Теорема Пифагора — это главная теорема геометрии, которая гласит: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы c (стороны напротив прямого угла 90°) равен сумме квадратов длин его катетов a и b: c² = a² + b².
- Нахождение гипотенузы c и катета a (Задание №15 ОГЭ и №1 ЕГЭ): гипотенуза:
c = √(a² + b²); неизвестный катет:a = √(c² − b²) = √((c − b)(c + b)). - Золотые пифагоровы тройки (считайте на экзамене за 1 секунду без корней!): (3; 4; 5) и кратные ей
(6; 8; 10), (9; 12; 15), (12; 16; 20), (15; 20; 25); а также (5; 12; 13), (8; 15; 17), (7; 24; 25), (20; 21; 29), (9; 40; 41)! - Обратная теорема Пифагора и диагонали квадрата/куба: если
c² = a² + b², то треугольник прямоугольный (∠C = 90°); диагональ квадрата:d = a√2; диагональ куба:d = a√3; расстояние между точками:d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²).
Правило для бланка ОГЭ и ЕГЭ: при вычислении катета с большими числами (например, a = √(65² − 63²)) НИКОГДА не возводите числа в квадрат столбиком — разложите под корнем разность квадратов: √((65 − 63)(65 + 63)) = √(2 · 128) = √256 = 16!
2. Подстановка в формулу (c² = a² + b² ⇒ c = √(a² + b²) | a = √(c² − b²)): Из формулы c² = a² + b² выражаем катет: b = √(c² − a²)
3. Итоговый ответ: Считаем: b = √(15² − 12²) = √(225 − 144) = √81 = 9 см
1. Главные формулы и правила темы «Теорема Пифагора»
2. Подробный теоретический разбор, свойства и наглядные схемы
Для кого эта статья:
- Школьники, изучающие геометрию
- Студенты, имеющие интерес к математике
- Учителя математики, ищущие материал для уроков
Получи больше пользы от Skysmart:
-
Прокачивай знания на курсах математики
-
Выбирай из 1200+ репетиторов по математике
Записывайся на бесплатные курсы для детей
Теорема Пифагора: доказательство
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Дано: ∆ABC, в котором ∠C = 90º.
Доказать: a2 + b2 = c2.
Пошаговое доказательство:
- Проведём высоту из вершины C на гипотенузу AB, основание обозначим буквой H.
- Прямоугольный треугольник ∆ACH подобен ∆ABC по двум углам:
∠ACB =∠CHA = 90º,
∠A — общий.
- Также прямоугольный треугольник ∆CBH подобен ∆ABC:
∠ACB =∠CHB = 90º,
∠B — общий.
- Введем новые обозначения: BC = a, AC = b, AB = c.
- Из подобия треугольников получим: a : c = HB : a, b : c = AH : b.
- Значит a2 = c * HB, b2 = c * AH.
- Сложим полученные равенства:
a2 + b2 = c * HB + c * AH
a2 + b2 = c * (HB + AH)
a2 + b2 = c * AB
a2 + b2 = c * c
a2 + b2 = c2
Теорема доказана.
Основные понятия
Теорема Пифагора, определение: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
Гипотенуза — сторона, лежащая напротив прямого угла.
Катет — одна из двух сторон, образующих прямой угол.
Формула Теоремы Пифагора выглядит так:
a2 + b2 = c2,
где a, b — катеты, с — гипотенуза.
Из этой формулы можно вывести следующее:
- a = √c2 − b2
- b = √c2 − a2
- c = √a2 + b2
Для треугольника со сторонами a, b и c, где c — большая сторона, действуют следующие правила:
- если c2 < a2 + b2, значит угол, противолежащий стороне c, является острым.
- если c2 = a2 + b2, значит угол, противолежащий стороне c, является прямым.
- если c2 > a2 +b2, значит угол, противолежащий стороне c, является тупым.
Обратная теорема Пифагора: доказательство
Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник является прямоугольным.
Дано: ∆ABC
Доказать: ∠C = 90º
Пошаговое доказательство:
- Построим прямой угол с вершиной в точке C₁.
- Отложим на его сторонах отрезки C₁A₁ = CA и C₁B₁ = CB.
- Проведём отрезок A₁B₁.
- Получился ∆A₁B₁C₁, в котором ∠C₁=90º.
- В треугольнике ∆A₁B₁C₁ применим теорему Пифагора: A₁B₁2 = A₁C₁2 + B₁C₁2.
- Таким образом получится:
- Значит, в треугольниках ∆ABC и ∆A₁B₁C₁:
- C₁A₁ = CA и C₁B₁ = CB по результату построения,
- A₁B₁ = AB по доказанному результату.
- Поэтому, ∆A₁B₁C₁ = ∆ABC по трем сторонам.
- Из равенства треугольников следует равенство их углов: ∠C =∠C₁ = 90º.
Обратная теорема доказана.
Решение задач
Задание 1. Дан прямоугольный треугольник ABC. Его катеты равны 6 см и 8 см. Какое значение у гипотенузы?
Как решаем:
-
Пусть катеты a = 6 и b = 8.
-
По теореме Пифагора c2 = a2 + b2.
-
Подставим значения a и b в формулу:
c2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100
c = √100 = 10.
Ответ: 10.
Задание 2. Является ли треугольник со сторонами 8 см, 9 см и 11 см прямоугольным?
Как решаем:
- Выберем наибольшую сторону и проверим, выполняется ли теорема Пифагора:
112 = 82 + 92
121 ≠ 145
Ответ: треугольник не является прямоугольным.
3. Сводная таблица всех формул и свойств для контрольной, ОГЭ и ЕГЭ
| Условие / Правило | Рабочая формула и пример применения |
|---|---|
| Нахождение гипотенузы c и катета a (Задание №15 ОГЭ и №1 ЕГЭ) | гипотенуза: c = √(a² + b²); неизвестный катет: a = √(c² − b²) = √((c − b)(c + b)). |
| Золотые пифагоровы тройки (считайте на экзамене за 1 секунду без корней!) | (3; 4; 5) и кратные ей (6; 8; 10), (9; 12; 15), (12; 16; 20), (15; 20; 25); а также (5; 12; 13), (8; 15; 17), (7; 24; 25), (20; 21; 29), (9; 40; 41)! |
| Обратная теорема Пифагора и диагонали квадрата/куба | если c² = a² + b², то треугольник прямоугольный (∠C = 90°); диагональ квадрата: d = a√2; диагональ куба: d = a√3; расстояние между точками: d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²). |
4. Практикум: разбор реальных задач с пошаговым решением
1. Стена, земля и лестница образуют прямоугольный треугольник с гипотенузой c = 10 м и катетом a = 6 м.
2. По теореме Пифагора находим высоту h: h = √(10² − 6²) = √(100 − 36) = √64 = 8 метров.
1. Проведём горизонтальный перпендикуляр от верхушки низкой сосны к высокой: получим прямоугольный треугольник с горизонтальным катетом a = 24 м и вертикальным катетом (разностью высот) b = 19 − 12 = 7 м.
2. По пифагоровой тройке (7; 24; 25): c = √(24² + 7²) = √(576 + 49) = √625 = 25 метров.
1. Высота делит основание пополам на отрезки по 4√3.
2. По теореме Пифагора: h = √((8√3)² − (4√3)²) = √(192 − 48) = √144 = 12.
5. Контрольный чек-лист: частые ошибки и ловушки на экзамене
- Главное правило проверки ответа: при вычислении катета с большими числами (например, a = √(65² − 63²)) НИКОГДА не возводите числа в квадрат столбиком — разложите под корнем разность квадратов: √((65 − 63)(65 + 63)) = √(2 · 128) = √256 = 16!
- Контроль первой формулы (ГИПОТЕНУЗА C И КАТЕТ A В ПРЯМОУГ. △): Быстрый счёт катета: a = √((c − b) · (c + b)) (c² = a² + b² ⇒ c = √(a² + b²) | a = √(c² − b²)).
- Контроль второй формулы (ПИФАГОРОВЫ ТРОЙКИ (СЧИТАЙ ЗА 1 СЕКУНДУ!)): Диагональ квадрата: d = a√2 | Диагональ куба: d = a√3 ((3; 4; 5) | (6; 8; 10) | (5; 12; 13) | (8; 15; 17) | (7; 24; 25)).
Потренироваться самостоятельно с автопроверкой ответов можно в бесплатном тренажёре ЕГЭ от Skysmart: доступны разделы по базовой математике и профильной математике.
На онлайн-курсах по математике в Skysmart преподаватели разбирают каждый прототип ФИПИ на интерактивной доске и помогают довести решение задач первой и второй части до полного автоматизма.
6. Часто задаваемые вопросы (FAQ)
Какая главная формула в теме «Теорема Пифагора»?
Базовое соотношение темы: c² = a² + b² ⇒ c = √(a² + b²) | a = √(c² − b²), а также вторая ключевая формула: (3; 4; 5) | (6; 8; 10) | (5; 12; 13) | (8; 15; 17) | (7; 24; 25). Подробный пример расчёта: Катет a = 12 см, гипотенуза c = 15 см. Найти второй катет b ➔ Из формулы c² = a² + b² выражаем катет: b = √(c² − a²) ➔ Считаем: b = √(15² − 12²) = √(225 − 144) = √81 = 9 см.
На какой ловушке чаще всего теряют баллы на контрольной, ОГЭ и ЕГЭ?
Главное правило для бланка ответов: при вычислении катета с большими числами (например, a = √(65² − 63²)) НИКОГДА не возводите числа в квадрат столбиком — разложите под корнем разность квадратов: √((65 − 63)(65 + 63)) = √(2 · 128) = √256 = 16!
Где скачать шпаргалку со всеми формулами для печати?
В первом экране статьи доступна бесплатная PDF-шпаргалка формата А4 со всеми формулами и алгоритмами темы «Теорема Пифагора».
