Деление дробей: теория и практика

Понятие дроби

Дробь — одна из форм представления числа в математике. Это запись, в которой a и b являются числами или выражениями. Существует два формата записи:

• обыкновенный вид — 1/2 или a/b,
• десятичный вид — 0,5.

Над чертой принято писать делимое, которое является числителем, а под чертой всегда находится делитель, который называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление. В 5 классе ребята это уже знают.

Дроби бывают двух видов:

1. Числовые — состоят из чисел, например, 5/9 или (1,5 - 0,2)/15.
2. Алгебраические — состоят из переменных, например, (x + y)/(x - y). В этом случае значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 3/7 и 31/45.

Неправильной — ту, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 21/4. Такое число является смешанным и читается, как пять целых одна четвертая, а записывается — 5 1\4.

Деление дробных чисел

Деление — арифметическое действие, по которому можно узнать, сколько раз одно число содержится в другом. А еще деление — это обратное действие умножения.

Свойства деления:

1. При делении на единицу получится такое же число:

• a : 1 = a.

2. На ноль делить нельзя.

3. Когда делим ноль на любое число, всегда получаем ноль:

• 0 : a = 0.

4. Когда делим любое число на само себя получаем единичку:

• a : a = 1.

5. Когда делим сумму на какое-либо число, можно разделить на него каждое слагаемое, а потом сложить полученное:

• (a + b) : c = a : c + b : c.

6. Когда делим разность на какое-нибудь число, можно разделить на него уменьшаемое и вычитаемое отдельно и из первого частного вычесть второе:

• (a - b) : c = a : c - b : c.

7. Когда делим произведение двух множителей на число, можно разделить на него любой из множителей и частное умножить на второй множитель:

• (a * b) : c = (a : c) · b = a * (b : c).

Деление обыкновенных дробей

Как делить дробь на дробь? Выполняем следующую последовательность действий:

• числитель первой умножить на знаменатель второй, результат произведения записать в числитель новой дроби;
• знаменатель первой умножить на числитель второй, результат произведения записать в знаменатель новой дроби.

Другими словами это правило звучит так: чтобы разделить одну дробь на другую, надо первую умножить на обратную от второй.

Как делить дроби с разными знаменателями? Тут все просто: пользуемся правилами выше, поскольку на практике нам неважно, одинаковые знаменатели или нет.

Деление дроби на натуральное число

Для деления дроби на натуральное число нужно:

• представить данный делитель в виде неправильной дроби, где числитель равен этому числу, а знаменатель единица;
• произвести деление по предыдущему правилу.
  

Деление натурального числа на дробь

Чтобы поделить натуральное число на обыкновенную дробь нужно:

• знаменатель делителя умножить на число;
• числитель делителя записать в знаменатель.
  

Деление на смешанное число

Для деления смешанных чисел необходимо:

• представить числа в виде неправильных дробей
• разделить то, что получилось друг на друга.
  

Если урок в самом разгаре и посчитать нужно быстро — можно воспользоваться онлайн-калькулятором. Вот несколько подходящих:

• раз
• два
• три