Натуральные числа (множество N = {1, 2, 3, 4, ...}) — это целые положительные числа, которые возникают естественным образом при счёте предметов (первый, второй, третий...) или обозначении их количества. Наименьшим натуральным числом является единица (1), а наибольшего натурального числа не существует (натуральный ряд бесконечен).
- Главное правило: входит ли число 0 в натуральные числа? В российской школьной программе, ВПР, ОГЭ и ЕГЭ число 0 НЕ является натуральным числом (0 ∉ N)! Отрицательные и дробные числа также НЕ являются натуральными.
- Формула количества натуральных чисел от a до b включительно:
K = b − a + 1(например, с 10-й по 25-ю страницу книги ровно25 − 10 + 1 = 16страниц, а не 15!). - Сумма первых n натуральных чисел (формула Гаусса для ЕГЭ №19):
1 + 2 + 3 + ... + n = n · (n + 1) / 2.
Правило для бланка ОГЭ и ЕГЭ: в Задании №19 Профильного ЕГЭ («Даны натуральные числа...») фраза «натуральные числа» — это важнейшее ограничение задачи: ни одно из чисел НЕ может быть равно 0, отрицательным или дробным (все числа ≥ 1)!
2. Подстановка в формулу (N = { 1, 2, 3, 4, 5, ... } | Ноль 0 ∉ N!): Применяем формулу включённых концов: K = b − a + 1
3. Итоговый ответ: Считаем: 99 − 10 + 1 = 90 двузначных чисел!
1. Главные формулы и правила темы «Натуральные числа»
2. Подробный теоретический разбор, свойства и наглядные схемы
Наименьшее натуральное число — это 1. Натуральные числа используются для счета предметов и начинаются с единицы.
Пример:
- Природные числа такие как 1, 2, 3 и т.д.
Наибольшего натурального числа не существует.
Для кого эта статья:
- дети и подростки, изучающие математику в школе
- родители школьников, улучшающие математическую грамотность детей
- преподаватели, желающие использовать простой материал для объяснения понятия натуральных чисел
Получи больше пользы от Skysmart:
-
Прокачивай знания на курсах математики
-
Выбирай из 1200+ репетиторов по математике
Записывайся на бесплатные курсы для детей
Определение натурального числа
Натуральные числа — это числа, которые мы используем для подсчета чего-то конкретного, осязаемого.
Вот какие числа называют натуральными: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 и т. д.
Натуральный ряд — последовательность всех натуральных чисел, расположенных в порядке возрастания. Первые сто можно посмотреть в таблице.
| Особенности натуральных чисел |
|---|
|
Какие операции возможны над натуральными числами
- сложение:
слагаемое + слагаемое = сумма; - умножение:
множитель × множитель = произведение; - вычитание:
уменьшаемое − вычитаемое = разность.
При этом уменьшаемое должно быть больше вычитаемого, иначе в результате получится отрицательное число или ноль; - деление:
делимое : делитель = частное; - деление с остатком:
делимое / делитель = частное (остаток); - возведение в степень:
ab, где a — основание степени, b — показатель степени.
Записывайтесь на курсы обучения математике для учеников с 1 по 11 классы!
Десятичная запись натурального числа
В школе мы проходим тему натуральных чисел в 5 классе, но на самом деле многое нам может быть интуитивно понятно и раньше. Проговорим важные правила.
Мы регулярно используем цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. При записи любого натурального числа можно использовать только эти цифры без каких-либо других символов. Записываем цифры одну за другой в строчку слева направо, используем одну высоту.
Примеры правильной записи натуральных чисел: 208, 567, 24, 1 467, 899 112. Эти примеры показывают нам, что последовательность цифр может быть разной и некоторые даже могут повторяться.
077, 0, 004, 0931 — это примеры неправильной записи натуральных чисел, потому что ноль расположен слева. Число не может начинаться с нуля. Это и есть десятичная запись натурального числа.
Количественный смысл натуральных чисел
Натуральные числа несут в себе количественный смысл, то есть выступают в качестве инструмента для нумерации.
Представим, что перед нами банан 🍌. Мы можем записать, что видим 1 банан. При этом натуральное число 1 читается как «один» или «единица».
Но термин «единица» имеет еще одно значение: то, что можно рассмотреть, как единое целое. Элемент множества можно обозначить единицей. Например, любое дерево из множества деревьев — единица, любой листок из множества листков — единица.
Представим, что перед нами 2 банана 🍌🍌. Натуральное число 2 читается как «два». Далее, по аналогии:
| 🍌🍌🍌 | 3 предмета («три») |
| 🍌🍌🍌🍌 | 4 предмета («четыре») |
| 🍌🍌🍌🍌🍌 | 5 предметов («пять») |
| 🍌🍌🍌🍌🍌🍌 | 6 предметов («шесть») |
| 🍌🍌🍌🍌🍌🍌🍌 | 7 предметов («семь») |
| 🍌🍌🍌🍌🍌🍌🍌🍌 | 8 предметов («восемь») |
| 🍌🍌🍌🍌🍌🍌🍌🍌🍌 | 9 предметов («девять») |
Основная функция натурального числа — указать количество предметов.
Если запись числа совпадает с цифрой 0, то его называют «ноль». Напомним, что ноль — не натуральное число, но он может обозначать отсутствие. Ноль предметов значит — ни одного.
Однозначные, двузначные и трехзначные натуральные числа
Однозначное натуральное число — это такое число, в составе которого один знак, одна цифра. Девять однозначных натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Двузначные натуральные числа — те, в составе которых два знака, две цифры. Цифры могут повторяться или быть различными. Например: 88, 53, 70.
Если множество предметов состоит из девяти и еще одного, значит, речь идет об 1 десятке («один десяток») предметов. Если один десяток и еще один, значит, перед нами 2 десятка («два десятка») и так далее.
По сути, двузначное число — это набор однозначных чисел, где одно записывается справа, а другое слева. Число слева показывает количество десятков в составе натурального числа, а число справа — количество единиц. Всего двузначных натуральных чисел — 90.
Трехзначные натуральные числа — числа, в составе которых три знака, три цифры. Например: 666, 389, 702.
Одна сотня — это множество, состоящее из десяти десятков. Сотня и еще одна сотня — 2 сотни. Прибавим еще одну сотню — 3 сотни.
Вот как происходит запись трехзначного числа: натуральные числа записываются одно за другим слева направо.
Крайнее правое однозначное число указывает на количество единиц, следующее — на количество десятков, крайнее левое — на количество сотен. Цифра 0 показывает отсутствие единиц или десятков. Поэтому 506 — это 5 сотен, 0 десятков и 6 единиц.
Точно так же определяются четырехзначные, пятизначные, шестизначные и другие натуральные числа.
Многозначные натуральные числа
Многозначные натуральные числа состоят из двух и более знаков.
1 000 — это множество с десятью сотнями, 1 000 000 состоит из тысячи тысяч, а один миллиард — это тысяча миллионов. Тысяча миллионов, только представьте! То есть мы можем рассмотреть любое многозначное натуральное число как набор однозначных натуральных чисел.
Например, 2 873 206 содержит в себе: 6 единиц, 0 десятков, 2 сотни, 3 тысячи, 7 десятков тысяч, 8 сотен тысяч и 2 миллиона.
Сколько всего натуральных чисел?
Однозначных 9, двузначных 90, трехзначных 900 и т.д.
Свойства натуральных чисел
Об особенностях натуральных чисел мы уже знаем. А теперь подробно расскажем про их свойства:
| множество натуральных чисел | бесконечно и начинается с единицы (1) |
| за каждым натуральным числом следует другое | оно больше предыдущего на 1 |
| результат деления натурального числа на единицу (1) | само натуральное число: 5 : 1 = 5 |
| результат деления натурального числа самого на себя | единица (1): 6 : 6 = 1 |
| переместительный закон сложения | от перестановки мест слагаемых сумма не меняется: 4 + 3 = 3 + 4 |
| сочетательный закон сложения | результат сложения нескольких слагаемых не зависит от порядка действий: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) |
| переместительный закон умножения | от перестановки мест множителей произведение не изменится: 4 × 5 = 5 × 4 |
| сочетательный закон умножения | результат произведения множителей не зависит от порядка действий; можно хоть так, хоть эдак: (6 × 7) × 8 = 6 × (7 × 8) |
| распределительный закон умножения относительно сложения | чтобы умножить сумму на число, нужно каждое слагаемое умножить на это число и полученные результаты сложить: 4 × (5 + 6) = 4 × 5 + 4 × 6 |
| распределительный закон умножения относительно вычитания | чтобы умножить разность на число, можно умножить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое, а затем из первого произведения вычесть второе: 3 × (4 − 5) = 3 × 4 − 3 × 5 |
| распределительный закон деления относительно сложения | чтобы разделить сумму на число, можно разделить на это число каждое слагаемое и сложить полученные результаты: (9 + 8) : 3 = 9 : 3 + 8 : 3 |
| распределительный закон деления относительно вычитания | чтобы разделить разность на число, можно разделить на это число сначала уменьшаемое, а затем вычитаемое, и из первого произведения вычесть второе: (5 − 3) : 2 = 5 : 2 − 3 : 2 |
Разряды натурального числа и значение разряда
Напомним, что от позиции, на которой стоит цифра в записи числа, зависит ее значение. Так, например, 1 123 содержит в себе: 3 единицы, 2 десятка, 1 сотню, 1 тысячу. При этом можно сформулировать иначе и сказать, что в заданном числе 1 123 цифра 3 располагается в разряде единиц, 2 в разряде десятков, 1 в разряде сотен и 1 служит значением разряда тысяч.
Разряд — это позиция, место расположения цифры в записи натурального числа.
У каждого разряда есть свое название. Слева всегда располагаются старшие разряды, а справа — младшие. Чтобы быстрее запомнить, можно использовать таблицу.
Количество разрядов всегда соответствует количеству знаков в числе. В этой таблице есть названия всех разрядов для числа, которое состоит из 15 знаков. У следующих разрядов также есть названия, но они используются крайне редко.
Низший (младший) разряд многозначного натурального числа — разряд единиц.
