Взаимно обратные числа

«Обратный шаг» — упражнение из физры, когда нужно изменить ход движения и пойти назад. Звучит просто, но с непривычки можно растеряться. Так же и с математикой: без правил сложно сразу определить взаимно обратные числа и решать задачки. Давайте разберемся, как это делать.
  • Автор

    Лидия Казанцева

  • Дата публикации

    30.12.2020

  • Просмотры

    194

Определение взаимно обратных чисел

С предыдущих уроков математики мы знаем: если прибавить или вычесть из числа нуль — оно не изменится. Точно также, если умножить или разделить число на единицу.

Ноль — нейтральный элемент для сложения и вычитания. При этом числа, которые в сумме дают ноль, называют противоположными.

  • Например: 2 + (-2) = 0.

Единица — нейтральный элемент для умножения и деления. Поэтому симметричными называют числа, чье произведение дает единицу.

  • Например: 3/5 * 5/3 = 1.

Два числа называют взаимно обратными, если их произведение равно 1.

Обратное число к данному числу — это такое число, которое мы умножаем на данное число и получаем единицу.

Обратное число

Если числа a и b взаимно обратные, то можно сказать, что число a — это число, обратное числу b, а число b — это число, обратное числу a. Также можно говорить, что числу a обратно число b, а числу b обратно число a.

Приведем примеры взаимно обратных чисел. Так как произведение двух единиц равно 1, то по определению числа 1 и 1 — взаимно обратные.

Взаимно обратные числа

Определение взаимно обратных чисел относится к любым числам — натуральным, целым, действительным, комплексным.

Как найти число, обратное данному числу

На математике в 6 классе часто встречаются задания по нахождению числа, обратного данному. В общем случае число, обратное отличному от нуля числу a, записывается в виде дробного выражения 1/a или как a -1, так как Дробь 1 и a * a-1 = 1. Но бывают случаи, когда 1/a можно сократить.

Иногда число, обратное данному числу, очевидно. Так бывает с натуральными числами и обыкновенными дробями. В других случаях приходится проводить вычисления. Например, с иррациональными и комплексными числами.

Рассмотрим каждый отдельный случай нахождения числа, обратного данному числу.


Запишите ребенка на бесплатный вводный урок математики в детскую школу Skysmart и практикуйтесь в интерактивном формате и с красочными персонажами.

Ученики занимаются по индивидуальной программе с внимательными учителями и чувствуют себя увереннее на школьных экзаменах и контрольных.

Число, обратное обыкновенной дроби

Числом, обратным обыкновенной дроби a/b, является дробь b/a.

Чтобы это проверить, выполним умножение обыкновенных дробей a/b и b/a — получим 1. Значит дроби a/b и b/a — взаимно обратные числа.

Если числитель и знаменатель дроби a/b поменять местами, то получится дробь b/a, обратная дроби a/b.

Это правило значительно экономит время. Можно сразу записать число, обратное данной обыкновенной дроби без каких-либо вычислений.

  • Например, обратным числом дроби 7/9 является дробь 9/7, а число, обратное обыкновенной дроби 127/64, есть дробь 64/127.

Число, обратное натуральному числу

Нахождение числа, обратного данному натуральному числу, можно свести к нахождению числа, обратного дроби. Для этого нужно записать натуральное число как дробь со знаменателем 1.

Пусть нам дано натуральное число n, и нужно записать число, обратное числу n. Так как натуральное число n равно дроби n/1, то, поменяв местами числитель и знаменатель этой дроби, получим дробь 1/n, которая и является числом, обратным натуральному числу n.

Итак, натуральному числу n обратным числом является число 1/n, то есть, дробь с числителем 1 и знаменателем n. Значит n и 1/n — взаимно обратные числа.

  • Например, узнаем, какое число взаимно обратное натуральному числу 20 — дробь 1/20, а число 1/6 — обратное натуральному числу 6.

Отдельно отметим число, обратное натуральному числу 1. Число, обратное единице, это единица. Пара взаимно обратных чисел 1 и 1 уникальна тем, что составляющие ее числа равны, других таких пар взаимно обратных чисел не существует.

Найти число, обратное смешанному числу

Напомним, что смешанное число выглядит так: A b/c. Чтобы найти число, обратное смешанному числу, нужно представить данное смешанное число в виде неправильной дроби, а уже после найти число, обратное этой дроби. Как это работает рассмотрим на примере.

Пример

Найти число, обратное смешанному числу Дробь 2

Как рассуждаем:

Сначала выполним перевод смешанного числа в неправильную дробь:

Дробь 3

Число, обратное дроби 65/9, есть дробь 9/65. Поэтому, смешанному числу Дробь 4 обратно число 9/65.

Ответ: Дробь 5 и 9/65 взаимно обратные числа.

Найти число, обратное десятичной дроби

Конечную десятичную дробь или периодическую десятичную дробь можно заменить обыкновенной дробью. Поэтому найти число, обратное конечной или периодической десятичной дроби, можно через поиск числа, которое обратно обыкновенной дроби. Разберемся на примерах.

Пример 1

Найти число, которое обратно десятичной дроби 5,128.

