Поможем понять и полюбить математику
Начать учиться

Координаты середины отрезка

Координаты середины отрезка
11.1K

Отрезок — понятие, которое знакомо даже первокласснику. С начальной школы мы учились рисовать их, находить длину, складывать и вычитать друг из друга. Сегодня же мы пойдем еще дальше и рассмотрим отрезки на плоскости и даже в пространстве! Звучит впечатляюще, правда? После этой статьи вы сможете с легкостью решать сложные геометрические задачи на нахождение середины отрезка, разберетесь в непростых формулировках и еще больше убедитесь в том, что геометрия прекрасна в своей простоте.

Что такое отрезок

Чтобы изучить эту тему досконально, давайте начнем с самого простого: с определения отрезка.

Отрезок — это прямая, у которой есть начало и конец, или же прямая, которая соединяет две произвольные точки, не совпадающие друг с другом.

Отрезок называют заглавными буквами латинского алфавита по названию конечных точек. Причем можно расставлять буквы в любом порядке: АВ и ВА — равноценные варианты. Рассмотрите иллюстрацию, посчитайте и назовите все отрезки.

Отрезки

Демоурок по математике
Узнайте, какие темы у вас «хромают», а после — разбирайте их без зубрежки формул и скучных лекций.
Демоурок по математике

Что такое середина отрезка

Середина отрезка — это точка, которая находится на равном расстоянии от его концов. Иначе можно сказать так: это точка, которая делит отрезок пополам.

Так, на рисунке ниже D — середина отрезка СК, так как СD = DK. Обратите внимание, как на чертеже обозначаются равные по длине отрезки — мы ставим на них равное количество черточек.

Середина отрезка

Главный вопрос, который нас сегодня интересует, это координаты середины отрезка.

Координаты — это положение точки в пространстве.

Мы можем рассмотреть отрезок, который лежит на координатной прямой, тогда координата будет одна. В Декартовой системе координат оХУ будет две координаты, причем вначале записывают х, потом у. Например: С (5; 3): К (4; 8). Еще мы можем поместить отрезок в трехмерное пространство, тогда у каждой точки будет три координаты: х, у, z.

Кажется, что чем дальше, тем сложнее, но на самом деле это не совсем так. Хорошая новость: в каждом из случаев мы будем использовать один и тот же принцип, так что вы обязательно во всем разберетесь!

Как найти координаты середины отрезка на координатной прямой

Изобразим горизонтальную координатную прямую оХ и отметим на ней две точки: М и L. Координату точки М запишем как Хм, точки L — соответственно XL. Поставим лежащую на отрезке точку А — середину ML, MA = LA.

Координатная прямая oX с точками M, A и L

Определим координаты точек: Хм = {2}, XL = {8}. Чтобы найти середину отрезка, воспользуемся формулой XA=(XM+XL)/2 и получим:

ХА = (2 + 8)/2 = 5.

Проверим, верна ли формула. Для этого определим координаты середины отрезка графическим методом.Действительно: фактическая координата точки А совпадает со значением, которое мы получили.

Подумайте, взяли ли мы эту формулу случайно или же ее можно вывести. Да, конечно, второй вариант верный — в математике не используют ничего непроверенного. Давайте посмотрим, каким образом можно доказать истинность формулы, тем более, что мы возьмем ее за основу при решении более сложных задач.

  1. Точка А — это середина отрезка, а значит, MA = LA.

  2. Расстояние между точками можно рассчитать через разность модулей их координат: │ХА – ХМ│=│ХL – ХА│.

  3. Преобразуем правую часть, вынесем знак минуса: ХА – ХМ= - (ХА –ХL).

  4. Перенесем ХА в левую часть, а все остальное — в правую: 2ХА= ХL+ ХМ.

  5. Найдем ХА: ХА = (ХL + ХМ)/2.

Вот мы и вывели формулу координат середины отрезков! Чтобы лучше закрепить материал, сделаем пару заданий.

