Угол между прямой и плоскостью

Угол между прямой и плоскостью
Новое

Представьте: на уроке физкультуры вам нужно кинуть мяч точно в нарисованную на стене мишень. «Целься под углом 45°», — советует физрук. Или вы читаете задачу по физике, где солнечные лучи падают на поверхность под углом α. А может быть, вам надо помочь маме в саду и подпереть дверь старой лопатой. Что общего у этих ситуаций?

Записывайтесь на онлайн-фестиваль для родителей SmartFest!
Ждём вас 8 октября в 13:00. Вместе с педагогами, психологами и другими экспертами в образовании и воспитании ответим на главные вопросы мам и пап.
Записывайтесь на онлайн-фестиваль для родителей SmartFest!
Бесплатный урок по математике
Записаться

Правильный ответ такой: все эти случаи можно озаглавить геометрическим понятием «пересечение плоскости прямой под некоторым углом». Об этом мы сегодня и поговорим, а именно:

  • рассмотрим главные определения и примеры;

  • изучим свойства и теоремы по теме;

  • научимся находить угол между прямой и плоскостью.

Определение угла между прямой и плоскостью

Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость.

Угол между прямой и плоскостью

Мы уже знакомы с понятиями «угол», «прямая» и «плоскость» (если подзабыли, то можете повторить по нашим материалам). А сейчас давайте вспомним, что такое проекция.

Проекция — это геометрическое изображение на плоскости, полученное проведением перпендикуляров из всех точек данного тела на плоскость.

Что такое проекция

То есть под углом между прямой и плоскостью в пространстве мы подразумеваем угол между прямой и её отображением на плоскость.

Важное уточнение
Если прямая перпендикулярна плоскости, то можно считать, что угол между ними равен 90°, что следует из определения перпендикулярности прямой и плоскости. Этот случай — самый простой, его мы рассматривать не будем.

Также стоит заметить, что если прямая параллельна плоскости, то у них нет ни одной общей прямой, а значит, угол между ними не определяется.

Как вы думаете, какой тип имеет угол между прямой и плоскостью? Верно, он может быть только острым. Попробуйте доказать это самостоятельно 😊

Практикующий детский психолог Екатерина Мурашова
Бесплатный курс для современных мам и пап от Екатерины Мурашовой. Запишитесь и участвуйте в розыгрыше 8 уроков
Практикующий детский психолог Екатерина Мурашова

Свойства и теоремы

Свойство угла между прямой и плоскостью

Углом между прямой и плоскостью называется наименьший из углов между прямой и произвольной прямой в плоскости.

Попробуем привести доказательство. Для этого нарисуем плоскость и проведём к ней прямую АВ, являющуюся наклонной. Тогда АВ1 — проекция прямой на плоскость, АН — произвольная прямая, принадлежащая плоскости, а ВН и ВВ1 — перпендикуляры к плоскости (ВНАН, ВВ1АВ). Чтобы лучше представить себе этот объёмный чертеж, можно сделать небольшой макет из сложенного листа бумаги, прислонив его к поверхности стола или тетради.

Свойство угла между прямой и плоскостью: доказательство

Чтобы проверить истинность свойства, нам необходимо доказать, что угол ∠ВАВ1 намного меньше, чем угол ∠ВАН.

Обозначим проблему: значения этих углов, как и других исходных, нам неизвестны. А значит, на помощь может прийти тригонометрия, ведь сравнить углы можно и через их синусы.

Синус — это отношение противолежащего угла к гипотенузе. В таком случае, .

Оба перпендикуляра ВВ1 и ВН проведены из точки В, но только один из них является кратчайшим расстоянием от точки по плоскости, и это перпендикуляр ВВ1. Так как значения синусов представляют собой дроби с одинаковыми знаменателями, большей будет та, у которой больше знаменатель.

Следовательно, sin ∠BAB1 < sin ∠BAH, ∠BAB1 < ∠BAH.

Теорема

Из двух наклонных, проведённых из одной точки к плоскости, меньшая образует с плоскостью больший угол, и наоборот: угол, образованный большей наклонной, будет меньшим из двух.

Теорема об угле между прямой и плоскостью. Рисунок 1

Существует множество разных доказательств этой теоремы, но мы сосредоточимся на одном из них.

Для этого изобразим плоскость и точку . Из точки А проведём две наклонные прямые, причем АВ < АС, а также перпендикуляр к плоскости АО. Докажем, что ∠АВО > ∠АСО.

Стороны ОВ и ОС являются проекциями АВ и АС соответственно. Меньшая прямая имеет меньшую проекцию, а значит, ОВ < ОС.

Теорема об угле между прямой и плоскостью. Рисунок 2

Отложим на стороне ОС отрезок ОЕ, равный ОВ. Можно ли доказать равенство треугольников АОВ и АОЕ?

В данных треугольниках:

  • ОВ = ОЕ (по построению),

  • АО — общий катет.

Следовательно, треугольники АОВ и АОЕ равны по двум катетам (или по первому признаку: две стороны и угол между ними). В таком случае равны и соответственные углы: ∠АВО = ∠АЕО.

Угол АЕО является внешним для треугольника АЕС, и по свойству внешнего угла ∠АЕО = ∠АСЕ + ∠САЕ. Не трудно догадаться: раз угол АЕО равен сумме двух других углов треугольника, не смежных с ним, то он больше любого из этих двух углов.

∠АЕО > ∠АСЕ, и так как ∠АЕО = ∠АВО, то ∠АВО > ∠АСЕ.

Что и требовалось доказать. 😎

Как найти угол между прямой и плоскостью

От теории переходим к практике: а как же можно вычислить угол между прямой и плоскостью? Вопрос лёгкий и сложный одновременно. Дело в том, что задач на нахождение угла очень много, и в каждой из них применяется свой алгоритм решения. Большую роль играет предмет и раздел, в котором эта задача приведена: это может быть стереометрия, векторная алгебра и даже физика. Но все эти алгоритмы сводятся к двум методам: геометрическому и алгебраическому или координатному методу. Давайте подробно рассмотрим каждый из них.

Геометрический метод

Чтобы применить геометрический метод, необходимо опустить перпендикуляр на плоскость из точки, принадлежащей исходной прямой. Выясним, чем в этом задании является перпендикуляр, наклонная и проекция, и решим планиметрическую задачку (чаще всего в таких задачах нам будет необходимо найти один из углов прямоугольного треугольника).

Задача 1

Из точки А на плоскость проведены две наклонные АВ и АС и перпендикуляр АО, причём О, В и С — точки пересечения с плоскостью .

Определите, чему равен АО, если СО = 10, ВО = 26, а угол АСО в два раза больше угла АВО.

Решение:

Решение задач по теме «Угол между прямой и плоскостью». Рисунок 1

Отметим на стороне ОВ отрезок, равный ОС. Тогда ОС = ОЕ = 10, а ЕВ = 26 – 10 = 16.

Решение задач по теме «Угол между прямой и плоскостью». Рисунок 2

Рассмотрим треугольники АСО и АЕО:

  • СО = ОЕ (по построению),

  • АО — общий катет.

Следовательно, треугольники равны по двум катетам. А значит, угол АСО равен углу АЕО.

Угол АЕО является внешним для треугольника АЕВ, а значит, ∠АЕО = ∠АВЕ + ∠ВАЕ. Так как ∠ АВЕ = , значит, ∠ ВАЕ = 2-=, и треугольник АЕВ — равнобедренный.

Тогда найдём АО через прямоугольный треугольник АОЕ по теореме Пифагора:

.

Ответ: .

Алгебраический метод

Алгебраический метод или метод координат для нахождения угла между прямой и плоскостью основывается на особой формуле. Чтобы использовать его, необходимо определить координаты двух точек, принадлежащих прямой, описать уравнение плоскости и применить формулу. По сути в этом методе мы находим угол между вектором и плоскостью.

,

где (x1, y1, z1) — это координаты первой точки,

(x2, y2, z2) — координаты второй точки,

А, В и С — это координаты в уравнении плоскости Ax + By + Cz + D = 0.

Иначе эти числа называют координатами вектора нормали плоскости.

Тут может возникнуть вопрос: а что, если в задаче даны не координаты точек, а координаты вектора?

В этом случае вспомним, что координаты вектора находятся через разность координат начала и конца. А значит, мы со спокойно душой подставляем эти координаты в формулу вместо (х2 – х1), (y2 – y1) и (z2 – z1).

В некоторых задачах для нахождения угла между прямой и плоскостью вводят понятие направляющего вектора прямой. Направляющий вектор прямой — это любой вектор, не равный нулю, который размещается на данной прямой или же на прямой, параллельной ей.

Координаты этого вектора можно получить из канонического уравнения прямой:

, где направляющий вектор а имеет координаты (ax, ay).

Тогда угол между прямой и плоскостью можно вычислить по формуле:

.

Задача 2

Найдите угол между прямой и плоскостью 3x – y – z + 1 = 0.

Решение:

  1. Определим координаты направляющего вектора для прямой: (2; –1; 3).

  2. Определим координаты вектора нормали плоскости: (3; –1; –1).

  3. Подставим координаты в формулу для расчёта синуса угла между плоскостью и прямой:

    .

Задача 3

Найдите угол между плоскостью, заданной уравнением x + 2y + 2z – 4 = 0, и прямой, которой принадлежат точки А (0, 2, –1) и В (–2, 4, –1).

Решение:

  1. Определим координаты вектора нормали плоскости: (1; 2; 2).

  2. Подставим координаты вектора нормали и координаты точек прямой в формулу:

    .

За короткий промежуток времени мы изучили понятие угла между прямой и плоскостью, доказали теоремы, разобрали способы нахождения угла и решили практические задания. Мы — молодцы! 💪

Думаем, вы понимаете, что эта тема очень важна — с её помощью решаются сложные стереометрические задачи, которые встречаются на ОГЭ и ЕГЭ. Подготовиться к таким серьёзным заданиям помогут курсы профильной математики в онлайн-школе Skysmart. На уроках мы сможем более подробно разобрать задачи с пирамидами и параллелепипедами, а ещё научимся составлять уравнения для любой плоскости. Узнать свои сильные и слабые стороны, составить план обучения и познакомиться с онлайн-платформой можно на вводном уроке — это бесплатно.

Шпаргалки по математике родителей
Все формулы по математике под рукой
Шпаргалки по математике родителей

Бесплатный вводный урок по математике в онлайн школе Skysmart

На вводном уроке с методистом

  1. Определим уровень и дадим советы по обучению
  2. Расскажем, как проходят занятия
  3. Подберём курс

Оставляя заявку, вы принимаете условия соглашения об обработке персональных данных