Теоремы по геометрии для ЕГЭ по математике — это золотой фонд из 10 ключевых планиметрических теорем, на которых строятся все решения задач первой части (№1) и сложнейшей планиметрии второй части (№14) Профильного ЕГЭ. В бланках ЕГЭ формул нет — их знание проверяется наизусть.
В базовый список входят: теорема Пифагора, теоремы синусов и косинусов, теорема Фалеса о пропорциональных отрезках, свойства касательных и секущих, теорема о вписанном и центральном угле, а также свойства биссектрисы и медиан треугольника.
Тригонометрические расчёты треугольников задаёт теорема косинусов и синусов, правила касания к кругу определяет вписанная и описанная окружность, а официальный перечень КИМ приводят справочные материалы для ЕГЭ по математике.
2. Площадь: S = ½ · a · b = 0.5 · 3 · 4 = 6.00.
3. Радиус описанной окружности R = c / 2 = 2.50.
Метрика экзаменационных требований: структура заданий ФИПИ
| Параметр оценивания | Период (2024–2025) | Регламент (2027) |
|---|---|---|
| Теорема косинусов | a² = b² + c² − 2bc·cos α | Обобщение Пифагора для любых треугольников |
| Теорема синусов | a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2R | Связь со сторонами и радиусом описанной окружности R |
| Свойство секущих | PA · PB = PC · PD | Произведение отрезков секущих из одной точки постоянно |
1. Золотой фонд планиметрии: формулировки и чертежи
Подготовка к ЕГЭ с преподавателем
Получи больше пользы от Skysmart:
-
Подготовься к ОГЭ на пятёрку
-
Подготовься к ЕГЭ на высокие баллы
Записывайся на бесплатные курсы для детей
Решай задания в бесплатном тренажёре ЕГЭ
Теорема Пифагора
Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии. Она устанавливает соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. И звучит так:
В прямоугольном треугольнике сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы.
c2 = a2 + b2.
Теорема Пифагора — это частный случай теоремы косинусов. Это объясняется тем, что косинус 90 градусов равен нулю.
Теорема Фалеса
Теорема Фалеса — это свойство параллельных прямых, которые пересекают две секущие с общей точкой.
Вообще, есть две теоремы Фалеса — общая, на все случаи жизни, и частная — то, что нужно для решения задач на ЕГЭ по математике.
Через произвольные точки A1, A2, … An–1, An, лежащие на стороне AO угла AOB, проведены параллельные прямые, пересекающие сторону угла OB в точках B1, B2, … Bn–1, Bn, соответственно. Тогда справедливы равенства:
В ЕГЭ по математике теорема Фалеса встречается чаще всего в параллелограмме, у которого проведена диагональ, — будьте начеку.
Теорема косинусов
Теорема Пифагора — кайф, легко запомнить, часто встречается, применяем только тогда, когда у нас есть прямоугольный треугольник. Но на самом деле теорема Пифагора работает для любого треугольника, только называется она в этом случае теоремой косинусов.
Квадрат длины стороны треугольника равен сумме квадратов длин других сторон минус удвоенное произведение длин этих сторон на косинус угла между ними.
a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
Собственно, по формуле сразу становится понятно, почему это соотношение называется теоремой косинусов. Ещё она крайне похожа на разность квадратов с учётом косинуса, поэтому запомнить её не очень сложно. И если вспомнить, что косинус 90 градусов — это 0, то мы увидим знакомую теорему Пифагора.
Теорема синусов
Казалось бы, синус — это что-то про тригонометрию, но на самом деле совсем не только. Планиметрия может с этим смело поспорить, и теорема синусов — явный аргумент в этом воображаемом споре. Если коротко, теорема синусов — это формула связи угла с противолежащей ему стороной в треугольнике.
Для любого треугольника справедливы равенства:
где R — радиус описанной около треугольника окружности.
По теореме синусов, во-первых, можно быстро найти радиус описанной окружности по известной стороне и противолежащему ей углу. Во-вторых, если треугольник не прямоугольный, то в нём можно просто найти синус угла по известным стороне и радиусу описанной окружности. Ну и в конце концов, можно использовать отношение двух любых сторон и углов. Формула синусов в ЕГЭ по математике используется нечасто, но иметь её в своем арсенале полезно и обязательно.
Теорема Менелая
Её также называют теоремой о треугольнике и секущей, и звучит она так:
Если на сторонах AB и BC треугольника ABC взяты соответственно точки C1 и A1, а точка B1 взята на продолжении стороны AC за точку C, то точки C1, A1 и B1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполнено равенство:
Теорема Менелая пригодится для решения 2-й части ЕГЭ по математике. Она поможет уменьшить огромную кучу исписанных листочков при решении и сохранить время на экзамене, ведь помогает решать в несколько действий.
Чтобы с лёгкостью запомнить все основные теоремы из геометрии для ЕГЭ по математике, скачайте и распечатайте удобную шпаргалку. Кроме теорем из этой статьи, там есть ещё две редкие — теоремы Чевы и Вариньона, а также задачи на доказательства.
2. Практикум: разбор реальных задач ОГЭ и ЕГЭ
1. По определению косинуса: cos A = AC / AB.
2. 0.6 = 6 / AB ⇒ AB = 6 / 0.6 = 10.
3. Контрольный чек-лист: на чём срезаются школьники
- Ловушка экзамена: На Профильном ЕГЭ в справочных материалах нет геометрии — абсолютно все формулы нужно помнить наизусть!
- Ловушка экзамена: В задаче №14 второй части использование теоремы Менелая требует чёткого указания треугольника и секущей прямой.
- Ловушка экзамена: Не путайте вписанный угол (равен половине дуги) и центральный угол (равен всей дуге).
Задача №14 приносит до 14 вторичных баллов при поступлении на бюджет. Репетиторы Skysmart научат видеть базовые геометрические конструкции в любой задаче.
На индивидуальных уроках в онлайн-школе Skysmart методисты и действующие эксперты экзаменационной комиссии разбирают все подводные камни темы и доводят решение до автоматизма.
4. Ответы на частые вопросы (FAQ)
Сколько геометрических задач на Профильном ЕГЭ?
На Профильном ЕГЭ две задачи по планиметрии (№1 и №14) и две по стереометрии (№3 и №13) — суммарно геометрия даёт до 30% всего экзамена!
Можно ли использовать теорему Менелая без доказательства?
Да, теоремы Менелая и Чевы входят в школьные учебники углублённого уровня и принимаются экспертами ФИПИ без отдельного вывода.
