Основное тригонометрическое тождество

Там, где заканчиваются границы привычной и давно знакомой алгебры, начинаются владения тригонометрии. Давайте вооружимся всеми необходимыми формулами, чтобы в полном обмундировании преодолеть любые тригонометрические испытания.
  • Автор

    Анастасия Белова

  • Дата публикации

    17.12.2020

  • Просмотры

    9462

Связь между sin и cos одного угла

Вы уже наверняка знаете, что тождественный — это равный. 

Основные тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла. Это значит, что любую из этих функций можно найти, если известна другая функция. 

Ключ к сердцу тригонометрии — основное тригонометрическое тождество. Запомните и полюбите его, чтобы отношения с тригонометрией сложились самым наилучшим образом:

sin2α + cos2α = 1

Из основного тождества вытекают равенства тангенса и котангенса, поэтому оно — ключевое.

Равенство tg2α + 1 = 1/cos2α и равенство 1 + сtg2α + 1 = 1/sin2α выводят из основного тождества, разделив обе части на sin2α и cos2α.

В результате деления получаем:


тождества

Поэтому основному тригонометрическому тождеству уделяется максимум внимания. Но какая же «метрия» может обойтись без доказательств. Видите тождество — доказывайте, не раздумывая. 

sin2α + cos2α = 1

Сумма квадратов синуса и косинуса одного угла тождественно равна единице.

Чтобы доказать тождество, обратимся к теме единичной окружности. 

Единичная окружность — это окружность с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Радиус единичной окружности равен единице.


Единичная окружность

Докажем тождество sin2α + cos2α = 1


Доказательство тождества sin2α + cos2α = 1
  1. Итак, нам известны координаты точки A (1; 0).

    Произвольный угол α, тогда cos α = x0 = ОB.

  2. Если развернуть точку A на угол α, то точка A становится на место точки A1.

  3. По определениям:
    • Синус угла (sin α) — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. 
    • Косинус угла (cos α) — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
    Это значит, что точка A1 получает координаты cos α, sin α.

  4. Опускаем перпендикулярную прямую A1B на x0 из точки A1.

    Образовался прямоугольный треугольник OA1B.

    |A1B| = |у|

    |OB| = |x|.

  5. Гипотенуза OA1 имеет значение, равное радиусу единичной окружности.

    |OA1| = 1.

  6. Применяя полученное выражение, записываем равенство по теореме Пифагора, поскольку получившийся угол — прямой:

    |A1B|2 + |OB|2 = |OA1|2.

  7. Записываем в виде: |y|2 + |x|2 = 12.

    Это значит, что y2 + x2 = 1.
    sin угла α = y
    cos угла α = x

  8. Вставляем данные угла вместо координат точек:

    OB = cos α
    A1B = sin α
    A1O = 1

  9. Получаем основное тригонометрическое тождество: sin2α + cos2α = 1.
    Что и требовалось доказать. 

Основное тригонометрическое тождество связывает синус угла и косинус угла. Зная одно, вы легко можете найти другое. Нужно лишь извлечь квадратный корень по формулам:

  • sin α = ±формула
  • cos α = ±формула

Как видите, перед корнем может стоять и минус, и плюс. Основное тригонометрическое тождество не дает понять, положительным или отрицательным был исходный синус/косинус угла.

Как правило, в задачках с подобными формулами уже есть условия, которые помогают определиться со знаком. Обычно такое условие — указание на координатную четверть. Таким образом без труда можно определить, какой знак нам требуется.

 

Чтобы ребенок еще лучше учился в школе, запишите его на уроки математики в Skysmart. Наши преподаватели понятно объяснят что угодно — от дробей до синусов — и ответят на вопросы, которые бывает неловко задать перед всем классом.

Вместо скучных параграфов ребенка ждут интерактивные упражнения с мгновенной автоматической проверкой и онлайн-доска, где можно рисовать и чертить вместе с преподавателем.

Тангенс и котангенс через синус и косинус

Немного вводных:

  • Синус угла  — это ордината y.
  • Косинус угла  — это абсцисса x.
  • Тангенс угла  — это отношение ординаты к абсциссе. 
  • Котангенс угла — это отношение абсциссы к ординате.

Из всего этого множества красивых, но не сильно понятных слов, можно сделать вывод о зависимости одного от другого. Такая связь помогает отдельно преобразовывать нужные величины.

  • tg α = формула
  • ctg α = формула

Исходя из определений:

  • tg α = формула = формула
  • ctg α = формула = формула

Это позволяет сделать вывод, что тригонометрические тождества 


Тригонометрическое тождество 1
Тригонометрическое тождество 2

задаются sin и cos углов.

Отсюда следует, что тангенс угла — это отношение синуса угла к косинусу. А котангенс угла — это отношение косинуса к синусу.

Отдельно стоит обратить внимание на то, что тригонометрические тождества


Тригонометрическое тождество 1
Тригонометрическое тождество 2

верны для всех углов α, значения которых вписываются в диапазон. 

  • Например,  выражение Тригонометрическое тождество 1 применимо для любого угла α, не равного формула + π + z, где z — это любое целое число. В противном случае, в знаменателе будет стоять 0.

Выражение


Тригонометрическое тождество 2

применимо для любого угла α, не равного π * z, где z — это любое целое число. 

Связь между тангенсом и котангенсом

Уж насколько очевидной кажется связь между ранее рассмотренными тождествами, настолько еще более наглядна связь между тангенсом и котангенсом одного угла.
 

  • Тождество записывается в следующем виде:
    tg α * ctg α = 1.

Такое тождество применимо и справедливо при любых углах α, значение которых не равняются π/2 * z, где z — это любое целое число. В противном случае, функции не будут определены.

Как и любое другое, данное тригонометрическое тождество подлежит доказательству. Доказывать его очень просто.

tg α * ctg α = 1.

 
  1. По определению:

    tg α = y/x

    ctg α = x/y

  2. Отсюда следует, что tg α * ctg α = y/x * x/y = 1

  3. Преобразовываем выражение, подставляем  Тригонометрическое тождество 1 и Тригонометрическое тождество 2,
    получаем: Вывод из Тригонометрического тождества 2

Получается, что тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл — это взаимно обратные числа.

Если числа a и b взаимно обратные — это значит, что число a — это число, обратное числу b, а число b — это число, обратное числу a. Кроме того, это значит, что числу a обратно число b, а числу b обратно число a. Короче, и так, и эдак.

Какие, какие числа?🤯
Взаимно обратные числа — это два числа, произведение которых равно 1.

 

Если в голове вашего ребенка бурлит тригонометрическая каша, и все формулы смешались в один нераспутываемый клубок — записывайтесь на бесплатный вводный урок математики в онлайн-школу Skysmart.

Наши преподаватели помогут навести в голове порядок и разложить все знания по полочкам. На уроках вас ждут интересные задачки и располагающая атмосфера, в которой совсем не страшно задавать вопросы и получать от занятий — максимум.

 

Тангенс и косинус, котангенс и синус

Все тождества выше позволяют сделать вывод, что тангенс угла связан с косинусом угла, а котангенс угла  — с синусом.

Эта связь становится очевидна, если взглянуть на тождества:
 

  • tg2α + 1 = формула

Сумма квадрата тангенса угла и единицы равна числу, обратному квадрату косинуса этого угла.

  • 1 + ctg2α = формула

Сумма единицы и квадрата котангенса угла равна числу, обратному квадрату синуса этого угла.

Вывести оба этих тождества можно из основного тригонометрического тождества:
sin2α + cos2α = 1.
 

 
  1. Для этого нужно поделить обе части тождества на cos2α, где косинус не равен нулю.

  2. В результате деления получаем формулу tg2α + 1 = формула

  3. Если обе части основного тригонометрического  тождества sin2α + cos2α = 1 разделить на  sin2α, где синус не равен нулю, то получим тождество:
    1 + ctg2α = формула

  4. Отсюда можно сделать вывод, что тригонометрическое тождество tg2α + 1 = формула применимо для любого угла α, не равного формула + π + z, где z — это любое целое число.

  5. А тригонометрическое тождество 1 + ctg2α = формула применимо для любого угла, не равного π * z, где z — это любое целое число. 

Хорошо бы выучить все формулы и запомнить формулировки тождеств наизусть. Чтобы это сделать, сохраняйте себе табличку с основными формулами. 

Основные тригонометрические тождества

1

sin2α + cos2α = 1

2

формула

3

формула

4

tgα * ctgα = 1

5

tg2α + 1 = формула

6

1 + ctg2α = формула

Чтобы тратить еще меньше времени на решение задач, сохраняйте таблицу значений тригонометрических функции углов, которые чаще всего встречаются в задачах.


Таблица значений тригонометрических функций углов

Примеры решения задач

Разберем пару задачек, для решения которых нужно знать основные тождества. Рассмотрите внимательно предложенные решения и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Найдите cos α, tg α, ctg α при условии, что sin α = 12/13.

Как решаем:

 
  1. Чтобы решить задачу, необходимы следующие тригонометрические тождества:

    Тригонометрическое тождество

  2. Выражаем cos α из тригонометрической единицы:

    Выражаем cos α из тригонометрической единицы

  3. Далее подставляем значения sin α:

    подставляем значения sin α

  4. Вычисляем:

    Вычисляем cos a

  5. Нам известны значения sin α и cos α, поэтому можно легко найти тангенс, используя формулу:

    тангенс из sin a и cos a

  6. Таким же образом, используя формулу, вычисляем значение котангенса:

    вычисляем значение котангенса

Ответ:


Получаем ответ

Задачка 2. Найдите значение cos α,
если:
Нужно найти значение cos a

Как решаем: 

 
  1. Чтобы решить задачу, необходимы следующие тригонометрические тождества:

    Решение задачи с помощью тригонометрического тождества

  2. Выражаем cos α из тригонометрической единицы:

    Выражаем cos α из тригонометрической единицы

  3. Далее подставляем значения sin α:

    подставляем значения sin α

  4. Вычисляем:
    вычисляем по формуле

  5. То же самое проделываем со вторым значение sin α

    Подставляем значения sin α:

    Подставляем значения sin α

  6. Вычисляем: Вычисляем значение

Ответ:


Получаем ответ

Как видите, задачи решаются достаточно просто, нужно лишь верно применять формулы основных тождеств.

Алгебра любит практику — как можно больше практики. Чтобы натренироваться в решении задачек и накачать математический бицепс, записывайте вашего ребенка на бесплатный вводный урок математики в онлайн-школу Skysmart.

У нас есть все для эффективных и веселых занятий: опытные преподаватели, интересные задачки, интерактивный формат и внушительная порция вдохновения и поддержки!

 
Бесплатный вводный урок
Шаг 1 из 2. Данные ученика
Класс
Цель обучения
  • 0
  • 0
  • 0
  • 0
  • 0
  • 0