Построение графиков функций

В школе на математике мы чаще работаем с цифрами и формулами, чем с чертежами. Пора это исправлять! Чтобы подготовиться к ЕГЭ, нам точно пригодятся графики функции — об этом и поговорим.
  • Автор

    Лидия Казанцева

  • Рубрика

    11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

  • Дата публикации

    24.12.2020

  • Просмотры

    252395

Понятие функции

Функция — это зависимость y от x, где x является независимой переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции. Функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго множества.

Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие значения функции. Вот, какими способами ее можно задать:

  • Табличный способ — помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.

  • Графический способ — наглядно.

  • Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.

  • Словесный способ.

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента (переменной x). Геометрически — это проекция графика функции на ось Ох.

Например, для функции вида область определения выглядит так

  • х ≠ 0, потому что на ноль делить нельзя. Записать можно так: D (y): (-∞; 0) ⋃ (0; +∞).

Область значений функции — множество всех значений, которые функция принимает на области определения. Геометрически — это проекция графика функции на ось Оy.

Например, естественная область значений функции y = x2 — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): [0; +∞).

Понятие графика функции

Графиком функции y = f(x) называется множество точек (x; y), координаты которых связаны соотношением y = f(x). Само равенство y = f(x) называется уравнением данного графика.

График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу.

Проще говоря, график функции показывает множество всех точек, координаты которых можно найти, просто подставив в функцию любые числа вместо x.

Для примера возьмём самую простую функцию, в которой аргумент равен значению функции, то есть y = x.

В этом случае нам не придётся вычислять для каждого аргумента значение функции, так как они равны, поэтому у всех точек нашего графика абсцисса будет равна ординате.

Отметим любые три точки на координатной плоскости, например: L (-2; -2), M (0; 0) и N (1; 1).

Понятие графика функции

Если мы последовательно от наименьшего значения аргумента к большему соединим отмеченные точки, то у нас получится прямая линия. Значит графиком функции y = x является прямая. На графике это выглядит так:

Понятие графика функции рис 2

Надпись на чертеже y = x — это уравнение графика. Ставить надпись с уравнением на чертеже удобно, чтобы не запутаться при решении задач.

Важно отметить, что прямая линия бесконечна в обе стороны. Хоть мы и называем часть прямой графиком функции, на самом деле на чертеже изображена только малая часть графика.

Запоминаем!
Не обязательно делать чертеж на целый тетрадный лист, можно выбрать удобный для вас масштаб, который отразит суть задания.

Исследование функции

Важные точки графика функции y = f(x):

  • стационарные и критические точки;

  • точки экстремума;

  • нули функции;

  • точки разрыва функции.

Стационарные точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю.

Критические точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю либо не существует. Стационарные точки являются подмножеством множества критических точек.

Экстремум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.

Нули функции — это значения аргумента, при которых значение функции равно нулю.

Асимптота — прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. По способам их отыскания выделяют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.

Функция непрерывна в точке k, если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке:

Если функция f(x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f(x) имеет разрыв в этой точке.

Неприрывные функции, разрыв в точке

Если нам нужно построить график незнакомой функции, когда заранее невозможно представить вид графика, полезно применять схему исследования свойств функции. Она поможет составить представление о графике и приступить к построению по точкам.

Схема построения графика функции:

 
  1. Найти область определения функции.

  2. Найти область допустимых значений функции.

  3. Проверить не является ли функция четной или нечетной.

  4. Проверить не является ли функция периодической.

  5. Найти точку пересечения с осью OY (если она есть).

  6. Вычислить производную и найти критические точки, определить промежутки возрастания и убывания.

  7. Промежутки знакопостоянства.

  8. Асимптоты.

  9. На основании проведенного исследования построить график функции.

У нас есть отличные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Построение графика функции

Чтобы понять, как строить графики функций, потренируемся на примерах или воспользуйтесь онлайн тренажером.

Задача 1. Построим график функции Задача 1. Построим график функции

Как решаем:

Упростим формулу функции:

Задача 1. Упростим формулупри х ≠ -1.

График функции — прямая y = x - 1 с выколотой точкой M (-1; -2).

Построение графика функции, задача 1

Задача 2. Построим график функцииЗадача 2. Построим график функции

Как решаем:

Выделим в формуле функции целую часть:

Выделим целую часть

График функции — гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции Гипербола. График функции

Гипербола

Задача 3. Построить графики функций:

а) y = 3x - 1

б) y = -x + 2

в) y = 2x

г) y = -1

Как решаем:

Воспользуемся методом построения линейных функций «по точкам».

а) y = 3x - 1

x y
0 -1
1 2
Задача 3. Построение функции по точкам 1

Как видим, k = 3 > 0 и угол наклона к оси Ox острый, b = -1 — смещение по оси Oy.

б) y = -x + 2

x y
0 2
1 1
Задача 3. Построение функции по точкам 2

k = -1 > 0 и b = 2 можно сделать аналогичные выводы, как и в первом пункте.

в) y = 2x

x y
0 0
0 2

Пример построения графика функции

k = 2 > 0 — угол наклона к оси Ox острый, b = 0 — график проходит через начало координат.

г) y = -1

Задача 3. Построение функции по точкам 4

k = 0 — константная функция, прямая проходит через точку b = -1 и параллельно оси Ox.

Задача 4. По виду графика определить знаки коэффициентов общего вида функции y = ax2 + bx + c.

 
  1. Знаки коэффициентов 1

  2. Знаки коэффициентов 2

  3. Знаки коэффициентов 3

Как решаем:

Вспомним, как параметры a, b и c определяют положение параболы.

  1. Ветви вниз, следовательно, a < 0.

    Точка пересечения с осью Oy — c = 0.

    Координата вершины Координата вершины 1

  2. Ветви вверх, следовательно, a > 0.

    Точка пересечения с осью Oy — c > 0.

    Координата вершины Координата вершины 2, т.к. неизвестное число при делении на положительное дает отрицательный результат, то это число отрицательное, следовательно, b > 0.

  3. Ветви вниз, следовательно, a < 0.

    Точка пересечения с осью Oy — c > 0.

    Координата вершины Координата вершины 3, т.к. неизвестное число при делении на отрицательное дает в результате положительное, то это число отрицательное, следовательно, b < 0.

Задача 5. Построить графики функций:

а) y = x² + 1

б) Задача 5. Построить графики функций 2

в) y = (x - 1)² + 2

г) Задача 5. Построить графики функций 4

д) Задача 5. Построить графики функций 5

Как решаем:

Построить графики можно при помощи элементарных преобразований.

Если построен график функции y = f(x), то при a > 0 следующие графики получаются с помощью сдвига графика f(x).

  • y = f(x) + a — график функции y = f(x) сдвигается на a единиц вверх;

  • y = f(x) − a — график функции y = f(x) сдвигается на a единиц вниз;

  • y = f(x + a) — график функции y = f(x) сдвигается на a единиц влево;

  • y = f(x − a) — график функции у = f(x) сдвигается на a единиц вправо.

Преобразование график по типу y = mf(x): y = f(x) → y = mf(x), где m — положительное число.

  • Если m > 1, то такое преобразование графика называют растяжением вдоль оси y с коэффициентом m.

    Растяжение графика функции вдоль оси y

  • Если m < 1, то такое преобразование графика называют сжатием к оси x с коэффициентом 1/m.

    Сжатие графика функции к оси x

а) Задача 5. Решение 1

Преобразование в одно действие типа f(x) + a.

y = x²


Задача 5.1

Сдвигаем график вверх на 1:

y = x² + 1


Задача 5.2

б)Задача 5.2.1

Преобразование в одно действие типа f(x - a).


Задача 5.2.2

Сдвигаем график вправо на 1:


Задача 5.3

в) y = (x - 1)² + 2

В этом примере два преобразования, выполним их в порядке действий: сначала действия в скобках f(x - a), затем сложение f(x) + a.

y = x²


Задача 5.3.1

Сдвигаем график вправо на 1:

y = (x - 1)²

Задача 5.3.2

Сдвигаем график вверх на 2:

y = (x - 1)² + 2


Задача 5.3.4

г) Задача 5.4

Преобразование в одно действие типа Задача 5.4.1

y = cos(x)


Задача 5.4.2

Растягиваем график в 2 раза от оси ординат вдоль оси абсцисс:

Задача 5.4.3


Задача 5.4.4

д) Задача 5.5

Мы видим три преобразования вида f(ax), f (x + a), -f(x).

Чтобы выполнить преобразования, посмотрим на порядок действий: сначала умножаем, затем складываем, а уже потом меняем знак. Чтобы применить умножение ко всему аргументу модуля в целом, вынесем двойку за скобки в модуле.


Задача 5.5.1
Задача 5.5.2
Задача 5.5.3

Сжимаем график в два раза вдоль оси абсцисс:


Задача 5.5.4
5.5.5

Сдвигаем график влево на 1/2 вдоль оси абсцисс:


5.5.6
5.5.7

Отражаем график симметрично относительно оси абсцисс:


5.5.8
5.5.9
 
 
  • 0
  • 0
  • 0
  • 0
  • 0

Шпаргалки по математике для родителей

Все формулы по математике под рукой

Шпаргалки по математике для родителей
Получить