Векторное произведение двух векторов (a × b) в трёхмерном пространстве — это третий вектор c, который перпендикулярен плоскости обоих исходных векторов, направлен по правилу буравчика (правой руки), а его длина численно равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах: |a × b| = |a| · |b| · sin φ.
- Модуль (длина) векторного произведения через угол φ:
|a × b| = |a| · |b| · sin φ. - В координатах (x₁, y₁, z₁) и (x₂, y₂, z₂) через определитель:
a × b = (y₁z₂ − z₁y₂; z₁x₂ − x₁z₂; x₁y₂ − y₁x₂). - Площадь параллелограмма и треугольника на векторах:
S_пар = |a × b|, а площадь треугольника —S_тр = ½ · |a × b|. - Критерий коллинеарности (параллельности) векторов: векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда
a × b = 0.
Правило для бланка ОГЭ и ЕГЭ: при перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак на противоположный (антикоммутативность: b × a = −(a × b)).
c_y = −(1·6 − 3·4) = −(6 − 12) = 6
c_z = 1·5 − 2·4 = 5 − 8 = -3
Длина: |c| = √(9 + 36 + 9) = √54 ≈ 7.35 (площадь параллелограмма)
1. Определение и физический смысл векторного произведения
Векторное произведение обозначается как [a, b] или a × b. Вектор-результат направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы a и b, образуя правую тройку.
2. Вычисление в координатах через определитель
Координаты вектора-результата находятся через определитель матрицы 3-го порядка:
Получи больше пользы от Skysmart:
-
Подготовься к ОГЭ на пятёрку
-
Подготовься к ЕГЭ на высокие баллы
Записывайся на бесплатные курсы для детей
Решай задания в бесплатном тренажёре ЕГЭ
3. Примеры решения задач
1. Применяем формулу модуля векторного произведения: |a × b| = |a| · |b| · sin φ.
2. Подставляем значения (sin 30° = 0,5): |a × b| = 6 · 10 · 0,5 = 30.
3. Площадь параллелограмма, построенного на этих векторах, равна модулю их векторного произведения: S = 30.
1. Вычисляем три компоненты по формуле определителя 3×3:
• c_x = y₁z₂ − z₁y₂ = 2·0 − 3·1 = −3;
• c_y = z₁x₂ − x₁z₂ = 3·2 − 1·0 = 6;
• c_z = x₁y₂ − y₁x₂ = 1·1 − 2·2 = −3.
1. Находим векторное произведение AB × AC: c_x = 0·4 − 0·3 = 0; c_y = 0·0 − 2·4 = −8; c_z = 2·3 − 0·0 = 6 ⇒ AB × AC = (0; −8; 6).
2. Находим длину полученного вектора: |AB × AC| = √(0² + (−8)² + 6²) = √(64 + 36) = 10.
3. Площадь треугольника равна половине модуля: S = ½ · 10 = 5.
На Профильном ЕГЭ координатный метод позволяет решить задачу №14 за 15 минут по чётким формулам без сложных дополнительных геометрических построений.
На онлайн-курсах по математике в Skysmart эксперты разбирают применение векторов для любых пространственных многогранников.
4. Часто задаваемые вопросы (FAQ)
В чем отличие скалярного произведения от векторного?
Скалярное произведение даёт в результате число (скаляр), а векторное произведение создаёт новый трёхмерный вектор, перпендикулярный обоим исходным.
Чему равно векторное произведение одинаковых векторов [a × a]?
Оно строго равно нулевому вектору, поскольку угол между ними φ = 0°, а sin 0° = 0.
Почему векторное произведение антикоммутативно?
При перестановке множителей [b × a] меняется ориентация правой тройки на левую, поэтому вектор поворачивается на 180°: [b × a] = −[a × b].
