Показательные уравнения

Тех, кто умеет решать квадратные уравнения, не испугает, если одну из переменных нужно будет возвести в степень. Если же искомый x находится не в основании степени, а в ее показателе — значит, нам встретились показательные уравнения. Узнаем о них подробнее и рассмотрим примеры с решениями за 10 класс — они пригодятся на ЕГЭ.
  • Автор

    Яна Кононенко

  • Рубрика

    6 класс, 7 класс

  • Дата публикации

    30.06.2021

  • Просмотры

    182

Определение показательного уравнения

Показательными называются уравнения с показательной функцией f(x) = aх. Другими словами, неизвестная переменная в них может содержаться как в основании степени, так и в ее показателе. Простейшее уравнение такого вида: aх = b, где a > 0, a ≠ 1.

Конечно, далеко не все задачи выглядят так просто, некоторые из них включают тригонометрические, логарифмические и другие конструкции. Но для решения даже простых показательных уравнений нужно вспомнить из курса алгебры за 6–7 класс следующие темы:

Если что-то успело забыться, советуем повторить эти темы перед тем, как читать дальнейший материал.

С точки зрения геометрии показательной функцией называют такую: y = ax, где a > 0 и a ≠ 1. У нее есть одно важное для решения показательных уравнений свойство — это монотонность. При a > 1 такая функция непрерывно возрастает, а при a < 1 (но больше 0) — непрерывно убывает. Это хорошо видно на рисунке ниже.

Важно знать
Показательная функция не может быть отрицательным числом, т. е. выражение у = ax при а ≤ 0 корней не имеет.

Иногда в результате решения будет получаться несколько вариантов ответа, и в таком случае мы должны выбрать тот корень, при котором показательная функция больше нуля.

Свойства степеней

Мы недаром просили повторить свойства степенной функции — на них будет основано решение большей части примеров. Держите небольшую шпаргалку по формулам, которые помогут упрощать сложные показательные уравнения.

am x an

am+n

am:an

am-n

(a x b)n

an x bn

(a : b)n

an : bn

(an)m

an x m

a-n

1/an

(a/b)-n

(b/a)n

n√a

a1/n

Как видите, ничего нового здесь нет, все это проходят в 6–7 классе.

Методы решения показательных уравнений

Самые короткие и простые показательные уравнения решаются с помощью элементарной математики. Например:

4х = 64.

Требуется найти, в какую степень нужно возвести 4, чтобы получить 64.

4 × 4 × 4 = 64

43 = 64

Х = 3

Но как решать показательные уравнения вот такого вида: 3√128= 4? Нужно немного повозиться с преобразованием этого выражения. Например, сделать так, чтобы либо основания, либо степенные показатели стали одинаковы. Для этого мы можем разложить 128 и 4. Вы ведь заметили, что у них есть общий множитель? Правильно, это 2.

3√128= 4

3√27= (22)2x

27/3 = 2

Теперь в нашем уравнении появились одинаковые основания, а значит, мы можем приравнять и степени.

4х = 7/3

х = 7/12

В данном случае мы используем один из алгоритмов решения показательных уравнений — привели обе части равенства к одинаковым основаниям. Дальше рассмотрим и другие методы.

Приведение к одинаковому основанию

Весомую часть уравнений вида ах = b (при а и b 0) можно решить, превратив b в определенную степень числа a. Именно это мы сделали в примере выше, получив одинаковые основания. Главная трудность в том, чтобы найти у этих чисел общий множитель.

Если у нас есть одинаковые основания, но разные показатели степени, то при умножении чисел степени складываются, а при делении — вычитаются.

Пример 1

Рассмотрим еще одно показательное уравнение с корнем.

(1/642) = √1/8

Мы знаем, что у 64 и 8 есть общий множитель — это 2. Попробуем использовать это, и тогда 642 = 212, а 8 = 23.

(1/212) = √1/23

1/2-12х = 1/22/3

(1/2)-12х = (1/2)3/2

-12х = 3/2

х = -1/8

Пример 2

В этом примере показательного уравнения нужно будет отдельно преобразовать каждую составляющую.

(0,5)х2 × 4х+1 = 64-1

Найдем общее основание показательных функций:

0,5 = 1/2 = 2-1

4 = 22

64 = 26

В результате у нас получается:

(2-1)х2 × (22)х+1 = (26)-1

22 × 22х+2 = 2-6

22+2х+2 = 2-6

2 + 2х + 2 = -6

х2- 2х - 8 = 0

Здесь у нас будет два корня: -2 и 4.

