотой, при нестрогом — закрашенной;
  • определим знаки функции y = ax + b на промежутках.

Для этого найдем значения функции в точках на промежутке;

  • если решение неравенства со знаками > или ≥ — добавляем штриховку над положительным промежутком на координатной прямой, если < или ≤ н — над отрицательным промежутком.

Рассмотрим пример: −3x + 12 > 0.

Как решаем:

  1. В соответствии с алгоритмом, сначала найдем корень уравнения − 6x + 12 = 0,

−6x = −12,

x = 2.

Изобразим координатную прямую с отмеченной выколотой точкой, так как неравенство является строгим.

  1. Определим знаки на промежутках.

Чтобы определить на промежутке (−∞, 2), необходимо вычислить функцию y = −6x + 12 при х = 1. Получается, что −6 * 1 + 12 = 6, 6 > 0. Знак на промежутке является положительным.

Определяем знак на промежутке (2, + ∞) , тогда подставляем значение х = 3. Получится, что −6 * 3 + 12 = − 6, − 6 < 0 . Знак на промежутке является отрицательным. 

  1. Выполним решение со знаком >. Штриховку сделаем над положительным промежутком.

По чертежу делаем вывод, что решение имеет вид (−∞, 4) или x < 4.

Ответ: (−∞, 4) или x < 4.

Графический способ

Смысл графического решения неравенств заключается в том, чтобы найти промежутки, которые необходимо изобразить на графике.

Алгоритм решения y = ax + b графическим способом

  • во время решения ax + b < 0 определить промежуток, где график изображен ниже оси Ох;
  • во время решения ax + b ≤ 0 определить промежуток, где график изображается ниже Ох или совпадает с осью;
  • во время решения ax + b > 0 произвести определение промежутка, где график изображается выше Ох;
  • во время решения ax + b ≥ 0 определить промежуток, где график находится выше оси Ох или совпадает.

Рассмотрим пример: −5 * x − √3 > 0.

Как решаем

  • Так как коэффициент при x отрицательный, данная прямая является убывающей.
  • Координаты точки пересечения с Ох равны −√3 : 5.
  • Неравенство имеет знак >, значит нужно обратить внимание на промежуток выше оси Ох.
  • Поэтому открытый числовой луч (−∞, −√3 : 5) будет решением.

Ответ: (−∞, −√3 : 5) или x < −√3 : 5.

Линейные неравенства в 8 классе — это маленький кирпич, который будет заложен в целый фундамент знаний. Мы верим, что у все получится!

Чтобы ребенок чувствовал себя увереннее на сложных контрольных и улучшил оценки в школе, запишите его на уроки математики в Skysmart. Вместо скучных параграфов ребенка ждут интерактивные упражнения с мгновенной автоматической проверкой и онлайн-доска, где можно рисовать и чертить вместе с преподавателем.

 
Бесплатный вводный урок
Шаг 1 из 2. Данные ученика
Класс
Цель обучения
Поделиться: