Метод интервалов (алгебра 8–11 класс, ОГЭ №13, №20 и ЕГЭ Профиль №15) — это универсальный алгоритм решения рациональных и дробно-рациональных неравенств вида P(x) / Q(x) ≶ 0, основанный на том, что непрерывная функция может поменять свой знак («+» на «−» или наоборот) только при переходе через свои нули (корни числителя) и точки разрыва (корни знаменателя)!
- Пошаговый алгоритм метода интервалов (4 шага): 1) перенести всё влево к виду
f(x) ≶ 0и разложить числитель и знаменатель на линейные множители(x − xₖ); 2) отметить на оси Ox корни числителя и знаменателя (корни знаменателя ВСЕГДА выколоты!); 3) определить знак на крайнем правом интервале; 4) расставить знаки справа налево и заштриховать нужные интервалы. - Главное правило чередования знаков (чётная vs нечётная степень скобки!): при переходе через корень НЕЧЁТНОЙ кратности (например,
(x − 2)или(x − 2)³) знак на соседнем интервале МЕНЯЕТСЯ; при переходе через корень ЧЁТНОЙ кратности (например,(x − 3)²или(x − 3)⁴) знак НЕ МЕНЯЕТСЯ («петелька»)! - Быстрый знак крайнего правого интервала: если во всех скобках икс стоит на первом месте со знаком плюс
(x − a), то самый правый интервал всегда имеет знак «+»!
Правило для бланка ОГЭ и ЕГЭ: две самые дорогие ошибки в Задании №15 Профильного ЕГЭ при нестрогом неравенстве (≤ 0 или ≥ 0): 1) забыть ВЫКОЛОТЬ точки знаменателя; 2) забыть включить в ответ отдельную закрашенную изолированную точку чётной кратности (например, в (x − 2)²(x − 5) ≤ 0 решением является луч (−∞; 5], а в (x − 7)²(x − 5) ≤ 0 — луч (−∞; 5] И изолированная точка {7})!
2. Подстановка в формулу (P(x) / Q(x) ≤ 0 ⇒ Корни знаменателя Q(x) ВСЕГДА выколоты!): Отмечаем закрашенные точки −4 и 2; знаки справа налево: + , − , +
3. Итоговый ответ: Нам нужен знак «−» (≤ 0) ⇒ выбираем средний отрезок [−4; 2]
1. Главные формулы и правила темы «Метод интервалов, решение неравенств»
2. Подробный теоретический разбор, свойства и наглядные схемы
Для кого эта статья:
- Студенты и школьники, готовящиеся к экзаменам по математике
- Преподаватели математики, ищущие методы объяснения неравенств
- Самоучки, заинтересованные в углублённом изучении алгебры и неравенств
Получи больше пользы от Skysmart:
-
Подготовься к ОГЭ на пятёрку
-
Подготовься к ЕГЭ на высокие баллы
Записывайся на бесплатные курсы для детей
Решай задания в бесплатном тренажёре ЕГЭ
Определение квадратного неравенства
Неравенство — алгебраическое выражение, в котором используются знаки ≠, <, >, ≤, ≥.
Числовое неравенство — это такое неравенство, в записи которого по обе стороны от знака находятся числа или числовые выражения.
Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.
Решить неравенство значит найти множество, для которых оно выполняется.
Квадратное неравенство выглядит так:
где x — переменная,
a, b, c — числа,
при этом а ≠ 0.
Квадратное неравенство можно решить двумя способами:
- графический метод;
- метод интервалов.
Решение неравенства графическим методом
При решении квадратного неравенства необходимо найти корни соответствующего квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0. Чтобы найти корни, нужно найти дискриминант данного уравнения.
Как дискриминант влияет на корни уравнения:
- D = 0. Если дискриминант равен нулю, тогда у квадратного уравнения есть один корень;
- D > 0. Если дискриминант больше нуля, тогда у квадратного уравнения есть два различных корня;
- D < 0. Если дискриминант меньше нуля, тогда у квадратного уравнения нет корней.
В зависимости от полученных корней и знака коэффициента a, возможно одно из шести расположений графика функции у = ax2 + bx + c.
Если требуется найти числовой промежуток, на котором квадратный трехчлен ax2 + bx + c больше нуля, то этот числовой промежуток находится там, где парабола лежит выше оси ОХ.
Если нужно найти числовой промежуток, на котором квадратный трехчлен ax2 + bx + c меньше нуля — это числовой промежуток, где парабола лежит ниже оси ОХ.
Если квадратное неравенство нестрогое, то корни входят в числовой промежуток. А если строгое — не входят.
Обучение на курсах по математике в онлайн-курсах Skysmart сделает сложные темы понятными, а высокий балл на экзаменах — достижимым!
Решение неравенства методом интервалов
Метод интервалов — это специальный алгоритм, который предназначен для решения рациональных неравенств.
Рациональное неравенство имеет вид f(x) ≤ 0, где f(x) — рациональная функция. При этом знак может быть любым: >, <, ≤, ≥.
Сейчас мы узнаем про интервалы в контексте решения квадратных неравенств.
Интервал — это некий промежуток числовой прямой, то есть все возможные числа, заключенные между двумя числами — концами интервала. Представить эти промежутки не так просто, поэтому интервалы принято рисовать.
Алгоритм решения квадратных неравенств методом интервалов:
- Найти нули квадратного трехчлена ax2 + bx + c из левой части квадратного неравенства.
- Изобразить координатную прямую и при наличии корней отметить их на ней.
Если неравенство строгое, нужно отметить корни пустыми (выколотыми) точками. Если нестрогое — обычными точками. Именно эти точки разбивают координатную ось на промежутки.
- Определить, какие знаки имеют значения трехчлена на каждом промежутке (если на первом шаге нашли нули) или на всей числовой прямой (если нулей нет). И проставить над этими промежутками + или − в соответствии с определенными знаками.
- Если квадратное неравенство со знаком > или ≥ — наносим штриховку над промежутками со знаками +.
Если неравенство со знаком < или ≤, то наносим штриховку над промежутками со знаком −.
В результате получаем геометрический образ некоторого числового множества — это и есть решение неравенства.
Либо вместо штриховки можно нарисовать «арки» для интервалов. Справа налево, начиная с +, проставить чередуя знаки + и −.
- Выбрать необходимые интервалы и записать ответ.
Расскажем подробнее про третий шаг алгоритма. Существует несколько подходов для определения знаков на промежутках.
Для примера возьмем трехчлен x2 + 4x - 5, его корнями являются числа -5 и 1, они разбивают числовую ось на три промежутка: (-∞, -5), (-5, 1) и (1, +∞).
Определим знак трехчлена x2 + 4x - 5 на промежутке (1, +∞). Для этого вычислим значение данного трехчлена при некотором значении x из этого промежутка. Можно брать любое значение переменной, главное — чтобы вычисления были простыми. В нашем случае, возьмем x = 2. Подставим его в трехчлен вместо переменной x:
- 22 + 4 * 2 - 5 = 4 + 8 - 5 = 7.
7 — положительное число. Это значит, что любое значение квадратного трехчлена на интервале (1, +∞) будет положительным. Так мы определили знак плюс.
Определим знаки на оставшихся двух промежутках. Начнем с интервала (-5, 1). Из этого интервала можем взять x = 0 и вычислить значение квадратного трехчлена при этом значении переменной:
- 02 + 4 * 0 - 5 = 0 + 0 - 5 = -5.
Так как -5 — отрицательное число, то на этом интервале все значения трехчлена будут отрицательными. Так мы определили знак минус.
Осталось определиться со знаком на промежутке (-∞, -5). Возьмем x = -6, подставляем:
- (-6)2 + 4 * (-6) - 5 = 36 - 24 - 5 = 7.
Следовательно, искомый знак — плюс.
Можно расставить знаки быстрее, если запомнить эти факты:
Плюс или минус: как определить знаки
Можно сделать вывод о знаках по значению старшего коэффициента a:
если a > 0, последовательность знаков: +, −, +,
если a < 0, последовательность знаков: −, +, −.
Можно также сделать вывод о знаках по значению старшего коэффициента a:
если a > 0, последовательность знаков: +, +,
если a < 0, последовательность знаков: −, −.
Например -4x2 - 7 не имеет корней и на промежутке (−∞, +∞) его значения отрицательны, так как коэффициент при x2 есть отрицательное число -4, и свободный член -7 тоже отрицателен.
- Когда квадратный трехчлен при D > 0 имеет два корня, то знаки его значений на промежутках чередуются. Это значит, что достаточно определить знак на одном из трех промежутков и расставить знаки над оставшимися промежутками, чередуя их. В результате возможна одна из двух последовательностей: +, −, + или −, +, −.
