Первообразная функция F(x) для заданной функции f(x) на интервале — это такая функция, производная которой во всех точках интервала равна исходной функции: F'(x) = f(x). По формуле Ньютона — Лейбница площадь криволинейной трапеции под графиком неотрицательной функции f(x) на отрезке [a; b] равна приращению её первообразной: S = ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a).
- Определение и общий вид семейства первообразных:
F'(x) = f(x), общий вид:F(x) + C(где C — произвольная константа). - Первообразная степенной функции (при n ≠ −1):
∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / (n + 1) + C; а приn = −1:∫ (1/x) dx = ln|x| + C. - Формула Ньютона — Лейбница (Задание №8 Профильного ЕГЭ):
S = ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)(из значения в правом конце вычитаем значение в левом!).
Правило для бланка ОГЭ и ЕГЭ: чтобы мгновенно проверить любую найденную первообразную F(x), просто возьмите от неё производную F'(x) — должна получиться исходная функция f(x)!
2. F(2) = 2³ = 8, F(0) = 0.
3. По формуле Ньютона — Лейбница: S = 8 − 0 = 8.00.
1. Определение первообразной и теорема Ньютона — Лейбница
Практикуйся по этой теме! Пройди задание №8 ЕГЭ по профильной математике |
Поговорим мы сегодня именно об этой прекрасной даме: узнаем, что такое первообразная, как она связана с интегралами и производными, и что самое важное, как её рассчитать без особого труда.
Дифференцирование и интегрирование
Если проанализировать все математические действия, то большинству из них будет соответствовать какое-то обратное:
-
сложение обратно вычитанию,
-
умножение — делению,
-
возведение в степень — извлечению арифметического корня.
С производной то же самое: мы можем продифференцировать функцию, а можем произвести обратный процесс — интегрирование.
Дифференциация — операция взятия полной или частной производной функции.
Интегрирование — процесс поиска интеграла; восстановление функции по её производной.
Нахождение производной от функции обозначается знаком ′. Так, если исходная функция — y, то её производная будет обозначаться y′.
Чтобы взять производную от функции, мы воспользуемся таблицей производных и правилами дифференцирования.
|
Функция f (x) |
Производная f' (х) |
|---|---|
|
С (т. е. константа, любое число) |
0 |
|
х |
1 |
|
xn |
nxn-1 |
|
√x |
1/(2√x) |
|
sin x |
cos x |
|
cos x |
-sin x |
|
tg x |
1/cos2(х) |
|
ctg x |
-1/sin2x |
|
ex |
ex |
|
ax |
ax * ln a |
|
ln x |
1/x |
|
logax |
1/(x * ln a) |
Правила дифференцирования
(c ⋅ f)′ = c ⋅ f′
(u + v)′ = u′ + v′
(u - v)′ = u′ - v′
(u ⋅ v)′ = u′v + v′u
(u/v)' = (u'v - v'u)/v2
u, v, f — это функции, а c — константа (любое число).
У интегрирования тоже есть своё обозначение — ∫. То есть если мы хотим взять интеграл от функции f(x), мы запишем это так: ∫f(x) dx.
Внимательные заметили в записи интегрирования непривычное для нас «dx». Что это такое? Зачем добавлять эти буквы в выражение для интеграла? Сейчас во всём разберёмся!
Получи больше пользы от Skysmart:
-
Подготовься к ОГЭ на пятёрку
-
Подготовься к ЕГЭ на высокие баллы
Записывайся на бесплатные курсы для детей
Решай задания в бесплатном тренажёре ЕГЭ
Дифференциал
Разберём буквы dx по отдельности:
-
d — это дифференциал,
-
х — функция, по которой будет произведено дифференцирование.
Так, если мы дифференцируем функции y, f, m, то их дифференциалы запишем соответственно как dy, df, dm.
Дифференциал в математике (от лат. differentia — разность, различие) — линейная часть приращения функции.
То есть это понятие родственно производной — но для чего его записывать рядом с интегралом?
Для понимания важности дифференциала в записи рассмотрим рисунок:
Геометрический смысл интеграла — это площадь фигуры под кривой функции. Если поместить график в декартову систему координат OХY, то эту площадь можно рассчитать относительно и оси ОХ, и оси ОУ, и именно дифференциал вносит ясность в выбор.
Понятие дифференциала в математике очень важное, глубокое, имеет множество нюансов использования, но сейчас нам важно понимать две вещи:
-
дифференциал показывает, какую конкретно функцию мы будем интегрировать;
-
его обязательно нужно записывать рядом с интегралом!
Что такое первообразная?
Пришло время познакомиться с её величеством первообразной! Начнём с определения.
Первообразная для функции f(x) — это такая функция F(x), производная которой равна f(x). То есть выполняется равенство F'(x) = f(x).
Пример 1: мы знаем, что ускорение является производной от скорости. Тогда по нему можно найти скорость, восстановив функцию и найдя его первообразную.
Пример 2: производная функции –sin(x). Посмотрим внимательно в таблицу производных: cos'(x) = –sin(x). Тогда первообразная функции sin(x) будет равна –cos(x) + С с учётом постоянной величины.
Константа
Зачем добавлять константу к первообразной?
Представьте, что нам необходимо найти производную функций:
−cos(x) + 3,
−cos(x) + 5,
−cos(x) − 6.
Тогда производная будет равна sin(x) для всех трёх вариантов, так как производная любого числа равна нулю:
(−cos(x) + 3)' = sin (x),
(−cos(x) + 5)' = sin (x),
(−cos(x) − 6)' = sin (x).
Выходит, что получить исходную функцию в первозданном виде невозможно, но учесть дополнительное слагаемое в виде числа нам нужно. Именно поэтому в первообразной добавляют константу «+ С». Выражение, которое имеет общий вид F(x) + С, называется множеством первообразных функции.
Отсюда вытекает свойство первообразной: любые две первообразные одной и той же функции отличаются друг от друга не более чем на постоянную величину C.
Правила нахождения первообразной
Нахождение первообразной функции технически связано с поиском неопределённого интеграла функции.
Неопределённый интеграл — это интеграл, для которого не задан промежуток интегрирования.
Важный момент: если продифференцировать можно любую функцию, то найти первообразную функции можно не всегда.
Об этом говорит достаточное условие интегрируемости: если на некотором промежутке функция непрерывна, то она интегрируема на нём.
Каким образом можно найти первообразную функцию? Всё просто! Как и в случае с производной, мы можем воспользоваться готовой таблицей первообразных и свойствами неопределённого интеграла!
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
«Высокий» логарифм:
-
«Длинный» логарифм:
Свойства неопределённого интеграла
Свойства неопределённого интеграла можно назвать правилами интегрирования — основываясь на них, мы сможем находить первообразную сложных функций, сводя их к лёгким.
-
Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению:
-
Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:
-
Константу можно вынести из-под знака интеграла: то есть, если
-
Неопределённый интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов:
Примеры решения заданий
Задание 1
Найди первообразную функции
-
Записываем неопределённый интеграл:
-
Применяем свойство неопределённого интеграла об алгебраической сумме функций:
-
Выносим константы за знак интеграла:
-
Проводим интегрирование согласно таблице первообразных:
Задание 2
Вычисли неопределенный интеграл
-
Раскрываем скобку по формуле квадрата суммы и вносим х в скобку:
-
Воспользуемся свойством неопределенного интеграла об алгебраической сумме функций, выносим константы за знак интеграла и находим первообразную:
Интегрирование и нахождение первообразной — одна из самых сложных, но одновременно интересных тем алгебры. Иногда задания похожи на головоломку: необходимо выбрать верный способ решения, учесть все нюансы, выполнить верные вычисления. Научиться выполнять такие задания можно на уроках онлайн-курса математики в школе Skysmart: там вы не только подготовитесь к экзаменам, но и научитесь находить нестандартные решения, мыслить логически и строить самые неопровержимые доказательства.
2. Практикум: разбор реальных задач ОГЭ и ЕГЭ
1. Применяем формулу Ньютона — Лейбница: S = F(3) − F(1).
2. Считаем F(3) = 27 − 27 + 15 − 4 = 11; считаем F(1) = 1 − 3 + 5 − 4 = −1.
3. Вычитаем: S = 11 − (−1) = 12.
1. Находим общее семейство первообразных: F(x) = x⁴ − 3x² + C.
2. Подставляем координаты точки M(1; 5): 5 = 1⁴ − 3·1² + C ⇒ 5 = −2 + C ⇒ C = 7.
3. Искомая первообразная: F(x) = x⁴ − 3x² + 7.
1. По определению первообразной F'(x) = f(x), поэтому уравнение f(x) = 0 равносильно уравнению F'(x) = 0.
2. Производная F'(x) равна нулю в точках максимума и минимума графика F(x) ⇒ ровно 4 решения.
3. Контрольный чек-лист: на чём срезаются школьники
- Ловушка экзамена: Не путайте первообразную и производную: для x² производная равна 2x, а первообразная равна x³/3!
- Ловушка экзамена: В формуле Ньютона — Лейбница вычитают F(верхний предел) минус F(нижний предел): F(b) − F(a).
- Ловушка экзамена: При вычислении площади под осью Ox интеграл отрицателен, поэтому для площади берётся модуль |F(b) − F(a)|.
В задании №7 ЕГЭ геометрический смысл интеграла — один из самых лёгких типов при знании формулы Ньютона — Лейбница. Эксперты Skysmart научат решать их за 1 минуту.
На индивидуальных уроках на онлайн-курсах по математике в Skysmart методисты и действующие эксперты экзаменационной комиссии разбирают все подводные камни темы и доводят решение до автоматизма.
4. Ответы на частые вопросы (FAQ)
Сколько первообразных имеет одна функция?
Бесконечно много: они отличаются друг от друга на произвольную постоянную константу C.
Чему равна первообразная для 1/x?
Первообразная для 1/x равна натуральному логарифму модуля: ln|x| + C.