Приведение к одинаковой степени

Не все показательные уравнения с разными основаниями можно решить предыдущим способом. Иногда проще преобразовать не основания, а показатели степени. Правда, пользоваться этим методом есть смысл только в том случае, когда мы имеем дело с умножением или делением.

При умножении чисел с разными основаниями, но одинаковыми степенными показателями можно перемножить только основания (степень останется прежней): axbx = (ab)x.

Пример

52х-4 = 492-х

Общих множителей у левой и правой части уравнения нет и привести их к одинаковому основанию достаточно трудно. Поэтому стоит поработать с показателями степеней:

52х-4 = 492-х

52х-4 = 74-2х

52х-4 = (1/7)2х-4

352х-4 = 1

2х - 4 = 0

х = 2

Пример 2

2х-2 = 52-х

Нам нужно привести обе части уравнения к одинаковым степенным показателям, и для этого вначале попробуем преобразовать правую часть, используя свойство степенных функций.

2х-2 = 1/5х-2

Теперь умножим обе части на 52-х и придем к уравнению:

2х-2 × 52-х = 1

10х-2 = 1

10х-2 = 100

х - 2 = 0

х = 2

Замена переменной

Этот способ решения показательных уравнений понадобится тем, кто не боится по-настоящему трудных задач. Ведь с помощью ввода новой переменной можно упростить даже самое сложное выражение. Его суть проста: мы заменяем «трудную» переменную на более простую и решаем уравнение, а после производим обратную замену. Главное — определить, какую именно переменную стоит заменить.

Пример

4x- 2x+1- 8 = 0

Очевидно, что в этом уравнении показательные функции легко привести к общему основанию: 4х = 2, а 2х+1 = 2 × 2х.

2 - 2 × 2х - 8 = 0

Что-то напоминает. 🤔 Если бы из этого выражения можно было волшебным образом убрать 2х, получилось бы обычное квадратное уравнение. Поэтому мы обозначим 2х новой переменной — допустим, y.

Если 2х = y, получается: у2- 2у - 8 = 0.

У такого уравнения есть два корня: у1 = 4, у2 = -2.

Проведем обратную замену: 2х = 4, 2х = -2.

Но мы знаем, что показательная функция в любом случае не может быть отрицательным числом, а значит, 2х = -2 корней не имеет. Следовательно, 2х = 4.

х = 2.

Пример 2

25х - 6 × 5х + 5 = 0

Если присмотреться к этому выражению, становится понятно, что у него много общего с квадратным уравнением. Введем новую переменную: 5х = у.

у2 - 6у + 5 = 0

Корни такого уравнения: 1 и 5.

Выполним обратную замену:

5х = 1, значит х = 0.

5х = 5, значит х = 1.

Выделение устойчивого выражения

В предыдущих примерах мы преобразовывали разные виды показательных уравнений путем разложения многочленов на множители, потому что хотели найти способ решения — получить одинаковые основания или выделить переменную, которую можно заменить. Так вот, когда мы выносим некий множитель за скобку или заменяем переменную, пытаясь упростить уравнение — это действие по сути и является выделением устойчивого выражения.

Устойчивое выражение — это некий многочлен, содержащий переменную, который в скрытом виде присутствует во всех показательных функциях уравнения. Его можно вынести за скобки или обозначить новой переменной, чтобы упростить уравнение.

Хорошая новость: так или иначе устойчивое выражение можно найти почти в любом трудном уравнении. Проблема только в том, чтобы научиться верно определять такое выражение, а этот навык появляется лишь с опытом.

Пример 1

3х+1 + 3х - 3х-2 = 35

В данном случае в качестве устойчивого выражения удобно взять 3х-2 как степень с наименьшим показателем. В итоге мы получим:

3х-2(33 + 32 - 1) = 35

3х-2 × 35 = 35

3х-2 = 1

Поскольку 1 равняется любое число в нулевой степени, мы можем записать:

3х-2 = 30

х - 2 = 0

х = 2

Пример 2

5 × 3-3х+1 + 3-3х+2 = 24

Для начала мы попробуем в левой части уравнения получить одинаковую степень: 3-3х+2 = 3-3х+1+1 = 3 × 3-3х+1.

Теперь у нас есть устойчивое выражение 3-3х+1, которое можно вынести за скобки, чтобы получить более простое уравнение:

3-3х+1(5+3) = 24

8 × 3-3х+1 = 24

3-3х+1 = 31

-3х + 1 = 1

х = 0

 
  • 0
  • 0
  • 0
  • 0
  • 0
  • 0