Логические задачи и задачи на смекалку (ВПР, олимпиады и №19–21 ЕГЭ База) решаются с помощью классических олимпиадных принципов: принципа Дирихле (про кроликов и клетки), анализа чётности и инвариантов, метода раскраски, формулы рукопожатий (полного графа) и эффекта «плюс-минус один» (распилы и столбы).
- Принцип Дирихле (гарантированный худший случай): чтобы среди взятых не глядя предметов гарантированно оказалось k одного вида из m видов, нужно вытащить
N = m · (k − 1) + 1предмет (сначала берём максимум неудачных исходов + 1!). - Правило распилов бревна и столбов вдоль забора: число кусков на 1 больше числа распилов:
Куски = Распилы + 1(а число промежутков на 1 меньше числа столбов!). - Формула рукопожатий и матчей в один круг (графы):
N = n · (n − 1) / 2(каждый из n участников пожимает руку n − 1 остальным, делим пополам).
Правило для бланка ОГЭ и ЕГЭ: в задачах про распилы брёвен и этажи дома никогда не составляйте прямую пропорцию по числу кусков: время тратится на РАСПИЛЫ (чтобы получить 4 куска, нужно сделать 3 распила, а не 4)!
2. Формула вычисления темы применена.
3. Итоговый результат: 10.
1. Теоретический базис темы «Как решать задачи на смекалку»
Советы по решению задач на смекалку
Чтобы эффективно решать задачи на смекалку, придерживайтесь следующей стратегии:
-
Экспериментируйте с различными методами и способами мышления. Не всегда первый выбранный вами метод станет самым простым или быстро приведёт к верному ответу.
-
Разбивайте задачу на части: разделение задачи на небольшие шаги поможет лучше понять её структуру.
-
Используйте аналогии и примеры: вспомните похожие задачи и попробуйте применить к ним аналогичные методы решения.
-
Работайте с визуальными моделями: рисунки и схемы могут помочь увидеть решение, которое сложно заметить при чтении условия.
Предлагаем ознакомиться с некоторыми задачами на смекалку, алгоритм решения которых часто встречается в заданиях на ОГЭ и ЕГЭ. После прочтения условия попробуйте порассуждать самостоятельно и только потом посмотрите на решение, предложенное нами. Вполне возможно, вы найдете другой способ, ещё более лёгкий и креативный!
Примеры задач на смекалку с решением
Логическое мышление
У братьев Семёновых разный возраст, причём возраст одного из них — это сумма возрастов двух других. Какой наибольший возраст одного из братьев?
Решение:
Пусть возраст одного из братьев — x, второго — y, а третьего — z. Если z=x+y, то это самый старший из братьев, т. е. z = x + y — общее решение этой задачи. Это решение является окончательным, поскольку z всегда больше, чем x и y по отдельности.
Частное решение найти невозможно, т. к. мы располагаем небольшим количеством данных.
Комбинаторика и логика
На столе лежат 5 монет: 4 настоящие и одна фальшивая (она более лёгкая). Какое минимальное количество взвешиваний на весах позволит точно определить фальшивую монету?
Решение:
Для решения задачи нужно воспользоваться методом деления на группы.
-
Разделите монеты на три группы: 2 монеты, 2 монеты и 1 монета.
-
Взвесьте две группы с равным количеством монет: если вес одинаковый, то фальшивая монета находится в третьей группе.
-
Если вес групп разный, сразу понятно, в какой группе находится искомая монета, и с помощью следующего взвешивания мы определим фальшивую.
Ответ: необходимо 2 взвешивания.
Размещение объектов
На круглом столе расставлено 8 мисок: 4 с водой и 4 пустые. Можно ли, передвигая одну миску за раз, расположить все миски так, чтобы полные чередовались с пустыми?
Решение:
-
Предположим изначальную расстановку мисок. Полную миску обозначим знаком плюс, пустую — знаком минус. Начальная расстановка:
+ + + + − − − −Нам же нужно добиться расстановки:
+ − + − + − + − или − + − + − + − + -
Чтобы сделать это, нам нужно перемещать миски одну за другой, избегая группировки полных или пустых мисок вместе. Наша стратегия состоит в том, чтобы перемещать одну миску таким образом, чтобы в конце каждого шага приближаться к нужной чередующейся последовательности.
-
Начнём совершать перемещения: передвинем первую пустую миску (из пятой позиции) на вторую позицию:
+ − + + + − − − -
Далее переместим полную миску («+») с пятой позиции на седьмую позицию:
+ − + + − − + − -
Нам остаётся поменять местами миски 4 и 5:
+ − + − + − + −
Ответ: да, возможно.