Задача 1

Определите координаты середины отрезка АВ, если ХА = –2, ХB = 10.

Решение

Обозначим точку середины отрезка буквой Т. Тогда Хт = (ХА + ХB)/2 = (–2 + 10)/2 = 4.

Отрезок AB на координатной прямой Ox и середина отрезка T

Ответ: Хк = {4}.

Задача 2

Определите координаты начала отрезка КМ с серединой в точке Н, если Хм = 5, Хн = 10.

Решение

Вначале запишем формулу для середины отрезка: Хн = (Хк + Хм)/2. Выразим Хк через нее:

Хн = (Хк + Хм)/2,

н = (Хк + Хм),

н – Хм = Хк,

Хк = 2Хн – Хм = 2 * 5 – 10 = 0.

Отрезок KM на координатной прямой Ox и середина отрезка H

Ответ: Хк = {0}

Бесплатные занятия по английскому с носителем
Занимайтесь по 15 минут в день. Осваивайте английскую грамматику и лексику. Сделайте язык частью жизни.
Бесплатные занятия по английскому с носителем

Как найти середину отрезка на плоскости

В Декартовой системе координат у каждой точки есть две координаты: по оси оХ и оУ. Изобразим отрезок АВ с координатами А (1; 3), В (3; 6) и точкой С — серединой отрезка.

Отрезок AB с серединой C в декартовой системе координат

Чтобы найти координаты точки С, мы воспользуемся уже известной нам формулой, но применим ее к каждой координате в отдельности. Вначале рассчитаем Хс:

Хс = (ХА + ХB)/2 = (1 + 3)/2 = 2.

Тогда УC = (УA + УB)/2 = (3 + 6)/2 = 4,5. Значит С (2; 4,5).

Не пугайтесь, если отрезок на чертеже параллелен оси оХ или оУ: мы четко идем по нашему алгоритму и ничего не меняем.

 Расчет координат отрезков в декартовой системе

Важно заметить: если отрезок параллелен оси оУ, координаты концов и середины отрезка по оХ будут совпадать, ХА = ХС = ХВ. Если же отрезок параллелен оси оХ, совпадут координаты по оУ: УА = УВ = УС.

И вновь пришло время задачек. Давайте разберем несколько примеров решения.

Задача 3

В системе координат находятся две точки: С (–6; 4) и К (2; 8). Определите координаты середины отрезка.

Решение

Обозначим середину отрезка точкой О. Тогда:

ХО = (ХС + ХК)/2 = (–6 + 2)/2 = –2,

УО = (УС + УК)/2 = (4 + 8)/2 = 6.

Ответ: О (-2; 6).

Задача 4

Дан треугольник с вершинами АВС: А (-2; 4), В (4; 6), С (3; -5). Определите координаты точки М — медианы ВМ.

Решение

Медиана — отрезок, который проведен из вершины треугольника и делит противоположную сторону пополам. А значит, медиана ВМ делит на равные части сторону АС, АМ = МС. Тогда:

ХМ = (ХА + ХС)/2 = (–2 + 3)/2 = 0,5,

УМ = (УА + УС)/2 = (4 – 5)/2 = –0,5.

Ответ: М (0,5; –0,5).

Координаты середины отрезка в пространстве

Вспомните, чем пространство отличается от плоскости. Правильно, третьим измерением! В том смысле, что добавляется еще одна координатная ось: оZ. Как это выглядит, можно посмотреть на рисунке ниже.

Оси координат в трехмерном пространстве

При этом формула нахождения середины отрезка остается неизменной. Если мы изобразим в трехмерном пространстве отрезок АВ с серединой в точке С, тогда:

ХС = (ХА + ХВ)/2,

УС = (УА + УВ)/2,

ZС = (ZА + ZВ)/2.

Координаты середины отрезка через радиус-векторы его концов

По сути, этот способ нельзя назвать каким-то новым и уникальным. Он лишь еще раз доказывает истинность формулы координат середины отрезков, только через алгебру. Чтобы разобраться в нем, давайте сначала вспомним определение вектора.