- Если квадратный трехчлен при D = 0 имеет один корень, то этот корень разбивает числовую ось на два промежутка, а знаки над ними будут одинаковыми. Это значит, что достаточно определить знак над одним из них и над другим поставить такой же. При этом получится, либо +, +, либо −, −.
- Когда квадратный трехчлен корней не имеет (D < 0), то знаки его значений на всей числовой прямой совпадают как со знаком старшего коэффициента a, так и со знаком свободного члена c.
Теперь мы знаем пошаговый алгоритм. Чтобы закрепить материал потренируемся на примерах и научимся использовать метод интервалов для квадратных неравенств.
Пример 1. Решить неравенство методом интервалов: x^2 - 5x + 6 ≥ 0.
Как решаем:
-
Приравняем квадратный трехчлен к 0 и найдем нули: x2 - 5x + 6 = 0 (x - 3) (x -2) = 0 x - 3 = 0 x - 2 = 0 x = 3 x = 2
-
Отметим полученные значения на числовой прямой:
-
Расставим знаки на полученных промежутках:
Ответ: х ≤ 2, х ≥ 3.
Пример 2. Применить метод интервалов для решения неравенства x² + 4x + 3 < 0.
Как решаем:
-
Представим левую часть неравенства в виде произведения множителей. Найдем корни соответствующего уравнения x² + 4x + 3 = 0:
a = 1, b = 4, c = 3
D = b² − 4ac = 16 − 12 = 4
x₁ = (−b + √D)/2a = (−4 + 2)/2 = −1
x₂ = (−b − √D)/2a = (−4 − 2)/2 = −3Тогда x² + 4x + 3 = (x + 1) (x + 3)
-
Отметим на числовой прямой корни x₁ = −3 и x₂ = −1. Они разбивают числовую прямую на три интервала: (−∞; −3), (−3; −1), (−1; +∞).
-
Определим знак выражения (x + 1) (x + 3) на каждом интервале.
-
Интервал (-∞; -3):
Если x < −3, то x + 3 < 0 и x + 1 < 0
Значит, произведение (x + 1) (x + 3) > 0 (произведение двух отрицательных чисел положительно)
-
Интервал (−3; −1):
Если −3 < x < −1, то x + 3 > 0 и x + 1 < 0
Значит, произведение (x + 1) (x + 3) > 0 (произведение чисел с разными знаками отрицательно)
-
Интервал (−1; +∞):
Если x > −1, то x + 3 > 0 и x + 1 > 0
Значит, произведение (x + 1) (x + 3) > 0 (произведение двух положительных чисел положительно)
-
- Так как нам нужно решить неравенство x² + 4x + 3 < 0, нас интересуют те интервалы, где выражение отрицательно. Это интервал (−3; −1).
Ответ: (−3; −1).
Пример 3. Выполнить решение квадратного неравенства методом интервалов:
Как решаем:
- Находим корни квадратного трехчлена, который находится в левой части:
- Так как мы решаем строгое неравенство, то на координатной прямой изображаем выколотую точку с координатой 7:
- Теперь определим знаки на двух полученных промежутках (−∞, 7) и (7, +∞).
Это легко сделать, потому что дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, а старший коэффициент со знаком минус. Фиксируем знаки: −, −:
- Так как мы решаем неравенство со знаком <, то изобразим штриховку над интервалами со знаками минус:
Очевидно, решениями являются оба промежутка (−∞, 7), (7, +∞).
Ответ: (−∞, 7), (7, +∞).
3. Сводная таблица всех формул и свойств для контрольной, ОГЭ и ЕГЭ
| Условие / Правило | Рабочая формула и пример применения |
|---|---|
| Пошаговый алгоритм метода интервалов (4 шага) | 1) перенести всё влево к виду f(x) ≶ 0 и разложить числитель и знаменатель на линейные множители (x − xₖ); 2) отметить на оси Ox корни числителя и знаменателя (корни знаменателя ВСЕГДА выколоты!); 3) определить знак на крайнем правом интервале; 4) расставить знаки справа налево и заштриховать нужные интервалы. |
| Главное правило чередования знаков (чётная vs нечётная степень скобки!) | при переходе через корень НЕЧЁТНОЙ кратности (например, (x − 2) или (x − 2)³) знак на соседнем интервале МЕНЯЕТСЯ; при переходе через корень ЧЁТНОЙ кратности (например, (x − 3)² или (x − 3)⁴) знак НЕ МЕНЯЕТСЯ («петелька»)! |
| Быстрый знак крайнего правого интервала | если во всех скобках икс стоит на первом месте со знаком плюс (x − a), то самый правый интервал всегда имеет знак «+»! |
4. Практикум: разбор реальных задач с пошаговым решением
1. Находим корни квадратного трёхчлена по теореме Виета: x₁ = −2 и x₂ = 5. Раскладываем: (x + 2)(x − 5) > 0.