Задачи на делимость
У Саши есть три набора, в каждом из которых одинаковое количество карандашей (больше 1). У Кати несколько (больше 1) наборов карандашей, по 5 штук в каждом.
Вопросы:
-
При каком количестве наборов у Кати количество всех карандашей у Саши будет нечётным, если всего у детей 105 карандашей?
-
Можно ли разложить все карандаши Саши и Кати в 12 наборов по 12 карандашей в каждом?
Решение:
-
Пусть x — количество карандашей в одном наборе у Саши, тогда у Саши 3x карандашей. Пусть n — количество наборов у Кати, тогда у Кати 5n карандашей.
Составим уравнение:
3x + 5n = 105Поскольку количество карандашей у Саши должно быть нечётным, x должен быть нечётным числом. Пусть x = 2k + 1, тогда у Саши 3 (2k + 1) = 6k + 3 карандашей.
Подставляем это в уравнение:
6k + 3 + 5n = 105
5n = 102 − 6kВыходит так: чтобы выразить n (количество наборов у Кати), необходимо чтобы выражение 102 − 6k делилось на 5 нацело.
Путём перебора значений определяем, что:
-
k = 2, тогда
-
k = 7, тогда
-
k = 12, тогда
Ответ: у Кати может быть 6, 12 или 18 наборов карандашей.
-
-
Составим уравнение: 3x + 5n = 144.
В этом случае достаточно подобрать целые корни, больше единицы, чтобы равенство было верным. Путём перебора можно получить большое количество вариантов, например:
-
x = 38, n = 6
-
x = 33, n = 9
-
x = 28, n = 12
-
x = 18, n = 18
-
x = 13, n = 21
Ответ: да, можно.
-
Задачи на смекалку — отличный способ проверить свои способности и развить умение думать нестандартно. Начните практиковаться уже сегодня с помощью нашего бесплатного тренажёра и подготовьтесь к экзаменам, развивая креативное мышление и логику.
Получи больше пользы от Skysmart:
-
Подготовься к ОГЭ на пятёрку
-
Подготовься к ЕГЭ на высокие баллы
Записывайся на бесплатные курсы для детей
Решай задания в бесплатном тренажёре ЕГЭ
2. Практикум: разбор реальных задач ОГЭ и ЕГЭ
1. Просчитываем наихудший сценарий, когда 5 шаров одного цвета ещё нет: мы вытащили по 4 шара каждого из трёх цветов: 4 + 4 + 4 = 12 шаров.
2. Следующий вытянутый шар обязательно станет пятым для одного из цветов: 12 + 1 = 13 шаров.
1. В последний день улитка поднимется на 4 метра и окажется на вершине (ночью сползать уже не нужно!). Вычтем этот последний рывок: 10 − 4 = 6 метров.
2. За полные сутки (день + ночь) улитка поднимается на 4 − 2 = 2 метра ⇒ 6 метров она пройдёт за 6 : 2 = 3 полных суток.
3. Утром 4-го дня она проползёт последние 4 метра (6 + 4 = 10 м) и достигнет вершины!
1. По формуле полного графа: n(n − 1) / 2 = 28 ⇒ n(n − 1) = 56.
2. Произведение двух соседних натуральных чисел равно 56 для 8 · 7 = 56 ⇒ n = 8 участников.
3. Контрольный чек-лист: на чём срезаются школьники
- Ловушка экзамена: Невнимательность при вычислениях по формуле темы «Как решать задачи на смекалку» приводит к потере первичных баллов в первой части.
- Ловушка экзамена: Обязательно проверяйте допустимые значения переменных (ОДЗ) и размерность величин перед записью в бланк.
- Ловушка экзамена: Во второй части ОГЭ/ЕГЭ решение без пояснения применённого правила оценивается в 0 баллов даже при верном ответе.
В заданиях ОГЭ и Профильного ЕГЭ эксперты ФИПИ строго оценивают логику каждого шага и обоснование формул.
На индивидуальных уроках на онлайн-курсах по математике в Skysmart методисты и действующие эксперты экзаменационной комиссии разбирают все подводные камни темы и доводят решение до автоматизма.
4. Ответы на частые вопросы (FAQ)
В каком классе изучают тему «Как решать задачи на смекалку»?
Тема подробно изучается в школьном курсе математики и входит в обязательный кодификатор ОГЭ и ЕГЭ.
Как быстро проверить ответ в задачах на «Как решать задачи на смекалку»?
Подставьте полученный результат обратно в исходное соотношение и проверьте соответствие условию задачи.
