Куб (правильный гексаэдр) — это правильный многогранник (прямоугольный параллелепипед с равными измерениями a = b = c), поверхность которого состоит из 6 равных квадратов, 12 равных рёбер длины a и 8 вершин. Объём куба равен кубу его ребра (V = a³), площадь полной поверхности — шести квадратам ребра (S = 6a²), а пространственная диагональ куба в √3 раз больше ребра: d = a√3.
- Объём и площадь полной поверхности куба с ребром a:
V = a³иS_полн = 6 · a²(площадь боковой поверхности 4 граней:S_бок = 4a²). - Диагональ грани d_гр и пространственная диагональ куба d:
d_грани = a√2иd_куба = √(a² + a² + a²) = a√3(откуда d² = 3a²). - Радиусы вписанной (r) и описанной (R) около куба сфер: вписанная сфера:
r = a / 2; описанная сфера:R = d / 2 = (a√3) / 2.
Правило для бланка ОГЭ и ЕГЭ: в Задании №3 ЕГЭ если дана пространственная диагональ куба d (например, d = √12 или d = 6), возведите её в квадрат и разделите на 3 — вы сразу получите площадь одной грани a² = d² / 3!
2. Формула вычисления темы применена.
3. Итоговый результат: 10.
1. Теоретический базис темы «Куб»
Что такое куб и из чего он состоит
Куб или гексаэдр — это правильный многогранник с 6 одинаковыми сторонами, каждая из которых — квадрат.
Эти стороны называются гранями. Каждая грань куба пересекается с 4 другими под углом 90° и параллельна оставшейся. А т. к. все они — равные квадраты, то грани куба имеют одинаковую площадь, и их стороны, т. е. рёбра куба, равны между собой.
Точки, где они сходятся, называют вершинами куба. Всего у куба 8 вершин, и в каждой сходятся по 3 ребра.
Диагональ куба — это отрезок, который соединяет противоположные вершины куба.
Всего у куба 4 диагонали. При этом они равны между собой, пересекаются в центре куба и делятся им пополам.
Также диагональ есть у каждой грани фигуры. В этом случае отрезок находится в её плоскости и соединяет противоположные вершины каждой из сторон-квадратов. Они также равны между собой и пересекаются в центре грани.
Ось куба — это прямая, которая проходит через центр куба и центры его двух параллельных между собой граней.
У каждого куба есть 3 оси, и все они взаимно перпендикулярны.
Площадь поверхности, периметр и объём куба
Площадь поверхности куба — это сумма площадей всех его граней.
При решении задач можно найти её так, а можно быстрее — через формулу
Пример:
Если а = 10, то S = 6a2 = 6 ⋅ 102 = 6 ⋅ 100 = 600.
Периметр куба — это сумма длин всех рёбер куба.
Т. к. у куба 12 рёбер, для решения задач с периметром можно воспользоваться формулой
Пример:
Если а = 10, то P = 12a = 12 ⋅ 10 = 120.
Объём куба — это совокупность всех точек в пространстве, ограниченных гранями этого куба.
Иначе говоря, это вместимость трёхмерной фигуры. Чтобы вычислить её, перемножают длины рёбер многогранника, но т. к. у куба все рёбра равны, достаточно использовать формулу
Пример:
Если а = 10, то V = a3 = 103 = 1 000.
Также объём куба можно вычислить по длине его диагонали. Тогда можно применить формулу
Получи больше пользы от Skysmart:
-
Подготовься к ОГЭ на пятёрку
-
Подготовься к ЕГЭ на высокие баллы
Записывайся на бесплатные курсы для детей
Решай задания в бесплатном тренажёре ЕГЭ
Куб и сфера
Вписанная в куб сфера — это такая сфера, центр которой совпадает с центром куба и которая касается центров его граней.
При этом все 6 граней куба являются касательными плоскостями к вписанной сфере, а её радиус равен половине длины ребра a.
Описанная вокруг куба сфера — это такая сфера, центр которой совпадает с центром куба и которая соприкасается с 8 вершинами куба.
Радиус такой сферы равен половине длины диагонали куба.
Свойства куба
В куб можно вписать тетраэдр так, чтобы все 4 вершины тетраэдра совпадали с 4 вершинами куба, а все 6 ребер тетраэдра располагались на 6 соответствующих гранях куба. При этом рёбра будут равны диагонали грани куба.
Ещё одно важное свойство куба состоит в том, что в него можно вписать правильный шестиугольник так, что все 6 вершин будут располагаться в центрах граней куба.
Координаты вершин куба
Куб — это фигура в трёхмерном пространстве, и у каждой её точки есть место на системе координат. Если куб расположен в начале этой системы так, что рёбра этой вершины лежат на осях координат, тогда его вершины будут иметь такие координаты:
A(a, 0, 0), B(a, a, 0), C(0, a, 0), D(0, 0, 0),
E(a, 0, a), F(a, a, a), G(0, a, a), H(0, 0, a),
где А, B, C, D, E, F, G и H — вершины куба, а — длина его ребра. При этом вершина D находится в начале системы координат.
Если же куб расположен так, что начало системы координат совпадает с центром фигуры, а рёбра параллельны осям координат, тогда координаты вершин куба с длиной ребра 2a будут выглядеть так:
A(a, −a, −a), B(a, a, −a), C(−a, a, −a), D(−a, −a, −a),
E(a, −a, a), F(a, a, a), G(−a, a, a), H(−a, −a, a).
Единичный куб — это такой куб, все рёбра которого имеют длину, равную единице.
При этом гранью такого куба будет единичный квадрат со сторонами 1:1:1:1. Представим, что на рисунке, где начало системы координат совпадает с вершиной D, изображён такой куб. Тогда координаты его вершин будут такими:
A(1, 0, 0), B(1, 1, 0), C(0, 1, 0), D(0, 0, 0),
E(1, 0, 1), F(1, 1, 1), G(0, 1, 1), H(0, 0, 1).
Пересечение куба плоскостью
Если куб пересекает плоскость, которая проходит через его центр и центры двух его противоположных граней, то в сечении будет квадрат. При этом длина стороны этого квадрата будет равна длине ребра куба.
Если куб пересекает плоскость с ребром a, которая проходит через центр этого куба и два его параллельных ребра, то в сечении будет прямоугольник. Его стороны будут равны a и a√2, а площадь сечения — a2√2.
Если куб пересекает плоскость, которая проходит через 3 его вершины, то в сечении будет правильный треугольник. Его сторона будет равна a√2, площадь сечения — a2√3/2, объём большей части — 5a3/6, а меньшей — a3/6.
Если куб пересекает плоскость, которая проходит через его центр и середины 6 граней, то в сечении будет правильный шестиугольник. Сторона такого шестиугольника будет равна a√2/2, а площадь сечения — a2(3√3)/4.
Все формулы для решения задач с кубом
|
Куб: все формулы |
|
|---|---|
|
Диагональ куба через длину ребра |
|
|
Диагональ грани через длину ребра |
|
|
Объём куба через длину ребра |
|
|
Объём куба через длину диагонали |
|
|
Площадь поверхности куба через длину ребра |
|
|
Периметр куба через длину ребра |
|
|
Радиус вписанной сферы через длину ребра |
|
|
Объём вписанной сферы через длину ребра |
|
|
Радиус описанной сферы через длину ребра |
|
|
Объём сферы, описанной вокруг куба, через длину ребра |
|
Убедитесь, что вы готовы к заданиям по стереометрии, — проверьте свои силы на Тренажёре ЕГЭ. В нём 24/7 доступны экзаменационные задачи с кубами и на другие темы. Причём можно выбрать для практики как один тип заданий, так и написать пробный экзамен целиком. Это бесплатно!
2. Практикум: разбор реальных задач ОГЭ и ЕГЭ
1. По формуле диагонали куба d = a√3: a√3 = √48 = √(16 · 3) = 4√3 ⇒ ребро a = 4.
2. Вычисляем объём: V = 4³ = 64; площадь поверхности: S = 6 · 4² = 96.
1. Площадь поверхности пропорциональна квадрату ребра (S = 6a²): увеличится в 3² = 9 раз.
2. Объём пропорционален кубу ребра (V = a³): увеличится в 3³ = 27 раз.
1. Диаметр вписанного в куб шара равен ребру куба: 2r = 6 ⇒ радиус шара r = 3.
2. Объём шара: V = (4/3) · π · r³ = (4/3) · π · 27 = 36π. В бланк пишем 36.
3. Контрольный чек-лист: на чём срезаются школьники
- Ловушка экзамена: Невнимательность при вычислениях по формуле темы «Куб» приводит к потере первичных баллов в первой части.
- Ловушка экзамена: Обязательно проверяйте допустимые значения переменных (ОДЗ) и размерность величин перед записью в бланк.
- Ловушка экзамена: Во второй части ОГЭ/ЕГЭ решение без пояснения применённого правила оценивается в 0 баллов даже при верном ответе.
В заданиях ОГЭ и Профильного ЕГЭ эксперты ФИПИ строго оценивают логику каждого шага и обоснование формул.
На индивидуальных уроках на онлайн-курсах по математике в Skysmart методисты и действующие эксперты экзаменационной комиссии разбирают все подводные камни темы и доводят решение до автоматизма.
4. Ответы на частые вопросы (FAQ)
В каком классе изучают тему «Куб»?
Тема подробно изучается в школьном курсе математики и входит в обязательный кодификатор ОГЭ и ЕГЭ.
Как быстро проверить ответ в задачах на «Куб»?
Подставьте полученный результат обратно в исходное соотношение и проверьте соответствие условию задачи.
