Метод интервалов, решение неравенств

Если вы спросите, какой способ решения неравенств самый универсальный, мы ответим — метод интервала. Особенно эффективно его использовать для квадратных неравенств с одной переменной. В этой статье расскажем подробный алгоритм и разберем парочку готовых примеров.
  • Автор

    Лидия Казанцева

  • Дата публикации

    29.12.2020

  • Просмотры

    1109

Определение квадратного неравенства

Неравенство — алгебраическое выражение, в котором используются знаки ≠, <, >, ≤, ≥.

Числовое неравенство — это такое неравенство, в записи которого по обе стороны от знака находятся числа или числовые выражения.

Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.

Решить неравенство значит найти множество, для которых оно выполняется.

Квадратное неравенство выглядит так:


квадратное неравенство

где x — переменная,

a, b, c — числа,

при этом а ≠ 0.

Квадратное неравенство можно решить двумя способами:

  • графический метод;
  • метод интервалов.

Решение неравенства графическим методом

При решении квадратного неравенства необходимо найти корни соответствующего квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0. Чтобы найти корни, нужно найти дискриминант данного уравнения.

Как дискриминант влияет на корни уравнения:


  1. D = 0. Если дискриминант равен нулю, тогда у квадратного уравнения есть один корень;

  2. D > 0. Если дискриминант больше нуля, тогда у квадратного уравнения есть два корня;

  3. D < 0. Если дискриминант меньше нуля, тогда у квадратного уравнения нет корней.

  4.  

В зависимости от полученных корней и знака коэффициента a, возможно одно из шести расположений графика функции у = ax^2 + bx + c.


расположение графика функции

Если требуется найти числовой промежуток, на котором квадратный трехчлен ax^2 + bx + c больше нуля, то этот числовой промежуток находится там, где парабола лежит выше оси ОХ.

Если нужно найти числовой промежуток, на котором квадратный трехчлен ax^2 + bx + c меньше нуля — это числовой промежуток, где парабола лежит ниже оси ОХ.

Если квадратное неравенство нестрогое, то корни входят в числовой промежуток. А если строгое — не входят.


Чтобы ребенок еще лучше учился в школе, запишите его на уроки математики в современную онлайн-школу Skysmart.

Наши преподаватели понятно объяснят что угодно — от дробей до неравенств — и ответят на вопросы, которые бывает неловко задать перед всем классом. А еще помогут догнать сверстников и справиться со сложной контрольной.

Решение неравенства методом интервалов

Метод интервалов — это специальный алгоритм, который предназначен для решения рациональных неравенств.

Рациональное неравенство имеет вид f(x) 􏰂≤ 0, где f(x) — рациональная функция. При этом вместо знака 􏰂может стоять любой другой: >, <, ≤, ≥.

Сейчас мы узнаем про интервалы в контексте решения квадратных неравенств.

Интервал — это некий промежуток числовой прямой, то есть все возможные числа, заключенные между двумя числами — концами интервала. Представить эти промежутки не так просто, поэтому интервалы принято рисовать.

Алгоритм решения квадратных неравенств методом интервалов:


  1. Найти нули квадратного трехчлена ax^2 + bx + c из левой части квадратного неравенства.

  2. Изобразить координатную прямую и при наличии корней отметить их на ней.
    координатная прямая

    Если неравенство строгое, нужно отметить корни пустыми (выколотыми) точками. Если нестрогое — обычными точками. Именно эти точки разбивают координатную ось на промежутки.


    строгое неравенство

  3. Определить, какие знаки имеют значения трехчлена на каждом промежутке (если на первом шаге нашли нули) или на всей числовой прямой (если нулей нет). И проставить над этими промежутками + или − в соответствии с определенными знаками.

  4. Если квадратное неравенство со знаком > или ≥ — наносим штриховку над промежутками со знаками +.

    Если неравенство со знаком < или ≤, то наносим штриховку над промежутками со знаком −.

    В результате получаем геометрический образ некоторого числового множества — это и есть решение неравенства.

    Либо вместо штриховки можно нарисовать «арки» для интервалов. Справа налево, начиная с +, проставить чередуя знаки + и −.


    + и - на графике

  5. Выбрать необходимые интервалы и записать ответ.

  6.  

Расскажем подробнее про третий шаг алгоритма. Существует несколько подходов для определения знаков на промежутках.

Для примера возьмем трехчлен x^2 + 4x - 5, его корнями являются числа -5 и 1, они разбивают числовую ось на три промежутка: (-∞, -5), (-5, 1) и (1, +∞).

Определим знак трехчлена x^2 + 4x - 5 на промежутке (1, +∞). Для этого вычислим значение данного трехчлена при некотором значении x из этого промежутка. Можно брать любое значение переменной, главное — чтобы вычисления были простыми. В нашем случае, возьмем x = 2. Подставим его в трехчлен вместо переменной x:

  • 2^2 + 4 * 2 - 5 = 4 + 8 - 5 = 7.

7 — положительное число. Это значит, что любое значение квадратного трехчлена на интервале (1, +∞) будет положительным. Так мы определили знак плюс.

Определим знаки на оставшихся двух промежутках. Начнем с интервала (-5, 1). Из этого интервала можем взять x = 0 и вычислить значение квадратного трехчлена при этом значении переменной:

  • 0^2 + 4 * 0 - 5 = 0 + 0 - 5 = -5.

Так как -5 — отрицательное число, то на этом интервале все значения трехчлена будут отрицательными. Так мы определили знак минус.

Осталось определиться со знаком на промежутке (-∞, -5). Возьмем x = -6, подставляем:

  • (-6)^2 + 4 * (-6) - 5 = 36 - 24 - 5 = 7.

Следовательно, искомый знак — плюс.

Можно расставить знаки быстрее, если запомнить эти факты:

Плюс или минус: как определить знаки

Можно сделать вывод о знаках по значению старшего коэффициента a:

если a > 0, последовательность знаков: +, −, +,

если a < 0, последовательность знаков: −, +, −.

Можно также сделать вывод о знаках по значению старшего коэффициента a:

если a > 0, последовательность знаков: +, +,

если a < 0, последовательность знаков: −, −.

Например -4x^2 - 7 не имеет корней и на промежутке (−∞, +∞) его значения отрицательны, так как коэффициент при x^2 есть отрицательное число -4, и свободный член -7 тоже отрицателен.

  • Когда квадратный трехчлен при D > 0 имеет два корня, то знаки его значений на промежутках чередуются. Это значит, что достаточно определить знак на одном из трех промежутков и расставить знаки над оставшимися промежутками, чередуя их. В результате возможна одна из двух последовательностей: +, −, + или −, +, −.
  • Если квадратный трехчлен при D = 0 имеет один корень, то этот корень разбивает числовую ось на два промежутка, а знаки над ними будут одинаковыми. Это значит, что достаточно определить знак над одним из них и над другим поставить такой же. При этом получится, либо +, +, либо −, −.
  • Когда квадратный трехчлен корней не имеет (D < 0), то знаки его значений на всей числовой прямой совпадают как со знаком старшего коэффициента a, так и со знаком свободного члена c.

Теперь мы знаем пошаговый алгоритм. Чтобы закрепить материал потренируемся на примерах и научимся использовать метод интервалов для квадратных неравенств.

Пример 1. Решить неравенство методом интервалов: x^2 - 5x + 6 ≥ 0.

Как решаем:


  1. Разложим квадратный трехчлен на множители.
    график

    Неравенство примет вид:

    (х - 3) * (х - 2) ≥ 0


  2. Проанализируем два сомножителя:

    Первый: х - 3. Этот сомножитель может поменять знак при х = 3, значит при х < 0 это выражение отрицательно: х - 3 < 0, а при х > 0 принимает положительные значения: х - 3 > 0.

    Второй: х - 2. Для этого сомножителя такая «знаковая» точка: х = 2.

    Вывод: знак произведения (х - 3) * (х - 2) меняется только при переходе переменной через значения х = 3 и х = 2.

    В этом весь смысл метода интервалов: определить интервалы значений переменной, на которых ситуация не меняется и рассматривать их как единое целое.


  3. Построим чертеж.
    чертеж

  4. Рассмотрим интервалы в том же порядке, как пишем и читаем: слева направо.

    х < 0 — на этом интервале ситуация не изменяется, значит, для того, чтобы определить ситуацию, можно взять любое значение из этого интервала и подставить его в произведение. Например: х = -1. Подставляем:

    (-1 - 3) * (-1 - 2) = -4 * (-3) = 12

    12 > 0

    Вывод: при х < 0 верно неравенство (х - 3) * (х - 2) > 0.

    Отобразим эти данные на чертеже:


    отображаем данные на чертеже

    2 < x < 3 — на этом интервале ситуация не меняется, значит, для того, чтобы определить ситуацию нужно взять любое значение из этого интервала и подставить его в произведение. Например: х = 2,5.

    Подставляем:

    • (2,5 - 3) (2,5 - 2) = -0,5 * 0,5 = - 0,25 < 0

    Вывод: при 2 < x < 3 верно неравенство (х - 3) * (х - 2) < 0. Отметим на чертеже:


    отметим на чертеже шаг 2

    х > 3 — на этом интервале ситуация не изменяется. Значит нужно взять любое значение из этого интервала и подставить его в произведение. Например: х = 25.

    Подставляем:

    • (25 - 3) (25 - 2) = 22*23 = 506 > 0

    Вывод: при х > 3 верно неравенство (х - 3) * (х - 2) > 0. Внесем эти данные в чертеж.


    вывод данных на чертеж
  5. Исходное неравенство: (х - 3) * (х - 2) ≥ 0.

    Если (х - 3) * (х - 2) > 0:

    (x - 3) * (x + 3/2) > 0.

    Если (х - 3) (х - 2) = 0 — при х1 = 3, х2 = 2.

    Удовлетворяющие неравенству точки закрасим, а не удовлетворяющие — оставим пустыми.


    закрашиваем правильные точки

Ответ: х ≤ 0, х ≥ 3.

Пример 2. Применить метод интервалов для решения неравенства х2+4х+3 < 0.

Как решить неравенство методом интервалов нам уже известно. Поэтому можем оформить решение кратко:


решение методом интервалов

график решения

Ответ: -3 < x < -2.

Пример 3. Выполнить решение квадратного неравенства методом интервалов:


решение квадратного неравенства

Как решаем:


  1. Находим корни квадратного трехчлена, который находится в левой части:
    корни квадратного трехчлена

  2. Так как мы решаем строгое неравенство, то на координатной прямой изображаем выколотую точку с координатой 7:
    изобразим выколотую точку

  3. Теперь определим знаки на двух полученных промежутках (−∞, 7) и (7, +∞).

    Это легко сделать, потому что дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, а старший коэффициент со знаком минус. Фиксируем знаки: −, −:


    фиксируем знаки минуса
  4. Так как мы решаем неравенство со знаком <, то изобразим штриховку над интервалами со знаками минус:
    интервал со знаком минус

    Очевидно, решениями являются оба промежутка (−∞, 7), (7, +∞).


  5.  

Ответ: (−∞, 7), (7, +∞).

В онлайн-школе Skysmart ученики решают такие задачки на специальной онлайн-доске. А еще отслеживают личный прогресс и получают поддержку учителя по самым коварным вопросам.

Запишите ребенка на бесплатный вводный урок математики: покажем, как у нас все устроено и вдохновим на учебу!

Бесплатный вводный урок
Шаг 1 из 2. Данные ученика
Класс
Цель обучения
Поделиться: