Метод интервалов, решение неравенств

Автор
Лидия Казанцева
Дата публикации
29.12.2020
Просмотры
1109
Определение квадратного неравенства
Неравенство — алгебраическое выражение, в котором используются знаки ≠, <, >, ≤, ≥.
Числовое неравенство — это такое неравенство, в записи которого по обе стороны от знака находятся числа или числовые выражения.
Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.
Решить неравенство значит найти множество, для которых оно выполняется.
Квадратное неравенство выглядит так:
![]() |
где x — переменная,
a, b, c — числа,
при этом а ≠ 0.
Квадратное неравенство можно решить двумя способами:
- графический метод;
- метод интервалов.
Решение неравенства графическим методом
При решении квадратного неравенства необходимо найти корни соответствующего квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0. Чтобы найти корни, нужно найти дискриминант данного уравнения.
Как дискриминант влияет на корни уравнения:
- D = 0. Если дискриминант равен нулю, тогда у квадратного уравнения есть один корень;
- D > 0. Если дискриминант больше нуля, тогда у квадратного уравнения есть два корня;
- D < 0. Если дискриминант меньше нуля, тогда у квадратного уравнения нет корней.
В зависимости от полученных корней и знака коэффициента a, возможно одно из шести расположений графика функции у = ax^2 + bx + c.

Если требуется найти числовой промежуток, на котором квадратный трехчлен ax^2 + bx + c больше нуля, то этот числовой промежуток находится там, где парабола лежит выше оси ОХ.
Если нужно найти числовой промежуток, на котором квадратный трехчлен ax^2 + bx + c меньше нуля — это числовой промежуток, где парабола лежит ниже оси ОХ.
Если квадратное неравенство нестрогое, то корни входят в числовой промежуток. А если строгое — не входят.
Чтобы ребенок еще лучше учился в школе, запишите его на уроки математики в современную онлайн-школу Skysmart.
Наши преподаватели понятно объяснят что угодно — от дробей до неравенств — и ответят на вопросы, которые бывает неловко задать перед всем классом. А еще помогут догнать сверстников и справиться со сложной контрольной.
Решение неравенства методом интервалов
Метод интервалов — это специальный алгоритм, который предназначен для решения рациональных неравенств.
Рациональное неравенство имеет вид f(x) ≤ 0, где f(x) — рациональная функция. При этом вместо знака может стоять любой другой: >, <, ≤, ≥.
Сейчас мы узнаем про интервалы в контексте решения квадратных неравенств.
Интервал — это некий промежуток числовой прямой, то есть все возможные числа, заключенные между двумя числами — концами интервала. Представить эти промежутки не так просто, поэтому интервалы принято рисовать.
Алгоритм решения квадратных неравенств методом интервалов:
- Найти нули квадратного трехчлена ax^2 + bx + c из левой части квадратного неравенства.
- Изобразить координатную прямую и при наличии корней отметить их на ней.
Если неравенство строгое, нужно отметить корни пустыми (выколотыми) точками. Если нестрогое — обычными точками. Именно эти точки разбивают координатную ось на промежутки.
- Определить, какие знаки имеют значения трехчлена на каждом промежутке (если на первом шаге нашли нули) или на всей числовой прямой (если нулей нет). И проставить над этими промежутками + или − в соответствии с определенными знаками.
- Если квадратное неравенство со знаком > или ≥ — наносим штриховку над промежутками со знаками +.
Если неравенство со знаком < или ≤, то наносим штриховку над промежутками со знаком −.
В результате получаем геометрический образ некоторого числового множества — это и есть решение неравенства.
Либо вместо штриховки можно нарисовать «арки» для интервалов. Справа налево, начиная с +, проставить чередуя знаки + и −.
- Выбрать необходимые интервалы и записать ответ.
Расскажем подробнее про третий шаг алгоритма. Существует несколько подходов для определения знаков на промежутках.
Для примера возьмем трехчлен x^2 + 4x - 5, его корнями являются числа -5 и 1, они разбивают числовую ось на три промежутка: (-∞, -5), (-5, 1) и (1, +∞).
Определим знак трехчлена x^2 + 4x - 5 на промежутке (1, +∞). Для этого вычислим значение данного трехчлена при некотором значении x из этого промежутка. Можно брать любое значение переменной, главное — чтобы вычисления были простыми. В нашем случае, возьмем x = 2. Подставим его в трехчлен вместо переменной x:
- 2^2 + 4 * 2 - 5 = 4 + 8 - 5 = 7.
7 — положительное число. Это значит, что любое значение квадратного трехчлена на интервале (1, +∞) будет положительным. Так мы определили знак плюс.
Определим знаки на оставшихся двух промежутках. Начнем с интервала (-5, 1). Из этого интервала можем взять x = 0 и вычислить значение квадратного трехчлена при этом значении переменной:
- 0^2 + 4 * 0 - 5 = 0 + 0 - 5 = -5.
Так как -5 — отрицательное число, то на этом интервале все значения трехчлена будут отрицательными. Так мы определили знак минус.
Осталось определиться со знаком на промежутке (-∞, -5). Возьмем x = -6, подставляем:
- (-6)^2 + 4 * (-6) - 5 = 36 - 24 - 5 = 7.
Следовательно, искомый знак — плюс.
Можно расставить знаки быстрее, если запомнить эти факты:
Плюс или минус: как определить знакиМожно сделать вывод о знаках по значению старшего коэффициента a: если a > 0, последовательность знаков: +, −, +, если a < 0, последовательность знаков: −, +, −. Можно также сделать вывод о знаках по значению старшего коэффициента a: если a > 0, последовательность знаков: +, +, если a < 0, последовательность знаков: −, −. Например -4x^2 - 7 не имеет корней и на промежутке (−∞, +∞) его значения отрицательны, так как коэффициент при x^2 есть отрицательное число -4, и свободный член -7 тоже отрицателен.
|
Теперь мы знаем пошаговый алгоритм. Чтобы закрепить материал потренируемся на примерах и научимся использовать метод интервалов для квадратных неравенств.
Пример 1. Решить неравенство методом интервалов: x^2 - 5x + 6 ≥ 0.
Как решаем:
- Разложим квадратный трехчлен на множители.
Неравенство примет вид:
(х - 3) * (х - 2) ≥ 0
- Проанализируем два сомножителя:
Первый: х - 3. Этот сомножитель может поменять знак при х = 3, значит при х < 0 это выражение отрицательно: х - 3 < 0, а при х > 0 принимает положительные значения: х - 3 > 0.
Второй: х - 2. Для этого сомножителя такая «знаковая» точка: х = 2.
Вывод: знак произведения (х - 3) * (х - 2) меняется только при переходе переменной через значения х = 3 и х = 2.
В этом весь смысл метода интервалов: определить интервалы значений переменной, на которых ситуация не меняется и рассматривать их как единое целое.
- Построим чертеж.
- Рассмотрим интервалы в том же порядке, как пишем и читаем: слева направо.
х < 0 — на этом интервале ситуация не изменяется, значит, для того, чтобы определить ситуацию, можно взять любое значение из этого интервала и подставить его в произведение. Например: х = -1. Подставляем:
(-1 - 3) * (-1 - 2) = -4 * (-3) = 12
12 > 0
Вывод: при х < 0 верно неравенство (х - 3) * (х - 2) > 0.
Отобразим эти данные на чертеже:
2 < x < 3 — на этом интервале ситуация не меняется, значит, для того, чтобы определить ситуацию нужно взять любое значение из этого интервала и подставить его в произведение. Например: х = 2,5.
Подставляем:
- (2,5 - 3) (2,5 - 2) = -0,5 * 0,5 = - 0,25 < 0
Вывод: при 2 < x < 3 верно неравенство (х - 3) * (х - 2) < 0. Отметим на чертеже:
х > 3 — на этом интервале ситуация не изменяется. Значит нужно взять любое значение из этого интервала и подставить его в произведение. Например: х = 25.
Подставляем:
- (25 - 3) (25 - 2) = 22*23 = 506 > 0
Вывод: при х > 3 верно неравенство (х - 3) * (х - 2) > 0. Внесем эти данные в чертеж.
- Исходное неравенство: (х - 3) * (х - 2) ≥ 0.
Если (х - 3) * (х - 2) > 0:
(x - 3) * (x + 3/2) > 0.
Если (х - 3) (х - 2) = 0 — при х1 = 3, х2 = 2.
Удовлетворяющие неравенству точки закрасим, а не удовлетворяющие — оставим пустыми.
Ответ: х ≤ 0, х ≥ 3.
Пример 2. Применить метод интервалов для решения неравенства х2+4х+3 < 0.
Как решить неравенство методом интервалов нам уже известно. Поэтому можем оформить решение кратко:


Ответ: -3 < x < -2.
Пример 3. Выполнить решение квадратного неравенства методом интервалов:

Как решаем:
- Находим корни квадратного трехчлена, который находится в левой части:
- Так как мы решаем строгое неравенство, то на координатной прямой изображаем выколотую точку с координатой 7:
- Теперь определим знаки на двух полученных промежутках (−∞, 7) и (7, +∞).
Это легко сделать, потому что дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, а старший коэффициент со знаком минус. Фиксируем знаки: −, −:
- Так как мы решаем неравенство со знаком <, то изобразим штриховку над интервалами со знаками минус:
Очевидно, решениями являются оба промежутка (−∞, 7), (7, +∞).
Ответ: (−∞, 7), (7, +∞).
В онлайн-школе Skysmart ученики решают такие задачки на специальной онлайн-доске. А еще отслеживают личный прогресс и получают поддержку учителя по самым коварным вопросам.
Запишите ребенка на бесплатный вводный урок математики: покажем, как у нас все устроено и вдохновим на учебу!