Вычитание обыкновенных дробей выполняется по двум правилам: 1) при одинаковых знаменателях из числителя уменьшаемого вычитают числитель вычитаемого, а знаменатель оставляют прежним: a / c − b / c = (a − b) / c; 2) при разных знаменателях дроби приводят к наименьшему общему знаменателю НОК(b; d): a / b − c / d = (a·d − b·c) / (b·d).
- Вычитание с одинаковыми и разными знаменателями:
a / c − b / c = (a − b) / cиa / b − c / d = (a·d − b·c) / (b·d)(знаменатели при вычитании НИКОГДА не вычитаются!). - Вычитание правильной дроби из единицы (1) и из целого числа N: единицу представляем со знаменателем вычитаемой дроби (
1 = b / b): 1 − a / b = (b − a) / b; а у целого числа N занимаем единицу: N − a / b = (N − 1) + (b − a) / b! - Вычитание целого числа из дроби (получается отрицательная дробь):
a / b − 1 = −(1 − a / b) = −(b − a) / b.
Правило для бланка ОГЭ и ЕГЭ: мгновенный устный счёт для вычитания дроби из единицы (например, 1 − 5/13): просто вычтите из знаменателя числитель (13 − 5 = 8) и запишите над тем же знаменателем: 8/13!
2. Подстановка в формулу (a / c − b / c = (a − b) / c | a / b − c / d = (ad − bc) / (bd)): 1) НОК(6; 8) = 24; доп. множители: к первой 4, ко второй 3
3. Итоговый ответ: 2) Вычитаем числители: (5 · 4 − 3 · 3) / 24 = (20 − 9) / 24 = 11 / 24
1. Главные формулы и правила темы «Вычитание дробей»
2. Подробный теоретический разбор, свойства и наглядные схемы
Вычитание дробей - это математическая операция, при которой необходимо:
- Привести дроби к общему знаменателю.
- Вычесть числители дробей.
- Оставить общий знаменатель прежним.
Пример:
Общий знаменатель: 12.
Для кого эта статья:
- Ученики и студенты, изучающие математику
- Родители, желающие помочь детям с математическими задачами
- Учителя, разрабатывающие учебные материалы по математике
Получи больше пользы от Skysmart:
-
Прокачивай знания на курсах математики
-
Выбирай из 1200+ репетиторов по математике
Записывайся на бесплатные курсы для детей
Понятие дроби
Дробь — одна из форм представления числа в математике. Это запись, в которой a и b являются числами или выражениями. Есть два формата записи:
- обыкновенный вид —
- десятичный вид — 0,5.
Над чертой принято писать делимое, которое является числителем. А под чертой всегда находится делитель, который называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.
Дроби бывают двух видов:
Числовые — состоят из чисел, например,
Алгебраические — состоят из переменных, например,
Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например
Неправильной — такую дробь, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например,
Основные свойства дробей:
Дробь не имеет значения, если знаменатель равен нулю.
Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
Равными называют
Если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.
онлайн-курсах Skysmart приглашает детей и подростков на курсы по математике — за интересными задачами, новыми прикладными знаниями и хорошими оценками!
Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Числитель и знаменатель - это компоненты дроби. Числитель - число над дробной чертой, знаменатель - под чертой. Например, в дроби 3/4, 3 - числитель, 4 - знаменатель.
Для вычитания дробей с одинаковыми знаменателями нужно от числителя первой отнять числитель второй, а знаменатель оставить тот же.
Прежде, чем зафиксировать ответ, важно проверить возможность сокращения.
Рассмотрим это правило на примере:
Вычитание дробей с разными знаменателями
Как вычитать дроби с разными знаменателями? Для этого приводим их к общему знаменателю и находим разность числителей.
Рассмотрим пример, в котором нужно найти разность
Как решаем:
Первым делом нам нужно привести дроби к общему знаменателю. Для определения единого знаменателя понадобится найти наименьшее общее кратное — НОК.
Чтобы найти НОК, раскладываем знаменатели 9 и 15 на простые множители:
9 = 3 × 3
15 = 3 × 5
Сначала выпишем множители из первого разложения: 3 × 3. Теперь добавим множитель из второго разложения, которого не было в первом — это 5. Перемножаем и получаем НОК:
НОК (9, 15) = 3 × 3 × 5 = 45
Найдем дополнительные множители. Для этого НОК делим на каждый знаменатель:
45 : 9 = 5
45 : 15 = 3
Полученные числа умножим на соответствующие дроби:
и
Перейдем к вычитанию заданных чисел:
Ответ:
Вычитание обыкновенной дроби из натурального числа
Для вычитания из обыкновенной дроби натурального числа необходимо это действие привести к вычитанию обыкновенных дробей.
Разберем для наглядности пример разности 3 и
Как решаем:
Представим натуральное число в виде смешанного — займем единицу и переведем ее в неправильную дробь с тем же знаменателем, что у вычитаемой:
Вычтем одну дробь из другой:
Ответ: две целых одна седьмая.
Вычитание натурального числа из обыкновенной дроби
Для вычитания натурального числа из обыкновенной дроби нужно последовать тому же алгоритму, что и в предыдущем примере. А именно: перевести натуральное число в вид дроби, привести все к единому знаменателю, найти разность.
Рассмотрим пример разности
Как решаем:
А еще можно вот так:
Представим
Произведем вычитание:
3. Сводная таблица всех формул и свойств для контрольной, ОГЭ и ЕГЭ
| Условие / Правило | Рабочая формула и пример применения |
|---|---|
| Вычитание с одинаковыми и разными знаменателями | a / c − b / c = (a − b) / c и a / b − c / d = (a·d − b·c) / (b·d) (знаменатели при вычитании НИКОГДА не вычитаются!). |
| Вычитание правильной дроби из единицы (1) и из целого числа N | единицу представляем со знаменателем вычитаемой дроби (1 = b / b): 1 − a / b = (b − a) / b; а у целого числа N занимаем единицу: N − a / b = (N − 1) + (b − a) / b! |
| Вычитание целого числа из дроби (получается отрицательная дробь) | a / b − 1 = −(1 − a / b) = −(b − a) / b. |
4. Практикум: разбор реальных задач с пошаговым решением
1. Находим наименьший общий знаменатель НОК(12; 18) = 36.
2. Дополнительный множитель к первой дроби равен 3, ко второй — 2: (7 · 3 − 5 · 2) / 36 = (21 − 10) / 36 = 11 / 36.
1. Приводим к общему знаменателю 25: 5/25 − 7/25.
2. Из меньшего вычитаем большее (ставим минус!): (5 − 7) / 25 = −2 / 25 = −8 / 100 = −0,08.
1. Разложим знаменатели: 36 = 9 · 4, а 45 = 9 · 5 ⇒ НОК(36; 45) = 9 · 4 · 5 = 180.
2. Вычитаем в знаменателе: 1/36 − 1/45 = (5 − 4) / 180 = 1 / 180.
3. Делим 1 на 1/180: ответ 180.
5. Контрольный чек-лист: частые ошибки и ловушки на экзамене
- Главное правило проверки ответа: мгновенный устный счёт для вычитания дроби из единицы (например, 1 − 5/13): просто вычтите из знаменателя числитель (13 − 5 = 8) и запишите над тем же знаменателем: 8/13!
- Контроль первой формулы (ОДИНАКОВЫЕ И РАЗНЫЕ ЗНАМЕНАТЕЛИ): Приводи дроби к наименьшему общему знаменателю НОК(b; d)! (a / c − b / c = (a − b) / c | a / b − c / d = (ad − bc) / (bd)).
- Контроль второй формулы (ВЫЧИТАНИЕ ДРОБИ ИЗ 1 И ИЗ ЦЕЛОГО ЧИСЛА N): Пример: 6 − 3/8 = 5 ⁸/₈ − 3/8 = 5 ⅝ (1 − a / b = (b − a) / b | N − a / b = (N − 1) + (b − a) / b).
Потренироваться самостоятельно с автопроверкой ответов можно в бесплатном тренажёре ЕГЭ от Skysmart: доступны разделы по базовой математике и профильной математике.
На онлайн-курсах по математике в Skysmart преподаватели разбирают каждый прототип ФИПИ на интерактивной доске и помогают довести решение задач первой и второй части до полного автоматизма.
6. Часто задаваемые вопросы (FAQ)
Какая главная формула в теме «Вычитание дробей»?
Базовое соотношение темы: a / c − b / c = (a − b) / c | a / b − c / d = (ad − bc) / (bd), а также вторая ключевая формула: 1 − a / b = (b − a) / b | N − a / b = (N − 1) + (b − a) / b. Подробный пример расчёта: Вычислить разность дробей: 5 / 6 − 3 / 8 (Задание №6 ОГЭ) ➔ 1) НОК(6; 8) = 24; доп. множители: к первой 4, ко второй 3 ➔ 2) Вычитаем числители: (5 · 4 − 3 · 3) / 24 = (20 − 9) / 24 = 11 / 24.
На какой ловушке чаще всего теряют баллы на контрольной, ОГЭ и ЕГЭ?
Главное правило для бланка ответов: мгновенный устный счёт для вычитания дроби из единицы (например, 1 − 5/13): просто вычтите из знаменателя числитель (13 − 5 = 8) и запишите над тем же знаменателем: 8/13!
Где скачать шпаргалку со всеми формулами для печати?
В первом экране статьи доступна бесплатная PDF-шпаргалка формата А4 со всеми формулами и алгоритмами темы «Вычитание дробей».
