Решение уравнений с дробями

Порой кажется, что на уроках по математике чем дальше, тем сложнее. Но на самом деле все темы, как кирпичики: если разобрался с дробями и уравнениями — решать дробные уравнения будет легко. Об этом и расскажем. Поехали!
  • Автор

    Лидия Казанцева

  • Дата публикации

    06.11.2020

  • Просмотры

    6912

Понятие дроби

Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.

Дробь — это запись числа в математике, в которой a и b — числа или выражения. По сути, это всего лишь одна из форм, в которое можно представить число. Есть два формата записи:

  • обыкновенный вид — ½ или a/b,
  • десятичный вид — 0,5.

Над чертой принято писать делимое (число, которое делим) — числитель. А под чертой всегда находится делитель (на сколько делим), его называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

Дроби бывают двух видов:

  1. Числовые — состоят из чисел. Например, 2/7 или (1,8 — 0,3)/5.
  2. Алгебраические — состоят из переменных. Например, (x + y)/(x — y). Значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.

Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3\5.

Основные свойства дробей
  1. Дробь не имеет значения, при условии, если делитель равен нулю.
  2. Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель — нет.
  3. Две дроби a/b и c/d называются равными, если a * d = b * c.
  4. Если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь

Действия с дробями можно выполнять те же, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой и возводить в степень.

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Наша задача — найти неизвестные числа так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство. Давайте на примере:

  • Возьмем выражение 4 + 5 = 9. Это верное равенство, потому что 4+5 действительно 9. Если бы вместо 9 стояло любое другое число — мы бы сказали, что числовое равенство неверное.
  • Уравнением можно назвать выражение 4 + x = 9, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое уравнивает выражения справа и слева, когда мы подставляем его на место неизвестной. В таком случае афоризм «зри в корень» — очень кстати при усердном решении уравнений.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Решить уравнение значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.

Алгебраические уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные. Расскажем и про них.

Линейное уравнение выглядит так ах + b = 0, где a и b — действительные числа.

Что поможет в решении:

  • если а не равно нулю, то у уравнения единственный корень: х = -b : а;
  • если а равно нулю — у уравнения нет корней;
  • если а и b равны нулю, то корень уравнения — любое число.
Квадратное уравнение выглядит так: ax2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.


Приходите решать увлекательные задачки по математике в детскую школу Skysmart. Поможем разобраться в сложной теме, подтянем оценки и покажем, что математика может быть захватывающим приключением.

Запишите ребенка на бесплатный вводный урок: познакомим с форматом, выявим пробелы и наметим индивидуальную программу обучения.

Понятие дробного уравнения

Дробное уравнение — это уравнение с дробями. Да, вот так просто. Но это еще не все. Чаще всего неизвестная стоит в знаменателе. Например, вот так:

неизвестная стоит в знаменателе пример дробно-рационального уравнения

Такие уравнения еще называют дробно-рациональными. В них всегда есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.

Если вы видите в знаменателях числа, то это уравнения либо линейные, либо квадратные. Решать все равно нужно, поэтому идем дальше. Примеры:

пример линейного уравнения еще один пример линейного уравнения

На алгебре в 8 классе можно встретить такое понятие, как область допустимых значений — это множество значений переменной, при которых это уравнение имеет смысл. Его используют, чтобы проверить корни и убедиться, что решение правильное.

Мы уже знаем все важные термины, их определения и наконец подошли к самому главному — сейчас узнаем как решить дробное уравнение.

Как решать уравнения с дробями

Универсальный алгоритм решения
  1. Определить область допустимых значений.
  2. Найти общий знаменатель.
  3. Умножить каждый член уравнения на общий знаменатель и сократить полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.
  4. Раскрыть скобки, если нужно и привести подобные слагаемые.
  5. Решить полученное уравнение.
  6. Сравнить полученные корни с областью допустимых значений.
  7. Записать ответ, который прошел проверку.

А теперь еще несколько способов, которые пригодятся ребенку на уроках математики.

1. Метод пропорции

Чтобы решить уравнение методом пропорции, нужно привести дроби к общему знаменателю. А само правило звучит так: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. Проверим, как это работает.

Итак, у нас есть линейное уравнение с дробями:

разбираемое линейное уравнение

В левой части стоит одна дробь — оставим без преобразований. В правой части видим сумму, которую нужно упростить так, чтобы осталась одна дробь.

Как решаем:

решение линейного уравнения

После того, как в левой и правой части осталась одна дробь, можно применить метод пропорции и перемножить крест-накрест числители и знаменатели.

метод пропорции

2. Метод избавления от дробей

Возьмем то же самое уравнение, но попробуем решить его по-другому.

исходное линейное уравнение

В уравнении есть две дроби, от которых мы очень хотим избавиться. Вот, как это сделать:

  • подобрать число, которое можно разделить на каждый из знаменателей без остатка;
  • умножить на это число каждый член уравнения.

Ищем самое маленькое число, которое делится на 5 и 9 и без остатка — 45 как раз подходит. Умножаем каждый член уравнения на 45 и избавляемся от знаменателей. Вуаля!

решение методом избавления

Вот так просто мы получили тот же ответ, что и в прошлый раз.

Что еще важно учитывать при решении
  • если значение переменной обращает знаменатель в 0, значит это неверное значение;
  • делить и умножать уравнение на 0 нельзя.

А вот и полезные видео для закрепления материала:

Примеры решения дробных уравнений

Чтобы стать успешным в любом деле, нужно чаще практиковаться. Мы уже знаем, как решаются дробные уравнения — давайте перейдем к решению задачек.

Пример 1. Решить дробное уравнение: 1/x + 2 = 5.

Как решаем:

  1. Вспомним правило х ≠ 0. Это значит, что область допустимых значений: х — любое число, кроме нуля.
  2. Отсчитываем справа налево в числителе дробной части три знака и ставим запятую.
  3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

    1 + 2x = 5х

  4. Решим обычное уравнение.

    5x — 2х = 1

    3x = 1

    х = 1/3

Ответ: х = 1/3.

Пример 2. Найти корень уравненияусловие уравнения

Как решаем:

  1. Область допустимых значений: х ≠ −2.
  2. Умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит оба знаменателя: 2(х+2)
  3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

    пример 2, шаг 2

  4. Переведем новый множитель в числитель..

    пример 2, шаг 3

  5. Сократим левую часть на (х+2), а правую на 2.

    4 = х + 2

    х = 4 — 2 = 2

Ответ: х = 2.

Пример 3. Решить дробное уравнение: условие дробного уравнения

Как решаем:

  1. Найти общий знаменатель:

    3(x-3)(x+3)

  2. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель. Сократим. Получилось:

    3(x+3)(x+3)+3(x-3)(x-3)=10(x-3)(x+3)+3*36

  3. Выполним возможные преобразования. Получилось квадратное уравнение:

    x2-9=0

  4. Решим полученное квадратное уравнение:

    x2=9

  5. Получили два возможных корня:

    x1=−3, x2=3

    х = 4 — 2 = 2

  6. Если x = −3, то знаменатель равен нулю:

    3(x-3)(x+3)=0

    Если x = 3 — знаменатель тоже равен нулю.

  7. Вывод: числа −3 и 3 не являются корнями уравнения, значит у данного уравнения нет решения.

Ответ: нет решения.

Если нужно решить уравнение с дробями быстро — поможет онлайн-калькулятор дробей. Пользуйтесь им, если уже разобрались с темой и щелкаете задачки легко и без помощников:

Чтобы ребенок еще лучше учился в школе, запишите его на уроки математики в современную онлайн-школу Skysmart. Наши преподаватели понятно объяснят что угодно — от дробей до синусов — и ответят на вопросы, которые бывает неловко задать перед всем классом. А еще помогут догнать сверстников и справиться со сложной контрольной.

Вместо скучных параграфов ребенка ждут интерактивные упражнения с мгновенной автоматической проверкой и онлайн-доска, где можно рисовать и чертить вместе с преподавателем. А еще развивающие игры, квесты и головоломки на любой возраст и уровень.

Бесплатный вводный урок
Шаг 1 из 2. Данные ученика
Класс
Цель обучения
Поделиться: