Таблица степеней натуральных чисел (от 2 до 10) — это справочная таблица готовых значений выражения aⁿ, которую необходимо знать наизусть для мгновенного решения показательных и логарифмических уравнений (Задания №6, №7, №13 и №15 ЕГЭ и №8 ОГЭ) без калькулятора!
- Степени двойки (2ⁿ) и тройки (3ⁿ) — главные ряды ЕГЭ: 2ⁿ:
2¹=2, 2²=4, 2³=8, 2⁴=16, 2⁵=32, 2⁶=64, 2⁷=128, 2⁸=256, 2⁹=512, 2¹⁰=1024; 3ⁿ:3¹=3, 3²=9, 3³=27, 3⁴=81, 3⁵=243, 3⁶=729. - Степени чисел 4, 5, 6 и 7: 4ⁿ:
4²=16, 4³=64, 4⁴=256; 5ⁿ:5²=25, 5³=125, 5⁴=625; 6ⁿ:6²=36, 6³=216; 7ⁿ:7²=49, 7³=343. - Квадраты чисел от 11 до 25 (для теоремы Пифагора и дискриминантов):
11²=121, 12²=144, 13²=169, 14²=196, 15²=225, 16²=256, 17²=289, 18²=324, 19²=361, 20²=400, 25²=625.
Правило для бланка ОГЭ и ЕГЭ: в показательных и логарифмических задачах ЕГЭ как только вы видите числа 64, 81, 125, 128, 216, 243, 256, 343, 512, 625 — сразу заменяйте их степенью простого числа: 243 = 3⁵, 128 = 2⁷, 216 = 6³, 343 = 7³, 625 = 5⁴!
2. Подстановка в формулу (2⁵=32, 2⁶=64, 2⁷=128, 2⁸=256, 2⁹=512, 2¹⁰=1024): По таблице степеней: 128 = 2⁷, а 243 = 3⁵; куб 5³ = 125
3. Итоговый ответ: 7 + 5 − 125 = 12 − 125 = −113
1. Главные формулы и правила темы «Таблица степеней и калькулятор»
2. Подробный теоретический разбор, свойства и наглядные схемы
Степень числа - это результат многократного умножения числа (основания) на себя столько раз, сколько указано в показателе степени. Например,
Для кого эта статья:
- Студенты и школьники, изучающие математику
- Учителя и репетиторы, нуждающиеся в учебных материалах
- Люди, интересующиеся онлайн-калькуляторами и таблицами степеней
Получи больше пользы от Skysmart:
-
Прокачивай знания на курсах математики
-
Выбирай из 1200+ репетиторов по математике
Записывайся на бесплатные курсы для детей
Онлайн-калькулятор степеней
Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n раз подряд. an — степень, где: a — основание степени, n — показатель степени.
Результат:
Основные понятия
Степень числа с натуральным показателем — это результат многократного умножения числа на себя. Само число называют основанием степени, а количество операций умножения — показателем степени.
- an = a × a × … × a, где a — основание степени,
- n — натуральный показатель степени.
Запись читается, как «a» в степени «n».
Вот пример для наглядности:
- 35 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243
Эту запись можно прочитать тремя способами:
- 3 в 5 степени;
- пятая степень числа три;
- возвести число три в пятую степень.
Свойства степеней
Свойства степеней обычно используют, чтобы сократить или упростить сложные примеры. Удобно использовать вместе с таблицей степеней и таблицей умножения.
|
a1 = а a0 = 1 (a ≠ 0) a−n = 1 : an am × an = am+n am : an = am-n (a × b)n = an × bn (am)n = am×n (a : b)n = an : bn |
Подготовка к ЕГЭ по математике онлайн поможет снять стресс перед экзаменом и повысит шансы на высокий балл.
Таблица степеней от 1 до 10
Таблица степеней — это перечень чисел от 1 до 10, возведенных в степень от 1 до 10. Ниже приведены два вида таблиц: выберите ту, которая удобнее для вас, скачайте на телефон или распечатайте и положите в учебник.
Как найти необходимые значения в этой таблице:
- В первом столбце находим число, которое обозначает степень. Запомним номер этой строки.
- В первой строке находим показатель степени. Запомним найденный столбец.
- На пересечении строки и столбца находится ответ.
В этой табличке мы просто ищем нужное нам число в степени и получаем ответ.
А если ответ нужно получить как можно быстрее, можно использовать онлайн-калькулятор степеней.
Решение задач
Задание 1. Упростить и решить выражение 52 × 53.
Как решаем:
52 × 53 = 52+3 = 55 = 3125
Задание 2. Упростить и решить выражение 24 × 33 × 25.
Как решаем:
24 × 33 × 25 = 24+5 × 33 = 29 × 33 = 512 × 27 = 13 824
Задание 3. Найти 364.
Как решаем:
При условии, что у нас есть только таблица до 10, разложим основание степени на множители:
364 = 64 × 64 = 1296 × 1296 = 1 679 616
364 = 64 × 64 = 68 = 1 679 616
3. Сводная таблица всех формул и свойств для контрольной, ОГЭ и ЕГЭ
| Условие / Правило | Рабочая формула и пример применения |
|---|---|
| Степени двойки (2ⁿ) и тройки (3ⁿ) — главные ряды ЕГЭ | 2ⁿ: 2¹=2, 2²=4, 2³=8, 2⁴=16, 2⁵=32, 2⁶=64, 2⁷=128, 2⁸=256, 2⁹=512, 2¹⁰=1024; 3ⁿ: 3¹=3, 3²=9, 3³=27, 3⁴=81, 3⁵=243, 3⁶=729. |
| Степени чисел 4, 5, 6 и 7 | 4ⁿ: 4²=16, 4³=64, 4⁴=256; 5ⁿ: 5²=25, 5³=125, 5⁴=625; 6ⁿ: 6²=36, 6³=216; 7ⁿ: 7²=49, 7³=343. |
| Квадраты чисел от 11 до 25 (для теоремы Пифагора и дискриминантов) | 11²=121, 12²=144, 13²=169, 14²=196, 15²=225, 16²=256, 17²=289, 18²=324, 19²=361, 20²=400, 25²=625. |
4. Практикум: разбор реальных задач с пошаговым решением
1. По таблице степеней 128 = 2⁷ ⇒ x − 3 = 7 ⇒ x = 10.
2. По таблице степеней 625 = 5⁴ ⇒ 2x − 1 = 4 ⇒ 2x = 5 ⇒ x = 2,5.
1. По таблице кубов и четвёртых степеней: 216 = 6³; 343 = 7³; 256 = 4⁴.
2. Извлекаем корни: 6 + 7 − 4 = 9.
1. Правило: умножаем цифру десятков n на следующее за ней число (n + 1) и приписываем справа 25!
2. Для 65²: 6 · 7 = 42 ➔ приписываем 25 = 4225. Для 85²: 8 · 9 = 72 ➔ 7225.
5. Контрольный чек-лист: частые ошибки и ловушки на экзамене
- Главное правило проверки ответа: в показательных и логарифмических задачах ЕГЭ как только вы видите числа 64, 81, 125, 128, 216, 243, 256, 343, 512, 625 — сразу заменяйте их степенью простого числа: 243 = 3⁵, 128 = 2⁷, 216 = 6³, 343 = 7³, 625 = 5⁴!
- Контроль первой формулы (СТЕПЕНИ ДВОЙКИ (2ⁿ) И ТРОЙКИ (3ⁿ) НАИЗУСТЬ): Тройка: 3³ = 27, 3⁴ = 81, 3⁵ = 243, 3⁶ = 729 (2⁵=32, 2⁶=64, 2⁷=128, 2⁸=256, 2⁹=512, 2¹⁰=1024).
- Контроль второй формулы (КУБЫ ЧИСЕЛ И КВАДРАТЫ НА «5»): Квадрат числа n5: умножь n · (n + 1) и допиши 25 (65² = 4225)! (4³ = 64 | 5³ = 125 (5⁴ = 625) | 6³ = 216 | 7³ = 343).
Потренироваться самостоятельно с автопроверкой ответов можно в бесплатном тренажёре ЕГЭ от Skysmart: доступны разделы по базовой математике и профильной математике.
На онлайн-курсах по математике в Skysmart преподаватели разбирают каждый прототип ФИПИ на интерактивной доске и помогают довести решение задач первой и второй части до полного автоматизма.
6. Часто задаваемые вопросы (FAQ)
Какая главная формула в теме «Таблица степеней и калькулятор»?
Базовое соотношение темы: 2⁵=32, 2⁶=64, 2⁷=128, 2⁸=256, 2⁹=512, 2¹⁰=1024, а также вторая ключевая формула: 4³ = 64 | 5³ = 125 (5⁴ = 625) | 6³ = 216 | 7³ = 343. Подробный пример расчёта: Вычислить без калькулятора: log₂ 128 + log₃ 243 − 5³ ➔ По таблице степеней: 128 = 2⁷, а 243 = 3⁵; куб 5³ = 125 ➔ 7 + 5 − 125 = 12 − 125 = −113.
На какой ловушке чаще всего теряют баллы на контрольной, ОГЭ и ЕГЭ?
Главное правило для бланка ответов: в показательных и логарифмических задачах ЕГЭ как только вы видите числа 64, 81, 125, 128, 216, 243, 256, 343, 512, 625 — сразу заменяйте их степенью простого числа: 243 = 3⁵, 128 = 2⁷, 216 = 6³, 343 = 7³, 625 = 5⁴!
Где скачать шпаргалку со всеми формулами для печати?
В первом экране статьи доступна бесплатная PDF-шпаргалка формата А4 со всеми формулами и алгоритмами темы «Таблица степеней и калькулятор».
