Теорема Пифагора
Автор
Лидия Казанцева
Дата публикации
28.07.2020
Просмотры
203
Основные понятия
Теорема Пифагора, определение: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
Гипотенуза — сторона, лежащая напротив прямого угла.
Катет — одна из двух сторон, образующих прямой угол.
Формула Теоремы Пифагора выглядит так:
a2 + b2 = c2,
где a, b — катеты, с — гипотенуза.
Из этой формулы можно вывести следующее:
- a = √c2 − b2
- b = √c2 − a2
- c = √a2 + b2
Для фигуры со сторонами a, b и c, где c самая длинная сторона действуют следующие правила:
- если c2 < a2 + b2 , значит угол, обращенный к стороне c, является острым.
- если c2 = a2 + b2 , значит угол, обращенный к стороне c, является прямым.
- если c2 > a2 +b2 , значит угол, обращенный к стороне c, является тупым.
Теорема Пифагора: доказательство
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Дано: ∆ABC, в котором ∠C = 90º.
Доказать: a2 + b2 = c2.
Пошаговое доказательство:
- Проведём высоту из вершины C на гипотенузу AB, основание обозначим буквой H.
- Прямоугольная фигура ∆ACH подобна ∆ABC по двум углам:
∠ACB =∠CHA = 90º,
∠A — общий.
- Также прямоугольная фигура ∆CBH подобна ∆ABC:
∠ACB =∠CHB = 90º,
∠B — общий.
- Введем новые обозначения: BC = a, AC = b, AB = c.
- Из подобия треугольников получим: a : c = HB : a, b : c = AH : b.
- Значит a2 = c * HB, b2 = c * AH.
- Сложим полученные равенства:
a2 + b2 = c * HB + c * AH
a2 + b2 = c * (HB + AH)
a2 + b2 = c * AB
a2 + b2 = c * c
a2 + b2 = c2
Теорема доказана.
Обратная теорема Пифагора: доказательство
Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такая фигура является прямоугольной.
Дано: ∆ABC
Доказать: ∠C = 90º
Пошаговое доказательство:
- Построим прямой угол с вершиной в точке C₁.
- Отложим на его сторонах отрезки C₁A₁ = CA и C₁B₁ = CB.
- Проведём отрезок A₁B₁.
- Получилась фигура ∆A₁B₁C₁, в которой ∠C₁=90º.
- В этой фигуре ∆A₁B₁C₁ применим теорему Пифагора: A₁B₁2 = A₁C₁2 + B₁C₁2.
- Таким образом получится:
![\[\left. \begin{array}{l} {A_1}{B_1}^2 = {A_1}{C_1}^2 + {B_1}{C_1}^2\\ A{B^2} = A{C^2} + B{C^2}\\ {A_1}{C_1} = AC\\ {B_1}{C_1} = BC \end{array} \right\} \Rightarrow {A_1}{B_1} = AB.\]](https://lh5.googleusercontent.com/9hvxN7UZ2cYWgkiQnUxHo8ipfPH3fPlVinEcRlr945_kbfh5r7EwIdeN4ElkO8E7szKWpPozP6pwZ4wt2gvtehbRtSGx6dIdlUu4v_Dzxs7cAJHzBeqQ8MUPUu5LxCQ0723dKHc4 "Rendered by QuickLaTeX.com")
- Значит, в фигурах треугольниках ∆ABC и ∆A₁B₁C₁:
- C₁A₁ = CA и C₁B₁ = CB по результату построения,
- A₁B₁ = AB по доказанному результату.
- Поэтому, ∆A₁B₁C₁ = ∆ABC по трем сторонам.
- Из равенства фигур следует равенство их углов: ∠C =∠C₁ = 90º.
Обратная теорема доказана.
Решение задач
Задание 1. Дан прямоугольный треугольник ABC. Его катеты равны 6 см и 10 см. Какое значение у гипотенузы?
Как решаем:
- если a = 6, b = 10,
значит c2 = a2 + b2 = 62 + 102 = 36 + 100 = 136
- c = √136 = 11,7
Ответ: 11,7.
Задание 2. Является ли фигура со сторонами 8 см, 9 см и 11 см прямоугольным треугольником?
Как решаем:
- Выберем наибольшую сторону и проверим, выполняется ли теорема Пифагора:
112 = 82 + 92
121 ≠ 146
Ответ: треугольник не является прямоугольным.
Чтобы ребенок еще лучше учился в школе, запишите его на уроки математики. Наши преподаватели понятно объяснят что угодно — от дробей до теоремы Пифагора — и ответят на вопросы, которые бывает неловко задать перед всем классом. А еще помогут догнать сверстников и справиться со сложной контрольной.
Вместо скучных параграфов ребенка ждут интерактивные упражнения с мгновенной автоматической проверкой и онлайн-доска, где можно рисовать и чертить вместе с преподавателем.