Высший (старший) разряд многозначного натурального числа — разряд, соответствующий крайней левой цифре в заданном числе.
Вы наверняка заметили, что в учебниках часто ставят небольшие пробелы при записи многозначных чисел. Так делают, чтобы натуральные числа было удобно читать. А еще — чтобы визуально разделить разные классы чисел.
Класс — это группа разрядов, которая содержит в себе три разряда: единицы, десятки и сотни.
Десятичная система счисления
Люди в разные времена использовали разные методы записи чисел. И каждая система счисления имеет свои правила и особенности.
Десятичная система счисления — самая распространенная система счисления, в которой для записи чисел используют десять знаков: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
В десятичной системе значение одной и той же цифры зависит от ее позиции в записи числа. Например, число 555 состоит из трех одинаковых цифр. В этом числе первая слева цифра означает пять сотен, вторая — пять десятков, а третья — пять единиц. Так как значение цифры зависит от ее позиции, десятичную систему счисления называют позиционной.
Вопрос для самопроверки
Сколько натуральных чисел можно отметить на координатном луче между точками с координатами:
0 и 15;
20 и 50;
100 и 130?
3. Сводная таблица всех формул и свойств для контрольной, ОГЭ и ЕГЭ
| Условие / Правило | Рабочая формула и пример применения |
|---|---|
| Главное правило: входит ли число 0 в натуральные числа? | В российской школьной программе, ВПР, ОГЭ и ЕГЭ число 0 НЕ является натуральным числом (0 ∉ N)! Отрицательные и дробные числа также НЕ являются натуральными. |
| Формула количества натуральных чисел от a до b включительно | K = b − a + 1 (например, с 10-й по 25-ю страницу книги ровно 25 − 10 + 1 = 16 страниц, а не 15!). |
| Сумма первых n натуральных чисел (формула Гаусса для ЕГЭ №19) | 1 + 2 + 3 + ... + n = n · (n + 1) / 2. |
4. Практикум: разбор реальных задач с пошаговым решением
1. Оба конца отрезка [24; 53] включены, поэтому по формуле K = b − a + 1:
2. K = 53 − 24 + 1 = 30 страниц (если просто вычесть 53 − 24 = 29, потеряется первая 24-я страница!).
1. Применяем формулу суммы первых n натуральных чисел: S = n(n + 1) / 2.
2. Подставляем n = 60: S = (60 · 61) / 2 = 30 · 61 = 1830.
1. Запишем двузначное число с цифрами a и b как 10a + b, а перевёрнутое — как 10b + a.
2. По условию: (10a + b) + 27 = 10b + a ⇒ 9(b − a) = 27 ⇒ b − a = 3.
3. Из системы { b + a = 11; b − a = 3 } находим b = 7, a = 4. Искомое число: 47 (Проверка: 47 + 27 = 74).
5. Контрольный чек-лист: частые ошибки и ловушки на экзамене
- Главное правило проверки ответа: в Задании №19 Профильного ЕГЭ («Даны натуральные числа...») фраза «натуральные числа» — это важнейшее ограничение задачи: ни одно из чисел НЕ может быть равно 0, отрицательным или дробным (все числа ≥ 1)!
- Контроль первой формулы (ОПРЕДЕЛЕНИЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЧИСЛО 1): Используются для счёта предметов (отрицательных и дробей нет) (N = { 1, 2, 3, 4, 5, ... } | Ноль 0 ∉ N!).
- Контроль второй формулы ( КОЛИЧЕСТВО ЧИСЕЛ И СУММА ГАУССА): Сумма от 1 до n: 1 + 2 + ... + n = n · (n + 1) / 2 (От a до b включительно: K = b − a + 1).
Потренироваться самостоятельно с автопроверкой ответов можно в бесплатном тренажёре ЕГЭ от Skysmart: доступны разделы по базовой математике и профильной математике.
На онлайн-курсах по математике в Skysmart преподаватели разбирают каждый прототип ФИПИ на интерактивной доске и помогают довести решение задач первой и второй части до полного автоматизма.
6. Часто задаваемые вопросы (FAQ)
Какая главная формула в теме «Натуральные числа»?
Базовое соотношение темы: N = { 1, 2, 3, 4, 5, ... } | Ноль 0 ∉ N!, а также вторая ключевая формула: От a до b включительно: K = b − a + 1. Подробный пример расчёта: Сколько всего двузначных натуральных чисел существует (от 10 до 99)? ➔ Применяем формулу включённых концов: K = b − a + 1 ➔ Считаем: 99 − 10 + 1 = 90 двузначных чисел!.
На какой ловушке чаще всего теряют баллы на контрольной, ОГЭ и ЕГЭ?
Главное правило для бланка ответов: в Задании №19 Профильного ЕГЭ («Даны натуральные числа...») фраза «натуральные числа» — это важнейшее ограничение задачи: ни одно из чисел НЕ может быть равно 0, отрицательным или дробным (все числа ≥ 1)!
Где скачать шпаргалку со всеми формулами для печати?
В первом экране статьи доступна бесплатная PDF-шпаргалка формата А4 со всеми формулами и алгоритмами темы «Натуральные числа».