2. Отмечаем выколотые точки −2 и 5 на оси Ox и расставляем знаки справа налево: + , − , +.
3. Выбираем интервалы со знаком «+»: (−∞; −2) ∪ (5; +∞).
1. Отмечаем закрашенные точки 1 и 4. Справа от 4 знак «+».
2. Точка x = 4 имеет чётную степень 2 ⇒ при переходе через 4 знак НЕ меняется (на интервале (1; 4) тоже знак «+», но сама точка x = 4 даёт 0 ≤ 0 и входит в ответ!).
3. При переходе через 1 знак меняется на «−». Итоговое решение: (−∞; 1] ∪ {4}. Наибольшее целое решение равно 4!
1. В первой скобке перед x стоит минус! Умножим обе части неравенства на (−1), чтобы развернуть скобку в стандартный вид (x − 3), при этом знак ≥ меняется на ≤:
2. (x − 3)(x + 5) ≤ 0.
3. По методу интервалов (+ , − , +) выбираем отрезок между корнями: [−5; 3].
5. Контрольный чек-лист: частые ошибки и ловушки на экзамене
- Главное правило проверки ответа: две самые дорогие ошибки в Задании №15 Профильного ЕГЭ при нестрогом неравенстве (≤ 0 или ≥ 0): 1) забыть ВЫКОЛОТЬ точки знаменателя; 2) забыть включить в ответ отдельную закрашенную изолированную точку чётной кратности (например, в (x − 2)²(x − 5) ≤ 0 решением является луч (−∞; 5], а в (x − 7)²(x − 5) ≤ 0 — луч (−∞; 5] И изолированная точка {7})!
- Контроль первой формулы (ПРАВИЛО ЗНАКОВ И СКОБОК ЗНАМЕНАТЕЛЯ): Приведи скобки к виду (x − a), тогда справа всегда знак «+»! (P(x) / Q(x) ≤ 0 ⇒ Корни знаменателя Q(x) ВСЕГДА выколоты!).
- Контроль второй формулы (ЧЁТНАЯ КРАТНОСТЬ (СКОБКА В КВАДРАТЕ)): При нестрогом знаке (≤ 0) проверь саму точку x = a! (Через (x − a)² знак НЕ меняется! (+ ➔ +)).
Потренироваться самостоятельно с автопроверкой ответов можно в бесплатном тренажёре ЕГЭ от Skysmart: доступны разделы по базовой математике и профильной математике.
На онлайн-курсах по математике в Skysmart преподаватели разбирают каждый прототип ФИПИ на интерактивной доске и помогают довести решение задач первой и второй части до полного автоматизма.
6. Часто задаваемые вопросы (FAQ)
Какая главная формула в теме «Метод интервалов, решение неравенств»?
Базовое соотношение темы: P(x) / Q(x) ≤ 0 ⇒ Корни знаменателя Q(x) ВСЕГДА выколоты!, а также вторая ключевая формула: Через (x − a)² знак НЕ меняется! (+ ➔ +). Подробный пример расчёта: Решить неравенство (ОГЭ №13): (x + 4)(x − 2) ≤ 0 ➔ Отмечаем закрашенные точки −4 и 2; знаки справа налево: + , − , + ➔ Нам нужен знак «−» (≤ 0) ⇒ выбираем средний отрезок [−4; 2].
На какой ловушке чаще всего теряют баллы на контрольной, ОГЭ и ЕГЭ?
Главное правило для бланка ответов: две самые дорогие ошибки в Задании №15 Профильного ЕГЭ при нестрогом неравенстве (≤ 0 или ≥ 0): 1) забыть ВЫКОЛОТЬ точки знаменателя; 2) забыть включить в ответ отдельную закрашенную изолированную точку чётной кратности (например, в (x − 2)²(x − 5) ≤ 0 решением является луч (−∞; 5], а в (x − 7)²(x − 5) ≤ 0 — луч (−∞; 5] И изолированная точка {7})!
Где скачать шпаргалку со всеми формулами для печати?
В первом экране статьи доступна бесплатная PDF-шпаргалка формата А4 со всеми формулами и алгоритмами темы «Метод интервалов, решение неравенств».
