Основные законы математики (арифметики и алгебры) — это 3 фундаментальных свойства сложения и умножения, которые выполняются для любых действительных чисел a, b, c: 1) переместительный (коммутативный) закон; 2) сочетательный (ассоциативный) закон; 3) распределительный (дистрибутивный) закон!
- 1. Переместительный (коммутативный) закон сложения и умножения: от перестановки слагаемых сумма не меняется:
a + b = b + a; от перестановки множителей произведение не меняется:a · b = b · a. - 2. Сочетательный (ассоциативный) закон (группировка удобных пар!):
(a + b) + c = a + (b + c)и(a · b) · c = a · (b · c). - 3. Распределительный (дистрибутивный) закон (связывает + и ·):
a · (b ± c) = a · b ± a · c(слева направо — раскрытие скобок; справа налево — вынесение общего множителя за скобки!). - Законы 0 и 1 (нейтральные элементы):
a + 0 = a;a − a = 0;a · 1 = a;a · 0 = 0;a : 0 — нельзя!
Правило для бланка ОГЭ и ЕГЭ: помните: вычитание и деление НЕ подчиняются переместительному и сочетательному законам (a − b ≠ b − a и a : b ≠ b : a; а также (a : b) : c = a : (b · c) ≠ a : (b : c))!
2. Подстановка в формулу (a + b = b + a | a · b = b · a | (ab) · c = a · (bc)): Выносим общий множитель 78 за скобки: 78 · (43 + 57)
3. Итоговый ответ: Считаем в скобках 100: 78 · 100 = 7800
1. Главные формулы и правила темы «Законы математики»
2. Подробный теоретический разбор, свойства и наглядные схемы
Для кого эта статья:
- Студенты, готовящиеся к экзаменам по математике
- Учителя и преподаватели математики
- Родители, желающие помочь детям в изучении математики
Получи больше пользы от Skysmart:
-
Прокачивай знания на курсах математики
-
Выбирай из 1200+ репетиторов по математике
Записывайся на бесплатные курсы для детей
Переместительный закон сложения
Начнем изучать основные законы математики со сложения натуральных чисел.
|
Переместительный закон сложения От перестановки мест слагаемых сумма не меняется. С помощью переменных его можно записать так: m + n = n + m |
Переместительный закон сложения работает для любых чисел.
Если прибавить шестерку к двойке — получим восьмерку. И наоборот, прибавим двойку к шестерке — снова получим восьмерку. Это доказывает справедливость переместительного закона сложения.
- 6 + 2 = 8
- 2 + 6 = 8
Приведем пример с весами, которые используют продавцы в магазинах.
Если мы положим на одну чашу весов 3 килограмма конфет, а на другую — такие же 3 килограмма конфет, то стрелка весов будет на нейтральной позиции. Это говорит нам о том, что чаши действительно весят одинаково.
При этом неважно, как будут лежать конфеты, в каком порядке. Если перемешать конфеты в пакете, как шары в лотерейном мешке — их вес не изменится и будет по-прежнему 3 килограмма. От перестановки мест конфет их сумма, то есть вес, не меняется.
Поэтому, между выражениями 8 + 2 и 2 + 8 можно поставить знак равенства. Это значит, что их сумма равна:
- 8 + 2 = 2 + 8
- 10 = 10
Формула переместительного закона для обыкновенных дробей:
Чтобы сложить две дроби с одинаковым знаменателем, нужно сложить числители, а знаменатель оставить прежним. Вот так:
Сочетательный закон сложения
Сочетательный закон сложения помогает группировать слагаемые для удобства их вычислений.
|
Сочетательный закон сложения: два способа
|
Чтобы лучше запомнить суть этого закона, просто выбирайте формулировку, которая вам больше нравится.
Рассмотрим сумму из трех слагаемых:
- 1 + 3 + 4
Чтобы вычислить это выражение, можно сначала сложить числа 1 и 3 и к полученному результату прибавить 4. Чтобы было удобнее, можно сумму 1 и 3 взять в скобки — так мы поймем, что ими нужно заняться в первую очередь:
- 1 + 3 + 4 = (1 + 3) + 4 = 4 + 4 = 8
Или по-другому: сложим числа 3 и 4 и к результату прибавим 1:
- 1 + 3 + 4 = 1 + (3 + 4) = 1 + 7 = 8
В обоих случаях получается один и тот же результат — что и требовалось доказать.
Между выражениями (1 + 3) + 4 и 1 + (3 + 4) можно поставить знак равенства, так как они равны одному и тому же значению:
- (1 + 3) + 4 = 1 + (3 + 4)
- 8 = 8
Отразим сочетательный закон сложения с помощью переменных:
(a + b) + c = a + (b + c)
Формула сочетательного закона для обыкновенных дробей:
Например, если к сумме одной седьмой и трёх седьмых прибавить четыре седьмых, то в результате получим восемь седьмых.
Переставим скобки — к одной седьмой прибавим сумму трёх седьмых и четырех седьмых. И снова ответ будет восемь седьмых.
Значит, сочетательный закон справедлив и для обыкновенных дробей.
Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.
Переместительный закон умножения
С каждым новым правилом решать задачки по математике все интереснее.
|
Переместительный закон умножения От перемены мест множителей произведение не меняется. То есть, если множимое и множитель поменять местами — их произведение никак не изменится. |
Проверим, действительно ли это так. Умножим пятерку на двойку, а потом наоборот:
- 5 * 2 = 10
- 2 * 5 = 10
В обоих случаях получили один ответ — значит между выражениями 5 * 2 и 2 * 5 можно поставить знак равенства.
- 5 * 2 = 2 * 5
- 10 = 10
Переместительный закон умножения с помощью переменных выглядит так:
a * b = b * a
Сочетательный закон умножения
Рассмотрим еще один полезный закон в математике.
|
Сочетательный закон умножения Если выражение состоит из нескольких сомножителей, то их произведение не зависит от порядка действий. Другими словами, умножайте числа в любом порядке — как вам больше нравится. |
Рассмотрим пример:
- 2 * 3 * 4
Это выражение можно вычислить в любом порядке. Давайте сначала перемножим числа 2 и 3, а полученный результат умножим на 4:
- 2 * 3 = 6
- 6 * 4 = 24
- 2 * 3 * 4 = 24
А теперь по-другому: перемножим числа 3 и 4, а результат умножим на 2:
- 3 * 4 = 12
- 2 * 12 = 24
- 2 * 3 * 4 = 24
Тот же ответ! Значит между выражениями (2 * 3) * 4 и 2 * (3 * 4) можно поставить знак равенства, так как они равны одному значению.
- (2 * 3) * 4 = 2 * (3 * 4)
- 6 * 4 = 2 * 12
- 24 = 24
Для любых натуральных чисел a, b и c верно равенство:
a * b * с = (a * b) * с = a * (b * с)
Пример
Вычислить: 5 * 6 * 7 * 8.
Как решаем:
Это выражение можно вычислять в любом порядке. Вычислим слева направо:
5 * 6 = 30
30 * 7 = 210
210 * 8 = 1680
5 * 6 * 7 * 8 = 1680
Ответ: 1680
Распределительный закон умножения
Для умножения есть еще один закон — распределительный. На математике в 6 классе он звучит так:
|
Распределительный закон умножения
|
То есть при помощи распределительного закона умножения можно умножить сумму на число и число на сумму. Проверим на примере:
- (3 + 5) * 2
Сначала выполним действие в скобках:
- (3 + 5) = 8
В главном выражении (3 + 5) * 2 заменим выражение в скобках на восьмерку:
- 8 * 2 = 16
Получили ответ 16. Этот же пример можно решить с помощью распределительного закона умножения. Для этого каждое слагаемое в скобках, нужно умножить на 2, а потом сложить полученные результаты:
- (3 + 5) * 2 = 3 * 2 + 5 * 2
- 3 * 2 = 6
- 5 * 2 = 10
- 6 + 10 = 16
Отразим распределительный закон умножения с помощью переменных:
(a + b) * c = a * c + b * c
Выражение в скобках (a + b) — это множимое. Тогда переменная с — множитель, так как они соединены знаком умножения.
Из переместительного закона умножения мы знаем, что от перемены мест множимого и множителя произведение не изменится.
Если множимое (a + b) и множитель c поменять местами, то получим выражение c * (a + b). Тогда получится, что мы умножаем переменную c на сумму (a + b). Для такого умножения можно применять распределительный закон умножения. Переменную c можно умножить на каждое слагаемое в скобках:
c * (a + b) = c * a + c * b
Пример 1
Решить: 5 * (3 + 2).
Как решаем:
Умножим пятерку на каждое слагаемое в скобках и сложим полученные результаты:
5 * (3 + 2) = 5 * 3 + 5 * 2 = 15 + 10 = 25
Ответ: 25
Пример 2
Найти значение выражения 2 * (5 + 2).
Как решаем:
Умножим двойку на каждое слагаемое в скобках и сложим полученные результаты:
2 * (5 + 2) = 2 * 5 + 2 * 2 = 10 + 4 = 14
Ответ: 4.
Если в скобках не сумма, а разность, то сначала нужно умножить множимое на каждое число, которое в скобках. А после из полученного первого числа вычесть второе число.
Пример 3
Решить: 4 * (6 − 2).
Как решаем:
Умножим четверку на каждое число в скобках. Из полученного первого числа вычтем второе число:
4 * (6 − 2) = 4 * 6 − 4 * 2 = 24 − 8 = 16
Ответ: 16
Распределительный закон умножения для суммы обыкновенных дробей:
Распределительный закон умножения для разности обыкновенных дробей:
Проверим справедливость этого закона:
Посчитаем, чему равна левая часть равенства.
Теперь посчитаем, чему равна правая часть равенства.
Так мы доказали справедливость распределительного закона.
Задания для самопроверки
Давайте потренируемся! Решите примеры и сравните с ответами — только чур, не подглядывать :)
Задание 1. Найти значение выражения: 8 * (1 + 6).
Задание 2. Применить распределительный закон умножения: 2 * (9 + 5).
Задание 3. Решить в порядке выполнения действий: 3 * (6 + 4) + 7 * (8 + 2).
Задание 4. Решить выражение: 4 * (5 + 4) + 9 * (3 + 2).
Задание 5. Применить распределительный закон умножения: 13 * (3 + 8) + 5 * (4 + 2)
Ответы
- 56;
- 28;
- 100;
- 81;
- 173.
3. Сводная таблица всех формул и свойств для контрольной, ОГЭ и ЕГЭ
| Условие / Правило | Рабочая формула и пример применения |
|---|---|
| 1. Переместительный (коммутативный) закон сложения и умножения | от перестановки слагаемых сумма не меняется: a + b = b + a; от перестановки множителей произведение не меняется: a · b = b · a. |
| 2. Сочетательный (ассоциативный) закон (группировка удобных пар!) | (a + b) + c = a + (b + c) и (a · b) · c = a · (b · c). |
| 3. Распределительный (дистрибутивный) закон (связывает + и ·) | a · (b ± c) = a · b ± a · c (слева направо — раскрытие скобок; справа налево — вынесение общего множителя за скобки!). |
| Законы 0 и 1 (нейтральные элементы) | a + 0 = a; a − a = 0; a · 1 = a; a · 0 = 0; a : 0 — нельзя! |
4. Практикум: разбор реальных задач с пошаговым решением
1. По переместительному и сочетательному законам сложения: (137 + 63) + (89 + 11) = 200 + 100 = 300.
2. По законам умножения: (25 · 4) · 37 = 100 · 37 = 3700.
3. По распределительному закону (99 = 100 − 1): (100 − 1) · 16 = 1600 − 16 = 1584.
1. Закон нуля при умножении: произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю (a · b = 0 ⇔ a = 0 или b = 0).
2. Приравниваем скобки к нулю: x − 5 = 0 или x + 8 = 0 ⇒ x₁ = 5; x₂ = −8.
1. Левое выражение: (24 : 6) : 2 = 4 : 2 = 2.
2. Правое выражение: 24 : (6 : 2) = 24 : 3 = 8.
3. Вывод: 2 ≠ 8 — для деления сочетательный закон НЕ работает!
5. Контрольный чек-лист: частые ошибки и ловушки на экзамене
- Главное правило проверки ответа: помните: вычитание и деление НЕ подчиняются переместительному и сочетательному законам (a − b ≠ b − a и a : b ≠ b : a; а также (a : b) : c = a : (b · c) ≠ a : (b : c))!
- Контроль первой формулы (ПЕРЕМЕСТИТЕЛЬНЫЙ И СОЧЕТАТЕЛЬНЫЙ ЗАКОНЫ): Золотые пары для счёта в уме: 25 · 4 = 100, 125 · 8 = 1000 (a + b = b + a | a · b = b · a | (ab) · c = a · (bc)).
- Контроль второй формулы (РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНЫЙ ЗАКОН (СКОБКИ)): Вычитание и деление НЕ переместительны: a − b ≠ b − a! (a · (b ± c) = a · b ± a · c).
Потренироваться самостоятельно с автопроверкой ответов можно в бесплатном тренажёре ЕГЭ от Skysmart: доступны разделы по базовой математике и профильной математике.
На онлайн-курсах по математике в Skysmart преподаватели разбирают каждый прототип ФИПИ на интерактивной доске и помогают довести решение задач первой и второй части до полного автоматизма.
6. Часто задаваемые вопросы (FAQ)
Какая главная формула в теме «Законы математики»?
Базовое соотношение темы: a + b = b + a | a · b = b · a | (ab) · c = a · (bc), а также вторая ключевая формула: a · (b ± c) = a · b ± a · c. Подробный пример расчёта: Вычислить по распределительному закону: 78 · 43 + 78 · 57 ➔ Выносим общий множитель 78 за скобки: 78 · (43 + 57) ➔ Считаем в скобках 100: 78 · 100 = 7800.
На какой ловушке чаще всего теряют баллы на контрольной, ОГЭ и ЕГЭ?
Главное правило для бланка ответов: помните: вычитание и деление НЕ подчиняются переместительному и сочетательному законам (a − b ≠ b − a и a : b ≠ b : a; а также (a : b) : c = a : (b · c) ≠ a : (b : c))!
Где скачать шпаргалку со всеми формулами для печати?
В первом экране статьи доступна бесплатная PDF-шпаргалка формата А4 со всеми формулами и алгоритмами темы «Законы математики».