Вектор — это направленный отрезок прямой, то есть отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая — концом.

Векторы — достаточно обширная тема. Чтобы разобраться в ней, не хватит и двух статей. Но сейчас мы с вами будем использовать всего несколько тезисов, которые помогут разобраться в теме.

  1. Векторы можно изображать в системах координат оХУ и оХYZ, т. е. в двумерной и трехмерной.

  2. Координаты начала и конца векторов записывают так же, как и для отрезков: (x; y) и (x; y; z).

  3. Сумму векторов можно найти по методу треугольника или параллелограмма. Картинка ниже поможет вам вспомнить, как ими пользоваться.

Правило треугольника и правило параллелограмма

Радиус-вектор — вектор, который задает положение точки в пространстве относительно некоторой заранее фиксированной точки — начала координат.

Давайте разберемся, как доказать формулу для нахождения координаты середины отрезка через радиус-векторы его концов. В Декартовой системе координат нарисуем вектор с серединой в точке К. Координаты точки А (ХА; УА; ZА), К (ХК; УК; ZК), С (ХС; УС; ZС).Проведем радиус-векторы , , .

Доказательство формулы для нахождения координаты середины отрезка

Согласно определению середины отрезка: ОК = ½(ОС + ОА). Координаты векторов ОА, ОК, ОС соответственно равны координатам точек А, К, С, так как координаты точки О (0; 0; 0).

ОА (ХА – 0, УА – 0, ZА – 0) = (ХА; УА; ZА),

ОК (ХК – 0, УК – 0, ZК – 0) = (ХК; УК; ZК,),

ОС (ХС– 0, УС – 0, ZС – 0) = (ХС; УС; ZС).

Тогда запишем равенство ОК = ½(ОС + ОА) через координаты:

ХК = 1/2(ХА + ХО),

УК = 1/2(УА + УО),

ZК = 1/2(ZА + ZО).

Напоследок мы сделаем небольшой перерыв, забудем про формулы и числа. Давайте подумаем, как можно найти середину отрезка, если мы не знаем координат его концов.

Например, нарисуем отрезок на песчаном пляже во время каникул. Определить точные координаты в таком случае будет достаточно сложно, правда? Вряд ли вы взяли с собой в отпуск набор линеек, чтобы вычислить длину отрезка. С подобным заданием вы могли столкнуться и на уроках геометрии, где учитель раздавал вам чистые нелинованные листы бумаги и просил найти середину отрезка без использования линейки.

Сейчас мы обучим вас волшебному методу, приготовьтесь! Все что вам понадобится — это циркуль. Нарисуем на бумаге отрезок АВ любой длины. Поставим иголку циркуля в точку А и начертим окружность с радиусом, равным АВ. Далее повторим действие — прочертим такую же окружность с центром в точке В.

Мы видим, что окружности пересеклись дважды: снизу и сверху. Если соединить эти две точки, эта прямая пересечет наш исходный отрезок ровно в его середине.

Нахождение середины отрезка с помощью окружностей

Скептики вспомнят наш пример с пляжем и скажут: «Линейку мы с собой в отпуск не берем, но и циркуль ведь тоже! Что вы скажете на это?» А ответим мы вот что: приходите на курсы по профильной математики в Skysmart! Там вы научитесь не только заменять настоящий циркуль на самодельный, но еще подготовитесь к экзаменам, разовьете логику и узнаете много всего интересного. Ждем вас на занятиях!

Шпаргалки по математике родителей
Все формулы по математике под рукой
Шпаргалки по математике родителей

Бесплатный вводный урок по математике в онлайн школе Skysmart

На вводном уроке с методистом

  1. Определим уровень и дадим советы по обучению
  2. Расскажем, как проходят занятия
  3. Подберём курс

Оставляя заявку, вы принимаете условия соглашения об обработке персональных данных