Как рассуждаем:

Переведем конечную десятичную дробь в обыкновенную:


Дробь 6

Числом, обратным полученной дроби, является обыкновенная дробь 125/641. Это и есть решение задачи.

Ответ: 125/641.

Пример 2

Какое число является обратным для периодической десятичной дроби 2,(18)?

Как решаем:

Переведем периодическую десятичную дробь в обыкновенную:


Дробь 7

Обратная дробь для 24/11 — 11/24. Значит, числом, обратным исходной десятичной дроби 2,(18), является дробь 11/24.

Ответ: 11/24.

Число, которое обратно бесконечной непериодической десятичной дроби принято записывать в виде дробного выражения с числителем 1 и знаменателем, равным заданной десятичной дроби. Например, бесконечной десятичной дроби 1,5639056242... обратно число 1/1,5639056242… .

Так как бесконечным непериодическим десятичным дробям отвечают иррациональные числа, то числа, которые обратны им, также записывают в виде дробных выражений.

Например, иррациональному числу Дробь 8 обратно число Дробь 9 , а иррациональному числу Дробь 10 обратно число Дробь 11

Взаимно обратные числа с корнями

Важно запомнить, что вид взаимно обратных чисел может отличаться от a и 1/a. Поэтому нужно быть внимательным. Особенно это касается чисел, записи которых содержат знак корня. Рассмотрим на примере, как это бывает.

Пример

Проверить, можно ли назвать числа 4 - 2√3 и Дробь 12 взаимно обратными.

Как решаем:

Вычислим произведение этих чисел:

Дробь 13

Так как в ответе мы получили единицу и мы знаем, что произведение взаимно обратных чисел равно 1, значит эти числа можно назвать взаимно обратными.

Ответ: да, число взаимно обратны.

Взаимно обратные числа со степенями

Допустим, есть число, которое равно какой-то степени числа a. То есть, число a возведено в степень b. Обратным числу ab будет число a-b. Проверим.

И правда:

Дробь 14

Пример

Написать число, обратное степени 6 -√7 + 2

Как рассуждаем:

Согласно предыдущему правилу, искомое число — 6 -(-√7 + 2) = 6 √7 - 2.

Ответ: 6 √7 - 2.

Взаимно обратные числа с логарифмами

У логарифма числа a по основанию b обратное число равно логарифму числа b по основанию a. То есть log b a и log a b — взаимно обратные числа.

Действительно, из свойств логарифма следует, что Дробь 15

, откуда log b a * log a b = 1.

Пример

Записать число, которое обратно логарифму числа 3 по основанию Дробь 16

Как решаем:

Число, обратное числу Дробь 17 , выглядит так: Дробь 18

Ответ: Дробь 19

Найти число, обратное комплексному числу

Сейчас узнаем, как находить число, обратное комплексному числу z.

Если комплексное число задано в алгебраической форме, то есть, в виде z = x + i * y, то обратное ему число есть Дробь 20. Последнее выражение можно упростить, если умножить числитель и знаменатель на число x - i * y.

Пример 1

Найти число, обратное комплексному числу 4 + i.

Как решаем:

4 + i = Дробь 21

Умножим числитель и знаменатель полученного дробного выражения на число
4 + i.

Получим:

Дробь 22

Ответ: Дробь 23

Когда комплексное число задано в тригонометрической форме как z = r * (cosφ + i * sinφ) или в показательной форме как z = r * e i*φ , то обратное ему число выглядит так

Дробь 24 или Дробь 25

Действительно, и Дробь 26

Пример 2

Определить число, обратное комплексному числу Дробь 27

Как решаем:

В этом примере r = 2 и Дробь 28 , откуда 1/r = 1/2 и Дробь 29

Следовательно, нужное нам обратное число равно Дробь 30

Являются ли числа взаимно обратными? Да, мы только что это доказали.

Ответ: Дробь 31

Неравенство с суммой взаимно обратных чисел

В математике есть специальная теорема о сумме взаимно обратных чисел — давайте ее сформулируем и узнаем ключевое свойство.

Теорема

Сумма двух положительных взаимно обратных чисел больше или равна 2.

Доказательство теоремы:

Нам известно, что среднее арифметическое положительных чисел a и b всегда больше или равно среднему геометрическому этих чисел, то есть,

Дробь 32

Если в качестве b мы возьмем число, обратное a, то полученное неравенство будет выглядеть так: Дробь 33 откуда Дробь 34 и Дробь 35 , что и требовалось доказать.

Пример

Вычислить сумму взаимно обратных чисел 2/3 и 3/2,

Как решаем:

Дробь 36

Получили число больше 2.

Научиться быстро решать любые примеры ребенку помогут в детской онлайн-школе Skysmart. Наши преподаватели просто и весело объяснят любую тему по математике, а красочный интерактивный учебник и онлайн-доска не дадут ребенку заскучать.

Записывайтесь на бесплатный вводный урок математики и развивайте математическое мышление вместе со Skysmart.

Бесплатный вводный урок
Шаг 1 из 2. Данные ученика
Класс
Цель обучения
Поделиться: