Действительная числа

На каждом уроке математики мы решаем задачки, в которых нужно считать и измерять. Сложность может быть разной, но их всех объединяет одно — числа. В этом материале узнаем, какие числа называются действительными.
  • Автор

    Лидия Казанцева

  • Дата публикации

    30.12.2020

  • Просмотры

    4311

Определение действительных чисел

Рациональные числа объединяют в себе целые числа и дробные числа. А действительные числа объединяют рациональные и иррациональные числа. Отсюда сформулируем определение действительных чисел:

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде положительной или отрицательной обыкновенной дроби или числа ноль. Множество рациональных чисел —


Множество рациональных чисел

Иррациональное число — это число, которое невозможно выразить в форме деления двух целых чисел, то есть в рациональной дроби m/n. Оно может быть выражено в форме бесконечной непериодической десятичной дроби. Множество иррациональных чисел —


Множество иррациональных чисел

Множество действительных чисел состоит из множества рациональных чисел вместе с множеством иррациональных чисел. Это множество R иначе обозначается как область действительных чисел (-∞; +∞). Можно записать так, что R есть объединение двух множеств: рациональных и иррациональных чисел:


объединение двух множеств

Так как любое рациональное число может быть записано в виде конечной десятичной дроби или бесконечной периодической дроби, а иррациональные числа представляются бесконечными непериодическими десятичными дробями, то определение действительных чисел можно сформулировать по-другому.

Действительные числа — это числа, которые можно записать в виде конечной или бесконечной, периодической или непериодической десятичной дроби. Их иногда называют вещественными.

Примеры действительных чисел:


Примеры действительных чисел

Число нуль также является действительным числом, так как 0 — рациональное число.

Из определения действительных чисел можно сделать вывод, что существуют как положительные, так и отрицательные действительные числа, а нуль — ни положительное, ни отрицательное действительное число.

При помощи действительных чисел можно описать величины, значения которых могут изменяться непрерывно. Проще говоря, действительные числа дают возможность численно выражать значение непрерывно изменяющейся величины через единичное значение этой величины.

Действительные числа на координатной прямой

Координатная прямая — это прямая, которая изображается с определенной точкой отсчета, которая принимается за 0, единичным отрезком и заданным направлением движения.

Интересный факт: действительные числа заполняют каждую точку координатной прямой.

Каждой точке координатной прямой соответствует единственное действительное число — координата этой точки. При этом каждому действительному числу соответствует единственная точка на координатной прямой. То есть, между действительными числами и точками координатной прямой существует взаимно однозначное соответствие.


взаимно однозначное соответствие

Представления действительных чисел

По определению действительными числами являются:

  • любое натуральное число;
  • любое целое число;
  • любая обыкновенная дробь (как положительная, так и отрицательная);
  • любое смешанное число;
  • любая десятичная дробь (положительная, отрицательная, конечная, бесконечная периодическая, бесконечная непериодическая).

Часто можно встретить действительные числа в виде корней, степеней, логарифмов и др. Кроме того, сумма, разность, произведение и частное действительных чисел также представляют собой действительные числа.

Также из действительных чисел с помощью арифметических знаков, знаков корня, степеней, логарифмических, тригонометрических функций можно составлять числовые выражения, значения которых также будут действительными числами. Например, значения выражений


 числовые выражения

и


 числовые выражения рис 2

будут действительные числа.

Сравнение действительных чисел

На множестве R действительных чисел справедливы формулы сокращенного умножения и привычные нам законы. Например: a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) — это было справедливо на множестве рациональных чисел, но все это справедливо и на множестве действительных чисел.

  • a + b = b + a; ab = ba — теперь все эти законы справедливы на множестве действительных чисел.

Любые действительные числа можно сравнивать. Для сравнения действительных чисел есть два способа:


сравнения действительных чисел

  1. Из двух действительных чисел a и b большим считается то, которое расположено правее на координатной прямой. Например:

  2. √3 > √2; -3 > -5

  3. Число a считается больше числа b, если разность a - b > 0.

    a > b <=> a - b > 0

    Аналогично a меньше b тогда и только тогда, когда разность a - b < 0

    a < b <=> a - b < 0

    Соответственно:

    a <= b <=> a - b <= 0

Примеры:

6 > 2, 6 - 2 = 4 > 0

-8 < -5, -8 - (-5) = -8 + 5 = -3 < 0

Еще больше практики — в детской онлайн-школе Skysmart. Ученики решают примеры на интерактивной платформе: в игровом формате и с мгновенной автоматической проверкой. А еще отслеживают прогресс в личном кабинете и вдохновляются на новые свершения.

Запишите ребенка на бесплатный вводный урок математики: покажем, как все устроено и наметим индивидуалную программу, чтобы ребенок лучше учился в школе и не боялся контрольных.

 
Бесплатный вводный урок
Шаг 1 из 2. Данные ученика
Класс
Цель обучения
  • 0
  • 0
  • 0
  • 0
  • 0
  • 0